第四章《因式分解》单元测试 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第四章《因式分解》2025-2026学年北师版八年级数学下册 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 一次课堂练习，小璇同学做了如下4道因式分解题，你认为小璇做得不正确的一题是（   ） A．a3－a＝a(a2－1) B．m2－2mn＋n2＝(m－n)2 C．x2y－xy2＝xy(x－y) D．x2－y2＝(x－y)(x＋y) 2．下列多项式能用平方差公式因式分解的是（   ） A．x2－xy B．x2＋xy C．x2－y2 D．x2＋y2 3. 因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 4． 八年级(1)班实行高效课堂教学，四人为一组，每做对一道题得0．5分， “奋斗组”的四个同学做了四道因式分解题， 甲：x2－4x＋4＝(x－2)2，乙：x2－9＝(x－3)2， 丙：2x3－8x＝2x(x2－4)，丁：(x＋1)2－2(x＋1)＋1＝x2， 则“奋斗组”得 （   ） A．0．5分 B．1分 C．1．5分 D．2分 5． 如图，边长为，的长方形周长为12，面积为7，则的值为（   ）    A．84 B．64 C．42 D．32 6． 已知，则a2－b2－2b的值为（   ） A．4 B．3 C．1 D．0 7． 化简所得的结果为（   ） A． B． C． D．2 8. 明明和丽丽在因式分解关于x的多项式时，明明获取的其中一个正确的因式为， 丽丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C．11 D．13 9. 因式分解x2＋ax＋b时，甲看错了a的值，分解的结果是(x＋6)(x－1)，乙看错了b的值， 分解的结果是(x－2)(x＋1)，那么x2＋ax＋b因式分解的正确结果为 （   ） A．(x＋2)(x－3) B．(x－2)(x＋1) C．(x＋6)(x－1) D．无法确定 10. 若a，b，c是的三条边，且满足， ， 则的形状为（   ） A． 直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．分解因式：m2﹣2m = ． 12．如果，，那么代数式的值是 ． 13．分解因式：＝ 14. 利用1个的正方形，1个的正方形和2个的长方形可拼成一个正方形（如图所示）， 从而可得到因式分解的公式 ． 15．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，得原式．上述解题用到的是“整体思想”， “整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法， 请利用上述方法将分解因式的结果是 ． 16．阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如： （1） = = ． （2） = = ． 试用上述方法因式分解 . 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．因式分解： (1)； (2)． 18．分解因式： (1)； (2)． 19．简便计算： (1)； (2)． 20．将下列各式因式分解： (1)2a2x－2ax＋x； (2)3x(x－y)3－6y(y－x)2； (3)(a＋b)2＋(a＋b)＋1. 21. 通过学习，同学们已经体会到灵活运用乘法公式使整式的乘法运算方便、快捷． 相信通过对下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦． 例：用简便方法计算：． 解：， ①， ②， . (1) 例题求解过程中，第②步变形是利用___________（填乘法公式的名称）． (2) 用简便方法计算：． 22. 睿睿自学因式分解时发现有一类形如二次三项式的分解因式的方法。 叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解， 这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则， 如图所示，仿照上述解决下列问题：    (1) 因式分解：； 睿睿做了如下分析： 一次项为：，则常数项为：； 则________；________； ∴（____）（____） (2) 因式分解：； 23．阅读材料： 对于多项式x2＋2ax＋a2可以直接用公式法分解为(x＋a)2的形式． 但对于多项式x2＋2ax－3a2就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点， 在x2＋2ax－3a2中先加上一项a2，再减去a2这项，使整个式子的值不变． 解题过程如下： x2＋2ax－3a2 ＝x2＋2ax－3a2＋a2－a2(第一步) ＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2(第二步) ＝(x＋a)2－(2a)2(第三步) ＝(x＋3a)(x－a)．(第四步) 参照上述材料，回答下列问题： (1) 上述因式分解的过程，从第二步到第三步，用到了哪种因式分解的方法(　　) A．提公因式法  B．平方差公式法 C．完全平方公式法  D．没有因式分解 (2) 从第三步到第四步用到的是哪种因式分解的方法：__________； (3) 请你参照上述方法把m2－6mn＋8n2因式分解． 24．阅读材料： 若，求m，n的值． 解：∵． ∴， ∴， ∴， 解得 根据你的观察，探究下面的问题： (1) 若，则a＝________，b＝________； (2) 已知，求的值； (3) 已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章《因式分解》2025-2026学年北师版八年级数学下册（解析卷） 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 一次课堂练习，小璇同学做了如下4道因式分解题，你认为小璇做得不正确的一题是（   ） A．a3－a＝a(a2－1) B．m2－2mn＋n2＝(m－n)2 C．x2y－xy2＝xy(x－y) D．x2－y2＝(x－y)(x＋y) 【答案】A 【分析】A、原式提取a，再利用平方差公式分解即可；B、原式利用完全平方公式分解即可；C、原式提取xy即可；D、原式利用平方差公式分解即可． 【详解】A、a3-a= a（a+1）（a-1），故错误； B、m2－2mn＋n2＝(m－n)2，正确； C、x2y－xy2＝xy(x－y) ，正确； D、x2－y2＝(x－y)(x＋y) ，正确. 故选A． 2．下列多项式能用平方差公式因式分解的是（   ） A．x2－xy B．x2＋xy C．x2－y2 D．x2＋y2 【答案】C 【分析】公式法是指完全平方公式和平方差公式．本题中A和B选项可以利用提取公因式法，C可以利用平方差公式，D无法进行因式分解． 【详解】解：A. x2－xy=，用提公因式因式分解，故选项A不正确；     B. x2＋xy=，用提公因式因式分解，故选项B不正确； C. x2－y2，能用平方差公式因式分解，故选项C正确；     D. x2＋y2不能因式分解，故选项D不正确． 故选C． 3.因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，利用平方差公式把原式化为，再整理即可． 【详解】解： ． 故选：D． 4． 八年级(1)班实行高效课堂教学，四人为一组，每做对一道题得0．5分， “奋斗组”的四个同学做了四道因式分解题， 甲：x2－4x＋4＝(x－2)2，乙：x2－9＝(x－3)2， 丙：2x3－8x＝2x(x2－4)，丁：(x＋1)2－2(x＋1)＋1＝x2， 则“奋斗组”得 （   ） A．0．5分 B．1分 C．1．5分 D．2分 【答案】B 【分析】根据因式分解的方法对四名同学做的题逐一进行判断即可得答案． 【详解】解：甲：x2－4x＋4＝(x－2)2，故甲同学的正确； 乙：x2－9＝(x+3)(x-3)，故乙同学的错误； 丙：2x3－8x＝2x(x2－4)=2x(x+2)(x-2)，故丙同学的错误； 丁：(x＋1)2－2(x＋1)＋1＝[(x+1)-1]2=x2，故丁同学的正确， 则“奋斗组”得了0.5×2=1分， 故选：B． 5．如图，边长为，的长方形周长为12，面积为7，则的值为（   ）    A．84 B．64 C．42 D．32 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，由题意可知，，把因式分解即可代入求解． 【详解】解：边长为，的长方形的周长为，面积为， ，， ， 故选：C． 6．已知，则a2－b2－2b的值为（   ） A．4 B．3 C．1 D．0 【答案】C 【分析】先将原式化简，然后将a−b＝1整体代入求解． 【详解】 故答案选：C． 7．化简所得的结果为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解—提公因式法，有理数的混合运算，熟练掌握提公因式法是解题的关键． 利用提公因式法，进行计算即可解答． 【详解】解： ， 故选：B． 8. 明明和丽丽在因式分解关于x的多项式时，明明获取的其中一个正确的因式为， 丽丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C．11 D．13 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，熟练掌握“多项式因式分解后，展开因式的乘积可通过系数对应求出原多项式的系数”是解题的关键．根据因式分解的性质，多项式等于两个正确因式的乘积，通过展开比较系数求和的值，再计算 【详解】解：∵ 多项式 有两个正确因式 和， ∴ ， 展开右边：， 比较系数得：，， ∴ ，， ∴ ． 故选：A． 9. 因式分解x2＋ax＋b时，甲看错了a的值，分解的结果是(x＋6)(x－1)，乙看错了b的值， 分解的结果是(x－2)(x＋1)，那么x2＋ax＋b因式分解的正确结果为 （   ） A．(x＋2)(x－3) B．(x－2)(x＋1) C．(x＋6)(x－1) D．无法确定 【答案】A 【分析】根据x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解特点即可得出答案．甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x-1），而b值不错可求出b的准确值，同理求出a的准确值后再分解因式． 【详解】因为甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x-1）=x2+5x-6， 所以b=-6， 又因为乙看错了b的值，分解的结果是（x-2）（x+1）=x2-x-2， 所以a=-1， 所以x2+ax+b=x2-x-6=（x+2）（x-3）． 故选A 10. 若a，b，c是的三条边，且满足， ， 则的形状为（   ） A． 直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，以及勾股定理逆定理，如果一个三角形两边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 由得，可判断为等腰三角形；由得，可判断也是直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：   ∴，即， ∴为等腰三角形； 又 ∴是直角三角形； ∴为等腰直角三角形． 故选D． 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．分解因式：m2﹣2m = ． 【答案】． 【分析】提公因式法进行因式分解，直接提取公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．如果，，那么代数式的值是 ． 【答案】−32 【分析】由＝（x＋y）（x−y），然后用整体代入法进行求解． 【详解】解：∵x＋y＝−4，x−y＝8， ∴＝（x＋y）（x−y）＝（−4）×8＝−32． 故答案为−32． 13．分解因式：＝ 【答案】a（a＋4）（a－4） 【分析】先提取公因式a，再运用平方差公式分解即可. 【详解】 . 故答案为：a(a+4)(a-4) 14. 利用1个的正方形，1个的正方形和2个的长方形可拼成一个正方形（如图所示）， 从而可得到因式分解的公式 ． 【答案】 【分析】根据题意可知拼接后的图形的构成，是由1个的正方形，1个的正方形和2个的矩形构成的，所以这个图形的面积是这几个图形的面积之和；根据拼接后的图形是一个边长为的正方形，结合正方形的面积公式可求出该图形的面积． 【详解】解：根据面积计算公式可得． 故答案为：． 15．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，得原式．上述解题用到的是“整体思想”， “整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法， 请利用上述方法将分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】令，代入后因式分解后，再将还原即可得到答案． 【详解】解：令， 则原式， 再将还原，原式， 故答案为：． 16．阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如： （1） = = ． （2） = = ． 试用上述方法因式分解 . 【答案】(a＋b)(a＋b＋c) 【分析】首先进行合理分组，然后运用提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】原式＝(a2＋2ab＋b2)＋(ac＋bc) ＝(a＋b)2＋c(a＋b) ＝(a＋b)(a＋b＋c)． 故答案为：(a＋b)(a＋b＋c) 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式并灵活运用是解答的关键． （1）直接提公因式，即可求解； （2）先提公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可求解． 【详解】（1）解： （2） 18．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了分解因式，分解因式应首先观察多项式中是否有公因式，如果有公因式要先提公因式，然后再考虑是否能运用公式法分解因式，分解因式一定要分解到不能再分解为止． （1）先提出公因式，然后再用完全平方公式分解因式； （2）首先把多项式中的整体作为公因式提出来，然后再利用平方差公式继续分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解在有理数简便运算中的应用， （1）先提出公因式数，然后在进行计算即可； （2）先将分子和分母分别进行因式分解，再进行计算即可； 利用提公因式法进行因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 20．将下列各式因式分解： (1)2a2x－2ax＋x； (2)3x(x－y)3－6y(y－x)2； (3)(a＋b)2＋(a＋b)＋1. 【答案】(1) x(2a－1)2;(2) 3(x－y)2(x2－xy－2y);(3) (a＋b＋2)2 【分析】（1）先提取公因式x，再根据完全平方公式进行二次分解． （2）直接提取公因式3（x-y）2，即可求得答案． （3）直接利用完全平方公式分解即可求得答案． 