8.1.1 第1课时 两个向量的夹角、向量数量积的定义-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂课时作业word（人教B版）

应学生课时P31 1．在等腰直角三角ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于(　　) A．－2　　　　　　　 B．2 C．－2 D．2 解析：B　[·＝||||cos∠ABC＝2××cos 45°＝2.] 2．已知向量|a|＝10，|b|＝12，且a·b＝－60，则向量a与b的夹角为(　　) A．60° B．120° C．135° D．150° 解析：B　[设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝－， ∴θ＝120°.] 3．已知a、b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：B　[因为a、b为单位向量，且其夹角为60°， 所以a·b＝1×1×cos 60°＝， (2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×－1＝0.] 4．在△ABC中，C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：C　[如图， 作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为C＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°.] 5．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值为(　　) A．－7 B．7 C．25 D．－25 解析：D　[由条件知∠ABC＝90°， 所以原式＝0＋4×5cos(180°－C)＋5×3cos(180°－A) ＝－20cos C－15cos A ＝－20×－15×＝－16－9＝－25.] 6．(多选题)已知向量a，b和实数λ，下列选项中正确的是(　　) A．|a|2＝a2 B．|a·b|＝|a||b| C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a||b| 解析：ACD　[选项B中，|a·b|＝|a||b|cos θ，其中θ为a与b的夹角．] 7．若|a|＝|b|＝|a－b|＝r(r＞0)，则a与b的夹角为　________　. 解析：作＝a，＝b，则＝a－b，∠AOB为a与b的夹角，由|a|＝|b|＝|a－b|知△AOB为等边三角形，则∠AOB＝60°. 答案：60° 8．在△ABC中，＝13，＝5，＝12，则·的值是　________　. 解析：易知||＝||2＋||2， C＝90°.cos B＝， ∴cos〈，〉＝cos(180°－B) ＝－cos B＝－. ∴·＝||·||cos(180°－B) ＝13×5×＝－25. 答案：－25 9．(多空题)已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是　________　，·＝　________　. 解析：·＝||||cos ∠BAC， 即8＝4×4cos ∠BAC，于是cos ∠BAC＝， 因为0°＜∠BAC＜180°，所以∠BAC＝60°. 又AB＝AC，故△ABC是等边三角形． 此时·＝||||cos 120°＝－8. 答案：等边三角形　－8 10．已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)·；(2)·；(3)·. 解：(1)∵与的夹角为60°. ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. (2)∵与的夹角为120°， ∴·＝||||cos 120° ＝1×1×＝－. (3)∵与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. 11．已知向量a，b的夹角为30°，且|a|＝，|b|＝1，求向量p＝a＋b与q＝a－b的夹角θ的余弦值． 解：p·q＝(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝3－1＝2. ∵|p|＝|a＋b|＝ ＝＝， |q|＝|a－b|＝＝ ＝1， ∴cos θ＝＝＝. 12．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，求·(＋)的最小值． 解：设＝t，0≤t≤1，则＋＝2＝2t， ＝＋＝t－＝(t－1)， ∴·(＋)＝2(t－1)t2＝8(t－1)t＝8t2－8t ＝82－2，∴当t＝时，·(＋)有最小值－2. 13．如图，已知△ABC是等边三角形． (1)求向量与向量的夹角； (2)若E为BC的中点，求向量与的夹角． 解： (1)∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°. 如图，延长AB至点D，使AB＝BD，则＝， ∴∠DBC为向量与的夹角． ∵∠DBC＝120°， ∴向量与的夹角为120°. (2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC， ∴与的夹角为90°. 学科网（北京）股份有限公司 $