7.2.4 第2课时 诱导公式(二)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

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(2)cos(eq \f(π,6)＋α)·sin(eq \f(2π,3)＋α) ＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,3)－α))·sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)－α)) ＝sin(eq \f(π,3)－α)·sin(eq \f(π,3)－α) ＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4). 已知三角函数值，求其他三角函数值的解题思路 (1)观察：①观察已知的角和所求角的差异，寻求角之间的关系； ②观察已知的三角函数名与所求的三角函数名的差异． (2)转化：运用诱导公式将不同的角转化为相同的角；将不同名的三角函数化为同名的三角函数． (3)注意：如eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α，eq \f(π,3)＋α与eq \f(π,6)－α，eq \f(π,4)－α与eq \f(π,4)＋α等互余，eq \f(π,3)＋θ与eq \f(2π,3)－θ，eq \f(π,4)＋θ与eq \f(3π,4)－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题． [变式训练] 1．(1)已知cos(eq \f(π,2)＋φ)＝eq \f(\r(3),2)，且|φ|<eq \f(π,2)，则tan φ＝(　　) A．－eq \f(\r(3),3)　　　　　　 B.eq \f(\r(3),3) C．－eq \r(3) D.eq \r(3) (2)cos(eq \f(π,12)－θ)＝eq \f(1,3)，则sin(eq \f(5π,12)＋θ)＝(　　) A.eq \f(1,3) B.eq \f(2\r(2),3) C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(2\r(2),3) 解析：(1)由cos(eq \f(π,2)＋φ)＝－sin φ＝eq \f(\r(3),2)， 得sin φ＝－eq \f(\r(3),2). 又|φ|<eq \f(π,2)，∴φ＝－eq \f(π,3)，∴tan φ＝－taneq \f(π,3)＝－eq \r(3). (2)∵cos(eq \f(π,12)－θ)＝eq \f(1,3)， ∴sin(eq \f(5π,12)＋θ)＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,12)－θ))＝cos(eq \f(π,12)－θ)＝eq \f(1,3)，故选A. 答案：(1)C　(2)A 　 利用诱导公式化简三角函数式 [例2] 化简： (1)eq \f(cosα－π,sinπ－α)·sin(α－eq \f(π,2))cos(eq \f(π,2)＋α)； (2)eq \f(tan2π－αsin－2π－αsin\f(3π,2)＋α,sinα－πcos\f(3π,2)－α). [思路点拨]　eq \x(确定角的变换)→eq \x(确定诱导公式)→eq \x(代入公式化简) [解析]　(1)原式＝eq \f(cos[－π－α],sin α)·sin[－(eq \f(π,2)－α)](－sin α) ＝eq \f(cosπ－α,sin α)·[－sin(eq \f(π,2)－α)](－sin α) ＝eq \f(－cos α,sin α)·(－cos α)(－sin α) ＝－cos2α. (2)原式＝eq \f(tan－αsin－αsin[π＋\f(π,2)＋α],sin[－π－α]cos[π＋\f(π,2)－α]) ＝eq \f(－tan α－sin α[－sin\f(π,2)＋α],－sinπ－α[－cos\f(π,2)－α]) ＝eq \f(tan αsin α－cos α,－sin α－sin α) ＝－eq \f(tan αsin αcos α,sin αsin α) ＝－1. 用诱导公式进行化简时的注意点 (1)化简后项数尽可能的少． (2)函数的种类尽可能的少． (3)分母不含三角函数的符号． (4)能求值的一定要求值． (5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． [变式训练] 2．化简： eq \f(sin4π－αcos\f(9π,2)＋α,sin\f(11π,2)＋αcos2π－α)－eq \f(tan5π－α,sin3π－αsin\f(π,2)－α). 解析：因为sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sin α， cos(eq \f(9π,2)＋α)＝cos[4π＋(eq \f(π,2)＋α)]＝cos(eq \f(π,2)＋α) ＝－sin α， sin(eq \f(11π,2)＋α)＝sin[4π＋(eq \f(3π,2)＋α)]＝sin(eq \f(3π,2)＋α)＝ sin[π＋(eq \f(π,2)＋α)]＝－sin(eq \f(π,2)＋α)＝－cos α， tan (5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α，sin(3π－α)＝sin(π－α)＝sin α，所以原式＝eq \f(sin αsin α,－cos αcos α)－eq \f(－tan α,sin αcos α) ＝－eq \f(sin2α,cos2α)＋eq \f(1,cos2α)＝eq \f(1－sin2α,cos2α)＝eq \f(cos2α,cos2α)＝1. 利用诱导公式证明恒等式 [例3] 求证： eq \f(sin θ＋cos θ,sin θ－cos θ)＝eq \f(2sinθ－\f(3π,2)cosθ＋\f(π,2)－1,1－2sin2π＋θ). [思路点拨]　先化简，再证明． 证明：右边＝eq \f(－2sin\f(3π,2)－θ·－sin θ－1,1－2sin2θ) ＝eq \f(2sin[π＋\f(π,2)－θ]sin θ－1,1－2sin2θ) ＝eq \f(－2sin\f(π,2)－θsin θ－1,1－2sin2θ) ＝eq \f(－2cos θsin θ－1,cos2θ＋sin2θ－2sin2θ) ＝eq \f(sin θ＋cos θ2,sin2θ－cos2θ)＝eq \f(sin θ＋cos θ,sin θ－cos θ) ＝左边，所以原等式成立． 三角恒等式的证明的策略 (1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，应遵循化繁为简的原则． (2)常用的方法：定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法． [变式训练] 3．求证：eq \f(cos6π＋θsin－2π－θtan2π－θ,cos\f(3π,2)＋θsin\f(3π,2)＋θ)＝－tan θ 证明：左边＝eq \f(cos θsin－θtan－θ,cos\f(π,2)＋θsin\f(π,2)＋θ) ＝eq \f(cos θsin θtan θ,－sin θcos θ)＝－tan θ＝右边． 所以原等式成立． 诱导公式的综合应用 [例4] 在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq \r(2)sin(π－B)， eq \r(3)cos A＝－eq \r(2)cos(π－B)，求△ABC的三个内角． [思路点拨]　先利用诱导公式化简已知的两个等式，然后结合sin2A＋cos2A＝1，求出cos A的值，再利用A＋B＋C＝π进行求解． 解析　由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin A＝\r(2)sin B　①，,\r(3)cos A＝\r(2)cos B　②，)) 由①2＋②2，得2cos2A＝1，∴cos A＝±eq \f(\r(2),2). 当cos A＝eq \f(\r(2),2)时，cos B＝eq \f(\r(3),2). 又A，B是三角形的内角，∴A＝eq \f(π,4)，B＝eq \f(π,6). ∴C＝π－(A＋B)＝eq \f(7,12)π. 当cos A＝－eq \f(\r(2),2)时，cos B＝－eq \f(\r(3),2). 又A，B是三角形的内角，∴A＝eq \f(3,4)π，B＝eq \f(5,6)π. ∵A＋B>π， ∴cos A＝－eq \f(\r(2),2)不符合题意，舍去． 综上可知，A＝eq \f(π,4)，B＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(7,12)π. 1．诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子、分母同乘一个式子变形． 2．利用诱导公式解决三角形中有关问题的基本方法 利用诱导公式解决三角形中有关问题时，既要注意综合运用诱导公式、同角三角函数的基本关系式，还要注意三角形的隐含条件——三角形内角和等于180°，以及下面的公式的灵活运用． 　在△ABC中，常用到以下结论： sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C， tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C， sin(eq \f(A,2)＋eq \f(B,2))＝sin(eq \f(π,2)－eq \f(C,2))＝coseq \f(C,2)， cos(eq \f(A,2)＋eq \f(B,2))＝cos(eq \f(π,2)－eq \f(C,2))＝sineq \f(C,2). [变式训练] 4．已知f(α)＝eq \f(sinπ－αcos－αsin\f(π,2)＋α,cosπ＋αsin－α). (1)化简f(α)； (2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝eq \f(3,5)，求tan A－sin A的值． 解：(1)f(α)＝eq \f(sin αcos αcosα,－cos α－sin α)＝cos α. (2)因为f(A)＝cos A＝eq \f(3,5)， 又A为△ABC的内角： 所以由平方关系，得sin A＝eq \r(1－cos2A)＝eq \f(4,5)， 所以tan A＝eq \f(sin A,cos A)＝eq \f(4,3)， 所以tan A－sin A＝eq \f(4,3)－eq \f(4,5)＝eq \f(8,15). 1．已知cos(α－π)＝－eq \f(5,13)，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)(　　) A．－eq \f(12,13)　　　　　　　 B.eq \f(12,13) C．±eq \f(12,13) D.eq \f(5,12) 解析：A　[由诱导公式可得cos(α－π)＝－cos α＝－eq \f(5,13)，∴cos α＝eq \f(5,13)，又α是第四象限角∴sin(－2π＋α)＝sin α＝－eq \f(12,13)，故选：A] 2．若cos(α＋π)＝－eq \f(2,3)，则sin(－α－eq \f(3π,2))＝(　　) A.eq \f(2,3) B．－eq \f(2,3) C.eq \f(\r(5),3) D．－eq \f(\r(5),3) 解析：A　[因为cos(α＋π)＝－cos α＝－eq \f(2,3)，所以cos α＝eq \f(2,3).所以sin(－α－eq \f(3π,2))＝cos α＝eq \f(2,3).] 3．化简sin(α＋eq \f(π,2))·cos(α－eq \f(3π,2))·tan(eq \f(π,2)－α)的结果是(　　) A．1 B．sin2α C．－cos2α D．－1 解析：C　　[因为sin(α＋eq \f(π,2))＝cos α，cos(α－eq \f(3π,2)) ＝cos[π＋(eq \f(π,2)－α)]＝－sin α，tan(eq \f(π,2)－α)＝ eq \f(sin\f(π,2)－α,cos\f(π,2)－α)＝eq \f(cos α,sin α)，所以原式＝cos α(－sin α)eq \f(cos α,sin α)＝－cos2α，选C.] 4．sin 95°＋cos 175°的值为　________　. 解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：0 5．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))＝eq \f(3,5)，且α是第三象限角，则coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2 021π,2)))＝(　　) A.eq \f(3,5) B．－eq \f(3,5) C.eq \f(4,5) D．－eq \f(4,5) 解析：C　[sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))＝－cos α＝eq \f(3,5)，所以cos α＝－eq \f(3,5)，因为α是第三象限角，所以sin α＝－eq \f(4,5)，所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2 021π,2)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1 010π＋α＋\f(π,2)))＝－sin α＝eq \f(4,5).] $