7.2.3 同角三角函数的基本关系式-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

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(1)能否根据x，y的关系得到sin α，cos α，tan α的关系？ 提示：sin2α＋cos2α＝1，tan α＝eq \f(sin α,cos α). (2)公式sin2α＋cos2α＝1与tan α＝eq \f(sin α,cos α)对任意角都成立吗？ 提示：sin2α＋cos2α＝1对任意角α均成立，当α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z时，tan α＝eq \f(sin α,cos α)成立． [知识梳理] [知识点]　同角三角函数的基本关系　 1．同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 eq \f(sin α,cos α)＝tan α，α≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z) 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. 1.“同角”一词的含义是什么？ 提示：注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． 2．两个公式成立的条件分别是什么？ 提示：公式sin2α＋cos2α＝1对α∈R成立， 公式eq \f(sin α,cos α)＝tan α适用的条件为{α|α≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z}． 3．对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？ 提示：成立． 2．基本关系式的变形公式 sin2 α＋cos2α＝1⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin2α＝1－cos2α，,cos2α＝1－sin2α，,sin α＝±\r(1－cos2α)，,cos α＝±\r(1－sin2α)，,sin α±cos α2＝1±2sin αcos α.)) tan α＝eq \f(sin α,cos α)⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α＝tan αcos α，,cos α＝\f(sin α,tan α).)) [预习自测] 1．若sin α＝－eq \f(5,13)，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　) A.eq \f(12,5)　　　　 B．－eq \f(12,5) C.eq \f(5,12) D．－eq \f(5,12) 解析：D　[∵sin α＝－eq \f(5,13)，且α为第四象限角， ∴cos α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(12,13)，∴tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝－eq \f(5,12)，故选D.] 2．已知sin φ＝－eq \f(3,5)，且|φ|<eq \f(π,2)，则tan φ＝(　　) A．－eq \f(4,3)　 B.eq \f(4,3)　　C．－eq \f(3,4)　　D.eq \f(3,4) 解析：C　[∵sin φ＝－eq \f(3,5)， ∴cos2φ＝1－sin2φ＝1－(－eq \f(3,5))2＝eq \f(16,25)， 又|φ|<eq \f(π,2)，即－eq \f(π,2)<φ<eq \f(π,2)， ∴cos φ＝eq \f(4,5)， 从而tan φ＝eq \f(sin φ,cos φ)＝eq \f(－\f(3,5),\f(4,5))＝－eq \f(3,4).] 3．若sin θ＝eq \f(3,5)，tan θ<0，则cos θ＝　________　. 解析：由sin θ＝eq \f(3,5)>0，tan θ<0得cos θ<0， 故cos θ＝－eq \r(1－sin2θ)＝－eq \f(4,5). 答案：－eq \f(4,5) 利用基本关系式求值 [例1] 已知cos α＝－eq \f(4,5)，求sin α、tan α. [思路点拨]　先由平方关系求sin α，再由商数关系求tan α. [解]　由sin2α＋cos2α＝1 得sin2α＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2. 又因为cos α＝－eq \f(4,5)<0， 所以α是第二或第三象限角． 当α在第二象限时，sin α>0， sin α＝eq \f(3,5)，tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝－eq \f(3,4)； 当α在第三象限时，sin α<0， sin α＝－eq \f(3,5)，tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(3,4). 求三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)，求tan θ常用以下方式求解 (2)已知tan θ，求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． [变式训练] 1．已知tan α＝eq \f(4,3)，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 解：由tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(4,3)，得sin α＝eq \f(4,3)cos α，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②，得eq \f(16,9)cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝eq \f(9,25). 又α在第三象限， ∴cos α＝－eq \f(3,5)，sin α＝eq \f(4,3)cos α＝－eq \f(4,5). 正弦、余弦的齐次式化切求值 [例2] 已知tan α＝3，求下列各式的值． (1)eq \f(\r(3)cos α－sin α,\r(3)cos α＋sin α)； (2)2sin2α－3sin αcos α. [思路点拨]　化正弦、余弦为正切，再代入正切的值求式子的值． [解]　(1)原式＝eq \f(\f(\r(3)cos α－sin α,cos α),\f(\r(3)cos α＋sin α,cos α))＝eq \f(\r(3)－tan α,\r(3)＋tan α) ＝eq \f(\r(3)－3,\r(3)＋3)＝eq \r(3)－2. (2)原式＝eq \f(2sin2α－3sin αcos α,sin2α＋cos2α)＝eq \f(\f(2sin2α－3sin αcos α,cos2α),\f(sin2α＋cos2α,cos2α)) ＝eq \f(2tan2α－3tan α,tan2α＋1)＝eq \f(2×32－3×3,32＋1)＝eq \f(9,10). 己知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值． [变式训练] 2．已知tan α＝2，则 (1)eq \f(2sin α－3cos α,4sin α－9cos α)＝　________　. (2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝　________　. 解析：(1)eq \f(2sin α－3cos α,4sin α－9cos α)＝eq \f(2tan α－3,4tan α－9)＝eq \f(2×2－3,4×2－9)＝－1. (2)4sin2 α－3sin αcos α－5cos2α ＝eq \f(4sin2α－3sin αcos α－5cos2α,sin2α＋cos2α) ＝eq \f(4tan2α－3tan α－5,tan2α＋1)＝eq \f(4×4－3×2－5,4＋1)＝1. 答案：(1)－1　(2)1 　 三角函数的化简 [例3] 化简：eq \f(sin α,1－cos α)·eq \r(\f(tan α－sin α,tan α＋sin α)). [思路点拨]　本题中需化简的式子既有正弦、余弦，也有正切且含有根号，故解答时，可先开方，后化简，为此先“切化弦”，再构造“完全平方”后利用“平方关系”开方化简． [解]　原式＝eq \f(sin α,1－cos α)·eq \r(\f(\f(sin α,cos α)－sin α,\f(sin α,cos α)＋sin α)) ＝eq \f(sin α,1－cos α)·eq \r(\f(1－cos α,1＋cos α))＝eq \f(sin α,1－cos α)·eq \r(\f(1－cos α2,1－cos2α)) ＝eq \f(sin α,1－cos α)·eq \f(1－cos α,|sin α|)＝±1. 三角函数式化简的关键是公式的灵活运用，要分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有： (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． [变式训练] 3．化简下列各式： (1)cos4α＋sin2α(1＋cos2α)； (2)eq \f(tan α＋tan αsin α,tan α＋sin α)·(1＋eq \f(1,cos α))·eq \f(sin α,1＋sin α). 解：(1)原式＝cos4α＋sin2αcos2α＋sin2α ＝cos2α(cos2α＋sin2α)＋sin2α ＝cos2α＋sin2α＝1. (2)原式＝eq \f(tan α1＋sin α,tan α＋tan αcos α)·eq \f(1＋cos α,cos α)·eq \f(sin α,1＋sin α)＝eq \f(1＋sin α,1＋cos α)·eq \f(1＋cos α,cos α)·eq \f(sin α,1＋sin α)＝eq \f(sin α,cos α)＝tan α. 　 利用同角三角函数关系证明 [例4] 求证：eq \f(1－2sin αcos α,cos2α－sin2α)＝eq \f(1－tan α,1＋tan α). [思路点拨]　等式的左边相对复杂，因此可考虑从左边向右边证明． [证明]　左边＝eq \f(sin2α－2sin αcos α＋cos2α,cos2α－sin2α) ＝eq \f(cos α－sin α2,cos α－sin αcos α＋sin α) ＝eq \f(cos α－sin α,cos α＋sin α)＝eq \f(1－tan α,1＋tan α)＝右边． ∴原等式成立． 三角恒等式的证明实质是弄清楚等式两边的差异，有目的的化简． (1)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简． (2)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右两边同时证． (3)常用技巧：切化弦、整体代换、“1”的代换等． [变式训练] 4．求证：eq \f(tan θ·sin θ,tan θ－sin θ)＝eq \f(1＋cos θ,sin θ). 证明：左边＝eq \f(\f(sin θ,cos θ)·sin θ,\f(sin θ,cos θ)－sin θ)＝eq \f(sin2θ,sin θ－sin θcos θ) ＝eq \f(1－cos2θ,sin θ1－cos θ)＝eq \f(1－cos θ1＋cos θ,sin θ1－cos θ) ＝eq \f(1＋cos θ,sin θ)＝右边， ∴原等式成立． sin α±cos α与sin αcos α关系的应用 [例5] 已知0<α<π，sin α－cos α＝eq \f(7,13)，求tan α. [思路点拨]　先求sin α＋cos α的值，再联立方程组，求出sin α、cos α，再求tan α. [解]　方法一：∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝eq \f(49,169)， ∴sin αcos α＝eq \f(60,169)>0. 又由0<α<π知sin α>0， ∴cos α>0，∴sin α＋cos α>0. ∴sin α＋cos α＝ eq \r(sin α＋cos α2)＝ eq \r(1＋\f(120,169))＝eq \f(17,13). 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α－cos α＝\f(7,13)，,sin α＋cos α＝\f(17,13)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α＝\f(12,13)，,cos α＝\f(5,13).)) ∴tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(12,5). 方法二：由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α－cos α＝\f(7,13)，,sin2α＋cos2α＝1.)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α＝－\f(5,13)，,cos α＝－\f(12,13)，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α＝\f(12,13)，,cos α＝\f(5,13).)) ∵0<α<π，∴sin α>0， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α＝\f(12,13)，,cos α＝\f(5,13).)) ∴tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(12,5). (1)sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：①(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；②(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α； ③(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； ④(sinα－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcosα. (2)求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意判断它们的符号． (3)由sin2α＋cos2α＝1联立方程组也可以解得，但要注意根据角的范围取舍解，这种方法计算量较大． [变式训练] 5．已知sin α＋cos α＝eq \f(1,5)，求： (1)sin αcos α；(2)sin α－cos α. 解：(1)由sin α＋cos α＝eq \f(1,5)， 平方得2sin αcos α＝－eq \f(24,25)， ∴sin αcos α＝－eq \f(12,25). (2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋eq \f(24,25)＝eq \f(49,25)， ∴sin α－cos α＝±eq \f(7,5). 1．(多选题)若tan α＝t(t≠0)，且sin α＝－eq \f(t,\r(1＋t2))，则α可能是(　　) A．第一象限角　　　　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：BC　[由tan α＝eq \f(sin α,cos α)得cos α＝eq \f(sin α,tan α)，所以cos α＝－eq \f(1,\r(1＋t2))<0，故α是第二、三象限角．] 2．若tan α＝2，则sin2α－cos2α的值为(　　) A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5) 解析：C　[由tan α＝2，得sin α＝2cos α，且sin2α＋cos2a＝1，所以5cos2α＝1，得cos2α＝eq \f(1,5)，所以sin2α－cos2α＝eq \f(3,5).] 3．已知sin α－cos α＝eq \r(2)，则tan α＝(　　) A．－1 B．－eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(2),2) D．1 解析：A　[将等式sin α－cos α＝eq \r(2)两边平方，得到2sinαcosα＝－1，整理得1＋2sin αcos α＝0，即sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝0，所以(sin α＋cos α)2＝0，所以sin α＋cos α＝0， 由sin α－cos α＝eq \r(2)和sin α＋cos α＝0， 解得sin α＝eq \f(\r(2),2)，cos α＝－eq \f(\r(2),2)， 故tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝－1.] 4．已知0≤α≤eq \f(π,2)，sin αcos α＝eq \f(1,2)，则sin α＋cos α＝　________　. 解析：由题意得sin α＋cos α＝eq \r(sin α＋cos α2)＝eq \r(1＋2sin αcos α)＝eq \r(2). 答案：eq \r(2) 5．求证：eq \f(sin α－cos α＋1,sin α＋cos α－1)＝eq \f(1＋sin α,cos α). 证明：左边＝eq \f(sin α－cos α＋1sin α＋cos α＋1,sin α＋cos α－1sin α＋cos α＋1) ＝eq \f(sin α＋12－cos2α,sin a＋cos α2－1) ＝eq \f(sin2α＋2sin α＋1－1－sin2α,sin2α＋cos2α＋2sin αcos α－1) ＝eq \f(2sin2α＋2sin α,1＋2sin αcos α－1)＝eq \f(2sin αsin α＋1,2sin αcos α)＝eq \f(1＋sin α,cos α)＝右边，所以原等式成立． $