8.1.3 第2课时 用向量的坐标表示两个向量垂直的条件-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂课时作业word（人教B版）

对应学生课时P39 1．已知平面向量a＝(3,1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则x＝(　　) A．3　　　　　　　 B．1 C．－1 D．－3 解析：B　[∵a⊥b，∴a·b＝0，∴3x－3＝0，∴x＝1.] 2．已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为(　　) A．(3，－2) B．(3,2) C．(－3，－2) D．(－3,2) 解析：C　[设c＝(x，y)，c⊥a，∴2x－3y＝0. 又b·c＝1，∴x－2y＝1， 综合①②知x＝－3，y＝－2.] 3．已知点A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：C　[＝(19,4)－(－2，－3)＝(21,7)， ＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)， ·＝21－21＝0， ∴⊥. 则∠A＝90°， 又||≠||， ∴△ABC为直角三角形．] 4．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　) A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 解析：D　[∵·＝·， ∴(－)·＝0. ∴·＝0. ∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB， ∴O为三条高的交点．] 5．若角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的正半轴重合，点P在α的终边上，点Q(－3，－4)，且tan α＝－2，则与夹角的余弦值为(　　) A．－ B. C.或－ D.或 解析：C　[∵tan α＝－2， ∴可设P(x，－2x)， cos〈，〉＝＝， 当x＞0时，cos〈，〉＝， 当x＜0时，cos〈，〉＝－.] 6．(多选题)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出的下列结论正确的是(　　) A．a·c－b·c＝(a－b)·c B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 C．|a|－|b|＜|a－b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 解析：ACD　[根据向量数量积的分配律知A正确； ∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c ＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0， ∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；∵a，b不共线，∴|a|、|b|、|a－b|组成三角形三边， ∴|a|－|b|＜|a－b|成立，C正确；D正确．故正确命题的序号是A、C、D.] 7．已知a＝(2,5)，b＝(λ，－3)，且a⊥b，则λ＝　________　. 解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，即2λ－15＝0，λ＝. 答案： 8．设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，则m＝　________　. 解析：由题意得ma－b＝(m＋1，－m)，根据向量垂直的充要条件可得1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，所以m＝－1. 答案：－1 9．(多空题)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c＝(x，y)满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则x＝　________　，y＝　________　. 解析：∵c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)， 又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.① 又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.② 由①②解得x＝－，y＝－. 答案：－　－ 10．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)． (1)求a与b的夹角的余弦值； (2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值． 解：(1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2， |a|＝＝5，|b|＝＝， ∴cos〈a，b〉＝＝＝. (2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)， 又(a－λb)⊥(2a＋b)， ∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0， ∴λ＝. 11．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)．若a与b的夹角α为钝角，求实数λ的取值范围． 解：∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)， ∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1. ∵a，b的夹角α为钝角． ∴即 ∴λ＜1且λ≠－1. ∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)． 12．已知a＝，＝a－b，＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b. 解：设向量b＝(x，y)． 根据题意得·＝0，||＝||. ∴(a－b)·(a＋b)＝0，|a－b|＝|a＋b|， ∴|a|＝|b|，a·b＝0. 又∵a＝，即 解得或 ∴b＝或b＝. 13．已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证： (1)BE⊥CF； (2)AP＝AB.解：建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2， 则A(0,0)，B(2,0)． (1)＝(－1,2)，＝(－2，－1)． ∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴⊥，即BE⊥CF. (2)设点P坐标为(x，y)，则＝(x，y－1)， ＝(2,1)，∵∥， ∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2， 同理，由∥得y＝－2x＋4， 由，得 ∴点P的坐标为. ∴||＝＝2＝||，即AP＝AB. 学科网（北京）股份有限公司 $