【详解】(1)原式＝x（4a2-4a+1）=x (2a－1)2. (2)原式＝3(x－y)2[x(x-y)-2y]= 3(x－y)2 (x2－xy－2y)． (3)原式＝[（a+b）+1]2= (a＋b＋2)2. 21. 通过学习，同学们已经体会到灵活运用乘法公式使整式的乘法运算方便、快捷． 相信通过对下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦． 例：用简便方法计算：． 解：， ①， ②， . (1) 例题求解过程中，第②步变形是利用___________（填乘法公式的名称）． (2) 用简便方法计算：． 【答案】（1）平方差公式；（2）． 【分析】（1）因为这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以利用平方差公式； （2）首先将原式变形为：（10﹣1）（10+1）（100+1）（10000+1），再利用平方差公式依次计算即可求得答案． 【详解】（1）平方差公式； （2）9×11×101×10001， =（10﹣1）（10+1）（100+1）（10000+1）， =（100﹣1）（100+1）（10000+1）， =（10000﹣1）（10000+1）， =． 22. 睿睿自学因式分解时发现有一类形如二次三项式的分解因式的方法。 叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解， 这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则， 如图所示，仿照上述解决下列问题：    (1) 因式分解：； 睿睿做了如下分析： 一次项为：，则常数项为：； 则________；________； ∴（____）（____） (2) 因式分解：； 【答案】(1)2，4，2，4 (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，灵活运用十字相乘法进行因式分解成为解题的关键． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用十字相乘法分解分解可得． 【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为，则；； 所以． 故答案为：2，4，2，4． （2）解：一次项为：，则常数项为， 则． 23．阅读材料： 对于多项式x2＋2ax＋a2可以直接用公式法分解为(x＋a)2的形式． 但对于多项式x2＋2ax－3a2就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点， 在x2＋2ax－3a2中先加上一项a2，再减去a2这项，使整个式子的值不变． 解题过程如下： x2＋2ax－3a2 ＝x2＋2ax－3a2＋a2－a2(第一步) ＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2(第二步) ＝(x＋a)2－(2a)2(第三步) ＝(x＋3a)(x－a)．(第四步) 参照上述材料，回答下列问题： (1)上述因式分解的过程，从第二步到第三步，用到了哪种因式分解的方法(　　) A．提公因式法  B．平方差公式法 C．完全平方公式法  D．没有因式分解 (2) 从第三步到第四步用到的是哪种因式分解的方法：__________； (3) 请你参照上述方法把m2－6mn＋8n2因式分解． 【答案】(1)C；(2)平方差公式法；(3)(m－2n)(m－4n)． 【分析】（1）根据因式分解定义判断即可； （2）参照平方差公式即可得知； （3）类比题干方法，原式配上n2以构成完全平方式，再用平方差公式分解即可． 【详解】(1)C； (2)平方差公式法； (3)m2－6mn＋8n2 ＝m2－6mn＋8n2＋n2－n2 ＝m2－6mn＋9n2－n2 ＝(m－3n)2－n2 ＝(m－2n)(m－4n)． 24．阅读材料： 若，求m，n的值． 解：∵． ∴， ∴， ∴， 解得 根据你的观察，探究下面的问题： (1) 若，则a＝________，b＝________； (2) 已知，求的值； (3) 已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1)2，0 (2) (3)7 【分析】（1）利用配方法将三项配方成完全平方式的形式，利用非负数的性质求得a、b的值即可； （2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可； （3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴解得：， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， 由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3， ∴的周长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $