7.2.2 单位圆与三角函数线-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

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[知识梳理] [知识点一]　单位圆　 1．在平面直角坐标系中，坐标满足　x2＋y2＝1　的点组成的集合称为单位圆． 2．角α的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为(cos α，sin α)，即角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的　横坐标　和　纵坐标　. [知识点二]　三角函数线　 1．角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，M为垂足，点A(1,0)，直线x＝1与角α终边所在直线交于点T，如图． 则角α的正弦线为　eq \o(MP,\s\up16(→))　，余弦线为　eq \o(OM,\s\up16(→))　，正切线为　eq \o(AT,\s\up16(→))　. 2．正弦线、余弦线和正切线都称为　三角函数线　. 1.三角函数线的方向是如何规定的？ 提示：方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值． 2．三角函数线的长度和方向各表示什么？ 提示：长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负． [预习自测] 1．下列四个命题中： ①当α一定时，单位圆中的正弦线一定； ②在单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线； ④具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上． 则错误命题的个数是(　　) A．0　 B．1　　C．2　　D．3 解析：B　[由三角函数线的定义知①③④正确，②错误．] 2．角α的终边与单位圆交于点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，则sin α－cos α等于(　　) A．－eq \f(7,5)　 B．－eq \f(1,5)　　C.eq \f(7,5)　　D.eq \f(1,5) 解析：C　[依题意cos α＝－eq \f(3,5)，sin α＝eq \f(4,5)， 所以sin α－cos α＝eq \f(7,5).] 3．若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,4)))，则sin θ的取值范围是　________　. 解析：如图所示，作出eq \f(π,2)和eq \f(5π,4)的正弦线，可得sin θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1)). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1)) 三角函数线 [例1]　作出－eq \f(5π,6)的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出－eq \f(5π,6)的正弦、余弦和正切． [思路点拨]　 作出单位圆，再作出－eq \f(5π,6)角． [解]　如图，作－eq \f(5π,6)的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴，M为垂足． 直线x＝1过点A(1,0)且与－eq \f(5π,6)终边所在直线交于点T. 所以－eq \f(5π,6)的正弦线为eq \o(MP,\s\up16(→))，余弦线为eq \o(OM,\s\up16(→))，正切线为eq \o(AT,\s\up16(→)). 依题意∠POM＝eq \f(π,6)， 所以MP＝eq \f(1,2)，OM＝eq \f(\r(3),2)，AT＝eq \f(\r(3),3)， 所以点P坐标为(－eq \f(\r(3),2)，－eq \f(1,2))， 故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)))＝－eq \f(1,2)， coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)))＝－eq \f(\r(3),2)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)))＝eq \f(\r(3),3). (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线． (2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线eq \o(AT,\s\up16(→)). [变式训练] 1．在单位圆中，画出满足sin α＝eq \f(1,2)的角α的终边，并求角α的取值集合． 解：已知角α的正弦值，可知MP＝eq \f(1,2)，则P点纵坐标为eq \f(1,2).所以在y轴上取点(0，eq \f(1,2))，过该点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αα＝2kπ＋\f(π,6)，或α＝2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z)). 　　 利用三角函数比较大小 [例2]　利用三角函数线比较sineq \f(2π,3)和sineq \f(4π,5)，coseq \f(2π,3)和coseq \f(4π,5)，taneq \f(2π,3)和taneq \f(4π,5)的大小． [思路点拨]　先作出三角函数线，再比较大小． [解]　如图，sineq \f(2π,3)＝|eq \o(MP,\s\up16(→))|，coseq \f(2π,3)＝－|eq \o(OM,\s\up16(→))|，taneq \f(2π,3)＝－|eq \o(AT,\s\up16(→))|，sineq \f(4π,5)＝|eq \o(M′P′,\s\up16(→))|， coseq \f(4π,5)＝－|eq \o(OM,\s\up16(→))|，taneq \f(4π,5)＝－|eq \o(AT′,\s\up16(→))|. 显然|eq \o(MP,\s\up16(→))|>|eq \o(M′P′,\s\up16(→))|，符号皆正， ∴sineq \f(2π,3)>sineq \f(4π,5)； |eq \o(OM,\s\up16(→))|<|eq \o(OM′,\s\up16(→))|，符号皆负， ∴coseq \f(2π,3)>coseq \f(4π,5)； |eq \o(AT,\s\up16(→))|>|eq \o(AT′,\s\up16(→))|，符号皆负， ∴taneq \f(2π,3)<taneq \f(4π,5). 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”．(2)比较三角函数线的长度．(3)确定有向线段的正负． [变式训练] 2．利用三角函数线比较：a＝sineq \f(5π,7)，b＝coseq \f(2π,7)，c＝taneq \f(2π,7)的大小． 解：如图，在单位圆O中分别作出角eq \f(5π,7)的正弦线eq \o(M1P1,\s\up16(→))和eq \f(2π,7)的余弦线eq \o(OM2,\s\up16(→))、正切线eq \o(AT,\s\up16(→)). 