河北省秦皇岛市山海关第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷

河北省秦皇岛市山海关第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考 数学试卷 注意事项： 1.本试题共两部分，满分150分，时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂然.如要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试上无效。 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 ，，则 A. 　　　　　　B. C. 　　　　　D. 2.复数 满足 ，则 的虚部为 A. 　　B. 　　C. 　　D. 3.函数 的最小值为 A. 　　B. 　　C. 　　D. 4.根据表中数据，计算这 100 名学生身高的方差为 人数 平均身高(单位:cm) 方差 男生 60 170 4 女生 40 165 3 A. 　　B. 　　C. 　　D. 5.记 为正项等差数列 的前 项和，若 ，则 A. 　　B. 　　C. 　　D. 6.已知 的内角 的对边分别为 。若 ，，则 A. 　　B. 　　C. 　　D. 7.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 作直线 交 于 两点，若 是边长为 的等边三角形，则圆 上的点到直线 的距离的最大值为 A. 　　B. 　　C. 　　D. 8.已知 ，，，，则 A. 　　B. 　　C. 　　D. 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9.下列选项正确的是 A. 若 ，，则 B. 若 ，则 C. D. 若 且 ，则 10.已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，，则 A. B. 的零点个数为 3 C. 的极值点个数为 3 D. 若方程 有三个实数根，则 的取值范围是 11.我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“完美曲线”，“完美曲线”与其对称轴的交点叫作“完美曲线”的顶点。已知“完美曲线”，则 A. 曲线 有 4 个顶点 B. 曲线 有 4 条对称轴 C. 曲线 与直线 有 4 个交点 D. 曲线 上的动点 到原点距离的最小值的平方为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.已知向量 是单位向量，，若 ，则 在 上的投影向量为______。 13.若关于 的不等式 有解，则 的取值范围是______。 14.如图，在正四面体 中，放置 1 大、4 中、4 小共 9 个球，其中，大球为正四面体 的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切。若正四面体 的体积为 ，则 9 个球的表面积之和为______。 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.（本小题满分 13 分） 已知函数 ，当 时， 的最小值为 。 (1) 求函数 在区间 内的零点个数； (2) 将函数 的图象向左平移 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到函数 的图象，求 的值域和单调区间。 16.（本小题满分 15 分） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且 ，过 作 轴的垂线被 所截得的弦长为 ，坐标原点为 。 (1) 求椭圆 的方程； (2) 直线 与椭圆 交于 两点，若 的面积为 ，求实数 的值。 17.（本小题满分 15 分） 如图，在等腰梯形 中，，， 是 的中点。现将 沿 翻折，点 翻折到点 的位置，使得二面角 的大小为 。 (1) 求证：； (2) 若点 为 的重心，求平面 与平面 所成二面角的正弦值。 18.（本小题满分 17 分） 现将红、黄、蓝三色球从左往右放置在一排格子中，要求最左端放红球，且相同颜色球不连续放。若前一格放红球，则下一格放黄球或蓝球的概率相等；若前一格放黄球或蓝球，则下一格放红球的概率为 。 (1) 求从最左端往右数第 4 个球是红球的概率； (2) 求从最左端往右数第 个球是红球的概率； (3) 已知格子总数为 100，设红、黄、蓝三色球放置的个数分别为 ，判断 的大小关系。 19.（本小题满分 17 分） 已知函数 ，。 (1) 若函数 与函数 的图象在公共点处有共同的切线，求该切线的方程； (2) 若函数 ， 的最小值为 ，求实数 的值； (3) 若函数 有两个极值点 ，证明：。 2 学科网（北京）股份有限公司 $