7.2.1 三角函数的定义-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

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[知识梳理] [知识点一]　利用角α终边上一点的坐标定义三角函数　 　如图所示，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r， 则sin α＝　eq \f(y,r)　，cos α＝　eq \f(x,r)　，tan α＝　eq \f(y,x)　. 其中r＝eq \r(x2＋y2) 1.终边在坐标轴的角α的三角函数值分别是什么？ 提示：α终边在x轴非负半轴时，sin α＝0， cos α＝1，tan α＝0； α终边在y轴非负半轴时，sin α＝1，cos α＝0，tan α不存在； α终边在x轴非正半轴时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0； α终边在y轴非正半轴时，sin α＝－1，cos α＝0，tan α不存在． 2．对于确定的角α，请问三角函数的结果会随点P在α终边上的位置的改变而改变吗？ 提示：不会．三角函数也是函数，是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定． [知识点二]　三角函数值的符号　 (1)图形表示： 正弦：　一二　象限正，　三四　象限负； 余弦：　一四　象限正，　二三　象限负； 正切：　一三　象限正，　二四　象限负． (2)记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (3)本质：三角函数值在各个象限内的符号，是根据单位圆与角的终边在各个象限内的交点坐标的符号决定的． (4)应用：根据三角函数值在各个象限内的符号，可以在不求三角函数值的情况下，判断三角函数的正负． 3.三角函数在各象限的符号由什么决定？ 提示：由三角函数定义可知，三角函数在各象限的符号由角α 终边上任意一点的坐标来确定． [预习自测] 1．已知角α的终边与单位圆的交点为P(eq \f(1,2)，－eq \f(\r(3),2))，则tan α＝(　　) A.eq \r(3)　　　　　　 B．－eq \r(3) C.eq \f(\r(3),3) D．－eq \f(\r(3),3) 答案：B 2．若sin α<0且tan α>0，则α在(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 3．角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－eq \f(3,5)，则b的值为(　　) A．3　　　　　　　 B．－3 C．±3 D．5 解析：A　[r＝eq \r(b2＋16)，cos α＝eq \f(－b,r)＝eq \f(－b,\r(b2＋16)) ＝－eq \f(3,5).所以b＝3.] 用定义求三角函数值 [例1] 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值． [思路点拨]　根据点P的坐标，求出点P到原点O的距离|OP|，再根据定义求出sin α，cos α的值，计算时要注意讨论a的正负． 解析：因为点P的坐标为(－3a,4a)(a≠0)，原点为O， 所以r＝|OP|＝eq \r(－3a2＋4a2)＝5|a|. ⅰ.当a>0时，则r＝5a，角α在第二象限，sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(4a,5a)＝eq \f(4,5)，cos α＝eq \f(x,r)＝eq \f(－3a,5a)＝－eq \f(3,5)，所以2sin α＋cos α＝eq \f(8,5)－eq \f(3,5)＝1. ⅱ.当a<0时，则r＝－5a，角α在第四象限， sin α＝eq \f(4a,－5a)＝－eq \f(4,5)，cos α＝eq \f(－3a,－5a)＝eq \f(3,5)， 所以2sin α＋cos α＝－eq \f(8,5)＋eq \f(3,5)＝－1. 综上所述，2sin α＋cos α＝±1. 已知角α的终边上一点P(x，y)，求三角函数值时，先求r＝|OP|(O为原点)，再根据定义sin α＝eq \f(y,r)，cos α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)确定三角函数值． 若条件中含有参数，要注意对参数进行分类讨论． [变式训练] 1．已知角α的终边上一点P(m，eq \r(3))，且cos α＝eq \f(\r(10),4)，则m＝　________　. 解析：由题意得x＝m，y＝eq \r(3)，∴r＝|OP|＝eq \r(m2＋3)， ∴cos α＝eq \f(x,r)＝eq \f(m,\r(m2＋3))＝eq \f(\r(10),4)，很明显m>0， 解得m＝eq \r(5). 答案：eq \r(5) 三角函数概念的综合应用 [例2] 已知角α的终边在直线y＝2x上，求sin α，cos α，tan α的值． [思路点拨]　注意讨论角的终边所在象限． 解析：在直线y＝2x上任取一点P(t,2t)(t≠0) 则r＝eq \r(t2＋2t2)＝eq \r(5)|t|. ①若t>0时，则r＝eq \r(5)t，从而sin α＝eq \f(2t,\r(5)t)＝eq \f(2,5) eq \r(5)， cos α＝eq \f(t,\r(5)t)＝eq \f(\r(5),5)，tan α＝eq \f(y,x)＝2. ②若t<0，则r＝－eq \r(5)t， 从而sin α＝eq \f(2t,－\r(5)t)＝－eq \f(2,5) eq \r(5)，cos α＝eq \f(t,－\r(5)t)＝－eq \f(\r(5),5)，tan α＝eq \f(y,x)＝2. 已知角α的终边在直线(或射线)上的问题时，常用的解题方法 第一步，取点，在角α的终边上任取一点P(x，y)，(P与原点不重合)， 第二步，计算r：r＝|OP|＝eq \r(x2＋y2)， 第三步，求值：由sin α＝eq \f(y,r)，cos α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)求值． [变式训练] 2．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且OP＝eq \r(10)，则m－n＝　________　. 解析：因为y＝3x，sin α<0，所以点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图像上，且m<0，n<0，n＝3m. 所以OP＝eq \r(m2＋n2)＝eq \r(10)|m|＝－eq \r(10)m＝eq \r(10). 所以m＝－1，n＝－3，所以m－n＝2. 答案：2 三角函数的符号 [例3] 判定下列各式的符号： (1)tan 191°－cos 191°； (2)sin 2cos 3tan 4. [思路点拨]　角的大小确定了，所在的象限就确定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只需确定角所在象限，即可进一步确定各式的符号． [解]　(1)∵191°是第三象限角， ∴tan 191°>0，cos191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0. (2)∵eq \f(π,2)<2<π，eq \f(π,2)<3<π，π<4<eq \f(3π,2)， ∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角． ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0. ∴sin 2cos 3tan 4<0. 1．判断三角函数值正负的两个步骤 (1)定象限：确定角α所在的象限． (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正二正弦，三正切，四余弦”来判断． 提醒：若sin α>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y轴的非负半轴上． 2．正弦、余弦函数值的正负规律 [变式训练] 3．判断下列各式的符号： (1)tan 120°sin 269°； (2)cos 4tan(－eq \f(23π,4))． 解析：(1)因为120°角是第二象限角， 所以tan 120°<0. 因为269°角在第三象限内，所以sin 269°<0. 所以tan 120°sin 269°>0. (2)因为π<4<eq \f(3π,2)，所以4弧度角是第三象限角， 所以cos 4<0，因为－eq \f(23π,4)＝－6π＋eq \f(π,4)， 所以－eq \f(23π,4)是第一象限角，所以tan(－eq \f(23π,4))>0， 所以cos 4tan(－eq \f(23π,4))<0. 1．如果α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sinα＝(　　) A.eq \f(1,2)　　　　　　　 B．－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2) 解析：D　[依题意可知点(2sin 30°，－2cos 30°)，即(1，－eq \r(3))，则r＝eq \r(12＋－\r(3)2)＝2，因此sin α＝eq \f(y,r)＝－eq \f(\r(3),2).] 2．若sin θ<0，cos θ<0，则eq \f(θ,2)是(　　) A．第二象限角 B．第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 解析：C　[由sin θ<0，cos θ<0知π＋2kπ<θ<eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z. ∴eq \f(π,2)＋kπ<eq \f(θ,2)<eq \f(3π,4)＋kπ，k∈Z. ∴eq \f(θ,2)是第二或第四象限角．] 3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－eq \f(2\r(5),5)，则y＝　________　. 解析：因为sin θ＝eq \f(y,\r(42＋y2))＝－eq \f(2\r(5),5)， 所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8. 答案：－8 4．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)且sin α>0， cos α≤0，则实数α的取值范围是　________　. 解析：因为点(3a－9，a＋2)在角α的终边上，sin α>0，cos α≤0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋2>0，,3a－9≤0，))解得－2<a≤3. 答案：－2<a≤3 5．已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝－eq \f(12,5)，求sin α＋cos α的值． 解析：根据三角函数的定义，tan α＝eq \f(a,5)＝－eq \f(12,5)，所以a＝－12，所以P(5，－12)，r＝13，所以sin α＝－eq \f(12,13)，cos α＝eq \f(5,13)，从而sin α＋cos α＝－eq \f(7,13). $