7.2.4 第1课时 诱导公式(一)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 课前预习学案 课堂互动学案 课后素养提升 随堂步步夯实 数学B版·必修第三册 7．2.4　诱导公式 第1课时　诱导公式(一) 课程标准 素养解读 1.借助单位圆推导诱导公式(二)(三)(四) 2．了解诱导公式的意义和作用 3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题 1.通过学习诱导公式的推导培养学生数学直观和数学抽象素养 2．根据诱导公式的应用提升逻辑推理和数学运算素养 [情境引入] 如图，作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什么关系？角β，α的三角函数值之间有什么关系？ 提示　β＝π＋α，P1与P2横坐标，纵坐标都互为相反数． [知识梳理] [知识点一]　诱导公式一　 终边相同的角的同一三角函数的值　相等　，即 sin(α＋k·2π)＝　sin α　； cos(α＋k·2π)＝　cos α　； tan(α＋k·2π)＝　tan α　 (其中k∈Z)． 注：诱导公式一的结构特点 (1)其结构特点是函数名相同，左边角为α＋2kπ，右边角为α. (2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现． (3)此公式也可以记为：sin(a＋k·360°)＝sin α，cos(α＋k·360°)＝cos α，tan(α＋k·360°)＝tan α.其中k∈Z. 1.诱导公式一反映了“终边相同的角同一三角函数的值相等”，反之，若两个角某一三角函数值相等，则这两个角终边相同吗？ 提示：这两个角的终边不一定相同，如sin α＝sin β＝eq \f(1,2)，则有可能是α＝30°，β＝150°. [知识点二]　诱导公式二、三、四　 1．诱导公式 公式二 公式三 公式四 终 边 关 系 角π＋α与角α的终边关于原点对称. 角－α与角α的终边关于x轴对称. 角π－α与角α的终边关于y轴对称． 图 形 公 式 sin(π＋α)＝ 　－sin α　， cos(π＋α)＝ 　－cos α　， tan(π＋α)＝ 　tan α　. sin(－α)＝ 　－sin α　， cos(－α)＝ 　cos α　， tan(－α)＝ 　－tan α　. sin(π－α)＝ 　sin α　， cos(π－α)＝ 　－cos α　， tan(π－α)＝ 　－tan α　. 2.本质：单位圆中，终边关于原点、x轴、y轴对称的角的三角函数之间的关系． 3．作用： 公式二 将0～2π的角转化为0～π的角求值． 公式三 将负角转化为正角求值． 公式四 将eq \f(π,2)～π的角转化为0～eq \f(π,2)的角求值. 4.应用：通过诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，广泛应用于计算、化简、证明之中． 2.从函数名称和符号变化两个方面观察公式一至公式四，你能发现什么规律？ 提示：函数的名称都没有变化，符号随角的象限而变化．简记：函数名不变，符号看象限． 3．诱导公式中角α不能是锐角吗？ 提示：诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z. [预习自测] 1．sin 1 140°的值为(　　) A．－eq \f(\r(3),2)　　　　　 B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2) 解析：B　[∵1 140°＝3×360°＋60°，∴sin 1 140°＝sin(3×360°＋60°)＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2).] 2．已知tan α＝4，则tan (π－α)＝　________　. 答案：－4 3．cos(－30)°＝　________　，sineq \f(2π,3)＝　________　. 答案：eq \f(\r(3),2)　eq \f(\r(3),2) 诱导公式一及运用 [例1] 求下列各式的值： (1)sineq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))； (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°. [思路点拨]　此类问题的解答应先将角改写为2kπ＋α或k·360°＋α(k∈Z)的形式，再运用诱导公式一求值． [解]　(1)sineq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4))) ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8π＋\f(π,3)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4))) ＝sineq \f(π,3)＋taneq \f(π,4)＝eq \f(\r(3),2)＋1＝eq \f(\r(3)＋2,2). (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125° ＝sin(2×360°＋90°)＋cos(0°＋360°)－tan(3×360°＋45°) ＝sin 90°＋cos 0°－tan 45° ＝1＋1－1＝1. (1)诱导公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等，作用是把求任意角的三角函数值转化为0～2π角的三角函数值． (2)一些特殊角的三角函数值： 角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 270° 360° 角α的 弧度数 0 eq \f(π,6) eq \f(π,4) eq \f(π,3) eq \f(π,2) eq \f(2π,3) eq \f(5π,6) π eq \f(3π,2) 2π sin α 0 eq \f(1,2) eq \f(\r(2),2) eq \f(\r(3),2) 1 eq \f(\r(3),2) eq \f(1,2) 0 －1 0 cos α 1 eq \f(\r(3),2) eq \f(\r(2),2) eq \f(1,2) 0 －eq \f(1,2) －eq \f(\r(3),2) －1 0 1 tan α 0 eq \f(\r(3),3) 1 eq \r(3) 不存 在 －eq \r(3) －eq \f(\r(3),3) 0 不存 在 0 [变式训练] 1．求下列各式的值． (1)coseq \f(25π,3)＋tan(－eq \f(15π,4))； (2)sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)． 解：(1)因为coseq \f(25π,3)＝cos(eq \f(π,3)＋8π)＝coseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)， tan(－eq \f(15π,4))＝tan(－4π＋eq \f(π,4))＝taneq \f(π,4)＝1， 所以coseq \f(25π,3)＋tan(－eq \f(15π,4))＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2). (2)因为sin 420°＝sin(360°＋60°)＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2)， cos 750°＝cos(2×360°＋30°)＝cos 30°＝eq \f(\r(3),2)， sin(－690°)＝sin(－2×360°＋30°)＝sin 30°＝eq \f(1,2)， cos(－660°)＝cos(－2×360°＋60°)＝cos 60°＝eq \f(1,2)， 所以sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°) ＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝1. 给角求值问题 [例2] 求下列各三角函数值： (1)coseq \f(17π,6)；(2)tan(－855°)；(3)taneq \f(3π,4)＋sineq \f(11π,6). [思路点拨]　(1)利用诱导公式化正角为负角，化大角为小角，化小角为锐角，再求值． (2)注意观察不同角之间的联系． [解](1)coseq \f(17π,6)＝cos(2π＋eq \f(5π,6))＝coseq \f(5π,6) ＝cos(π－eq \f(π,6)) ＝－coseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2). (2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1. (3)原式＝tan(π－eq \f(π,4))＋sin(2π－eq \f(π,6)) ＝－taneq \f(π,4)－sineq \f(π,6)＝－1－eq \f(1,2) ＝－eq \f(3,2). 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 [变式训练] 2．求下列各三角函数式的值： ①cos 210°； ②sineq \f(11π,4)； ③sin(－eq \f(43π,6))； ④cos(－1 920°)． 解：①cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30° ＝－eq \f(\r(3),2). ②sineq \f(11π,4)＝sin(2π＋eq \f(3π,4))＝sineq \f(3π,4)＝sin(π－eq \f(π,4)) ＝sineq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2). ③sin(－eq \f(43π,6))＝－sin(6π＋eq \f(7π,6))＝－sineq \f(7π,6) ＝－sin(π＋eq \f(π,6))＝sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2). ④cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－eq \f(1,2). 给值(式)求值问题 [例3] 已知cos(eq \f(π,6)－α)＝eq \f(\r(3),3)，求cos(eq \f(5π,6)＋α)的值． [思路点拨]　eq \f(5π,6)＋α＝π－(eq \f(π,6)－α)，利用诱导公式把要求角用已知角整体表示． [解]　cos(eq \f(5π,6)＋α)＝cos[π－(eq \f(π,6)－α)] ＝－cos(eq \f(π,6)－α)＝－eq \f(\r(3),3). (1)解决条件求值问题时，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． [变式训练] 3．(1)已知A＝eq \f(sinkπ＋α,sin α)＋eq \f(coskπ＋α,cos α)(k∈Z)，则A构成的集合是(　　) A．{－1,1，－2,2}　　　 B．{1，－1} C．{2，－2} D．{－2，－1,0,1,2} (2)已知cos(α－55°)＝－eq \f(1,3)，且α为第四象限角，则sin(α＋125°)＝　________　. 解析：(1)当k为偶数时，A＝2；当k为奇数时，A＝－2.故A构成的集合为{－2,2}． (2)因为cos(α－55°)＝－eq \f(1,3)<0，且α为第四象限角，所以α－55°是第三象限角， 所以sin(α－55°)＝－eq \r(1－cos2α－55°)＝－eq \f(2\r(2),3)， 所以sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)] ＝－sin(α－55°)＝eq \f(2\r(2),3). 答案：(1)C　(2)eq \f(2\r(2),3) 化简求值问题 [例4] 已知α是第四象限角，且 f(α)＝eq \f(sinπ－αcos2π－αtan－α＋2π,tan－α＋πsin3π－α). (1)化简f(α)； (2)若sin α＝－eq \f(3,5)，求f(α)； (3)若α＝－eq \f(31π,3)，求f(α)． [思路点拨]　利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． [解析]　(1)f(α)＝eq \f(－sin αcos αtan α,－tan αsin α)＝cos α. (2)因为sin α＝－eq \f(3,5)，且α是第四象限角， 所以f(α)＝cos α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \r(1－\f(9,25))＝eq \f(4,5). (3)f(－eq \f(31π,3))＝cos(－eq \f(31π,3))＝cos(－eq \f(π,3))＝coseq \f(π,3)＝eq \f(1,2). 1．利用诱导公式一～四化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变； (3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切． 2．三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数． (2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数． (3)注意“1”的变形应用． [变式训练] 4．化简： (1)eq \f(cos－αtan7π＋α,sinπ－α)； (2)eq \f(sin1 440°＋α·cosα－1 080°,cos－180°－α·sin－α－180°). 解：(1)原式＝eq \f(cos αtanπ＋α,sin α)＝eq \f(cos α·tan α,sin α) ＝eq \f(sin α,sin α)＝1. (2)原式＝eq \f(sin4×360°＋α·cos3×360°－α,cos180°＋α·[－sin180°＋α]) ＝eq \f(sin α·cos－α,－cos α·sin α)＝eq \f(cos α,－cos α)＝－1. 1．cos(－eq \f(17π,4))taneq \f(17π,6)的值为(　　) A．－eq \f(\r(2),2)　　　　　 B．－eq \f(\r(3),3) C．－eq \f(\r(6),6) D.eq \f(\r(3),2) 解析：C　[因为cos(－eq \f(17π,4))＝coseq \f(17π,4)＝cos(4π＋eq \f(π,4))＝coseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)，taneq \f(17π,6)＝tan(3π－eq \f(π,6))＝－taneq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),3)，所以cos(－eq \f(17π,4))·taneq \f(17π,6)＝－eq \f(\r(6),6)，故选C.] 2．已知tan(eq \f(π,3)－α)＝eq \f(1,3)，则tan(eq \f(2π,3)＋α)＝(　　) A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(2\r(3),3) D．－eq \f(2\r(3),3) 解析：B　[tan(eq \f(2π,3)＋α)＝tan[π－(eq \f(π,3)－α)]＝ －tan(eq \f(π,3)－α)＝－eq \f(1,3). 3．计算sin(－1 560°)cos(－930°)－cos(－1 380°)sin 1 410°等于　________　. 解析：sin(－1 560°)cos(－930°)－cos(－1 380°)·sin 1 410° ＝sin(－4×360°－120°)cos(－3×360°＋150°)－cos(－4×360°＋60°)sin(4×360°－30°) ＝sin(－120°)cos 150°－cos 60°sin(－30°) ＝－eq \f(\r(3),2)×(－eq \f(\r(3),2))＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)＝1. 答案：1 4．已知sin(45°＋α)＝eq \f(5,13)，则sin(225°＋α)＝　________　. 解析：sin(225°＋α)＝sin[(45°＋α)＋180°] ＝－sin(45°＋α)＝－eq \f(5,13). 答案：－eq \f(5,13) 5．已知f(α)＝eq \f(sinπ＋αcos2π－αtan－α,tan－π－αsin－π－α). (1)化简f(α)； (2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝eq \f(1,5)，求f(α)的值； (3)若α＝－eq \f(31π,3)，求f(α)的值． 解：(1)f(α)＝eq \f(－sin αcos α－tan α,－tan αsin α)＝－cos α. (2)∵sin(α－π)＝－sin α＝eq \f(1,5)， ∴sin α＝－eq \f(1,5).又α是第三象限角， ∴cos α＝－eq \f(2\r(6),5).∴f(α)＝eq \f(2\r(6),5). (3)∵－eq \f(31π,3)＝－6×2π＋eq \f(5π,3)， ∴f(－eq \f(31π,3))＝－cos(－6×2π＋eq \f(5π,3)) ＝－coseq \f(5π,3)＝－coseq \f(π,3)＝－eq \f(1,2). $