由eq \f(5π,7)＝π－eq \f(2π,7)知，eq \o(M1P1,\s\up16(→))＝eq \o(M2P2,\s\up16(→))， 又eq \f(π,4)<eq \f(2π,7)<eq \f(π,2)， 易知coseq \f(2,7)π<sineq \f(5π,7)<taneq \f(2π,7)，故b<a<c. 利用三角函数线解不等式(组) [例3]　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥eq \f(\r(3),2)； (2)cos α≤－eq \f(1,2). [思路点拨]　在单位圆中画出角的三角函数线，观察图形即可求解． [解]　(1)作直线y＝eq \f(\r(3),2)交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围． 故满足要求的角α的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α2kπ＋\f(π,3)≤α≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)). (2)作直线x＝－eq \f(1,2)交单位圆于C，D两点．连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α2kπ＋\f(2π,3)≤α≤2kπ＋\f(4π,3)，k∈Z)). 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角函数不等式，应注意以下两点 (1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周角的整数倍． (2)注意区间是开区间还是闭区间． [变式训练] 3．已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，若α∈[0,2π)，求α的取值范围． 解析：∵点P在第一象限内， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α－cos α>0，,tan α>0，)) ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α>cos α，,tan α>0.)) 结合单位圆(如图所示)中三角函数线及0≤α<2π. 可知eq \f(π,4)<α<eq \f(π,2)或π<α<eq \f(5π,4). 　　 利用三角函数线求函数的定义域 [例4]　求函数f(x)＝eq \r(1－2cos x)＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin x－\f(\r(2),2)))的定义域． [思路点拨]　在单位圆中画出三角函数线，构造不等式组求解． [解]　由题意，自变量x应满足不等式组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－2cos x≥0，,sin x－\f(\r(2),2)>0，)) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cos x≤\f(1,2)，,sin x>\f(\r(2),2).)) 则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示， ∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x2kπ＋\f(π,3)≤x<2kπ＋\f(3,4)π，k∈Z)). 求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式(组)的解的问题．利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法．解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分． [变式训练] 4．已知函数f(α)＝eq \r(sin α)＋lg(2cos α－1)，求函数f(α)的定义域． 解：依题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α≥0，,2cos α－1>0，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α≥0，,cos α>\f(1,2).)) 在直角坐标系中作单位圆，如图所示， 由三角函数线可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kπ≤α≤2kπ＋πk∈Z，,2kπ－\f(π,3)<α<2kπ＋\f(π,3)k∈Z，)) 解集为图中阴影重叠的部分，故原不等式组的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α2kπ≤α<2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)). 1．已知角α的正弦线是单位的有向线段，那么角α的终边(　　) A．在x轴上 B．在y轴上 C．在直线y＝x上 D．在直线y＝x或y＝－x上 解析：B　[依题意sin α＝1或sin α＝－1， ∴角α的终边在y轴上．] 2．有三个命题：①eq \f(π,6)和eq \f(5π,6)的正弦线长度相等；②eq \f(π,3)和eq \f(4π,3)的正切线相同；③eq \f(π,4)和eq \f(5π,4)的余弦线长度相等．其中正确说法的个数为(　　) A．1　 B．2　　C．3　　D．0 解析：C　[eq \f(π,6)和eq \f(5π,6)的正弦线关于y轴对称，长度相等； eq \f(π,3)和eq \f(4π,3)两角的正切线相同； eq \f(π,4)和eq \f(5π,4)的余弦线长度相等． 故①②③都正确，故选C.] 3．使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，\f(π,4)))　　　 B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4))) D．[0，π] 解析：A　[如图所示，当x＝eq \f(π,4)和x＝－eq \f(3π,4)时，sin x＝cos x，故使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，\f(π,4))).] 4．不等式tan α＋eq \f(\r(3),3)>0的解集是　________　. 解析：不等式的解集如图所示(阴影部分)， ∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αkπ－\f(π,6)<α<kπ＋\f(π,2)，k∈Z)). 答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αkπ－\f(π,6)<α<kπ＋\f(π,2)，k∈Z)) 5．求函数y＝eq \r(1－2cos x)的定义域． 解：由题意知，自变量x应满足1－2cos x≥0， 即cos x≤eq \f(1,2)， 则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示， ∴函数的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x2kπ＋\f(π,3)≤x≤2kπ＋\f(5π,3)，k∈Z)). $