8.1.1 第2课时 向量的投影与向量数量积的几何意义-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂课时作业word（人教B版）

对应学生课时P33 1．若a·c＝b·c(c≠0)，则(　　) A．a＝b B．a≠b C．|a|＝|b| D．a在c方向上的投影数量与b在c方向上的投影数量必相等 解析：D　[设a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2， ∵a·c＝b·c，∴|a|·|c|cos θ1＝|b|·|c|cos θ2， 即|a|cos θ1＝|b|cos θ2，故选D.] 2．已知|a|＝4，e为单位向量，a在e方向上的投影数量为－2，则a与e的数量积为(　　) A．8　　　　　　　 B．－2 C．4 D．－4 解析：B　[由数量积的几何意义知 a·e＝|e|·|a|·cos θ＝1×(－2)＝－2.] 3．已知|b|＝2，a在b上的投影的数量为，则a·b的值为(　　) A. B. C．2 D. 解析：B　[由数量积的几何意义知a·b＝(|a|cos〈a·b〉)|b|＝×2＝.] 4．已知向量a，b满足|a|＝1，a⊥b，则向量a－2b在向量a方向上的投影数量为(　　) A．1 B. C．－1 D. 解析：A　[设θ为向量a－2b与向量a的夹角， 则向量a－2b在向量a方向上的投影数量为 |a－2b|cos θ. 又cos θ＝＝＝， 故|a－2b|cos θ＝|a－2b|·＝1.] 5．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉等于(　　) A．150° B．120° C．60° D．30° 解析：B　[∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2. 又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2， 即2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2. ∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝120°.] 6．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．a⊥b⇒a·b＝0 B．向量b在a方向上投影数量为|b|·cos〈a·b〉 C．数量积a·b的几何意义等于a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|·cos θ的乘积 D．在△ABC中，·＜0，则△ABC的形状是钝角三角形 解析：ABCD　[由数量积的几何意义知A、B、C、D都正确．] 7．已知|b|＝3，a在b方向上的投影数量是，则a·b＝　________　. 解析：a·b＝|b|·|a|·cos θ＝3×＝2. 答案：2 8．已知a·b＝16，若a在b方向上的投影数量为4，则|b|＝　________　. 解析：设a与b的夹角为θ，∵a·b＝16， ∴|a|·|b|·cos θ＝16， 又∵a在b方向上投影数量为4， ∴|a|·cos θ＝4，∴|b|＝4. 答案：4 9．已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则向量a－b在向量a＋b方向上的投影是　________　. 解析：依题意得(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝－3，(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝3，即|a＋b|＝，向量a－b在向量a＋b方向上的投影是＝＝－. 答案：－ 10.如图，在菱形ABDE中，其对角线||＝6，||＝8.求： (1)·； (2)在上的投影的数量； (3)在上的投影的数量． 解：根据菱形的性质得||＝5，||＝4，||＝3， ∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°. ∴cos ∠BAC＝＝，cos ∠ABC＝＝. (1)·＝||·||cos(π－∠ABC) ＝5×4×(－cos ∠ABC) ＝20×＝－16. (2)在上的投影的数量为||·cos〈，〉＝3×cos ∠BAC＝3×＝. (3)在上的投影的数量为||·cos〈，〉＝5×cos(π－∠ABC)＝－5cos ∠ABC＝－5×＝－4. 11．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影数量为－1. (1)求a与b的夹角θ； (2)求(a－2b)·b； (3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？ 解：(1)∵|a|＝2|b|＝2， ∴|a|＝2，|b|＝1. 又a在b方向上的投影数量为|a|cos θ＝－1， ∴cos θ＝－，∴θ＝. (2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝|a||b|cos θ－2b2 ＝－1－2＝－3. (3)∵λa＋b与a－3b互相垂直， ∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2 ＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝. 12．在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求： (1)·； (2)在方向上的投影数量； (3)在方向上的投影数量． 解：∵||＝5，||＝4，||＝3. ∴△ABC为直角三角形，且C＝90°. ∴cos A＝＝，cos B＝＝. (1)·＝－·＝－5×4×＝－16； (2)||·cos〈，〉＝＝＝； (3)||·cos〈，〉＝＝ ＝＝－4. 13．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120°，求使a＋kb与ka＋b的夹角为锐角的实数k的取值范围． 解：(a＋kb)·(ka＋b)＝ka2＋(k2＋1)a·b＋kb2 ＝k＋(k2＋1)×2×cos 120°＋4k ＝－k2＋5k－1. 令－k2＋5k－1＞0，解得＜k＜. 当a＋kb与ka＋b同向时，设a＋kb＝λ(ka＋b)(λ＞0)． 由已知a，b不共线，可得λk＝1，k＝λ， 解得k＝λ＝1， 因此，实数k的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $