精品解析：上海市青浦区2025-2026学年第一学期高一数学期末

青浦区2025-2026学年第一学期高一年级数学期末统考 2026.1 一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，每个空格填对得3分． 1. 设集合，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用集合交集的定义求解即可. 【详解】由于集合，则; 故答案为： 2. 若幂函数的图像经过点，则该幂函数的表达式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据可得出的值，由此可得出函数的解析式. 【详解】根据题意，设，则，解得，故. 故答案为：. 3. 已知命题对任意的，都有，则的否定形式为_______． 【答案】存在，使得 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】由题意可知，命题为全称量词命题， 该命题的否定为：存在，使得. 故答案为：存在，使得. 4. 函数y＝log2(x2－2x＋3)的值域是________． 【答案】[1，＋∞) 【解析】 【详解】令， 因为，则， 所以值域为． 点睛：本题利用复合函数的性质求解，先求出内函数的值域为，再由外函数为单调递增，得原函数值域为．复合函数要充分利用内外函数的单调性进行解题． 5. 已知函数，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，代入即可求解. 【详解】由函数可得，. 故答案为： 6. 比较两数的大小：____（在下列符号中，选择最恰当的填入：、、、、. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，结合对数函数与的单调性可得出与的大小关系. 【详解】构造函数，其中，则， 所以函数在上为减函数，所以， 即，即，即， 所以. 故答案为：. 7. 函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的图象与轴交点坐标，数形结合可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】由可得，解得， 即函数的图象与轴的交点为，作出该函数的图象如下图所示： 要使得函数的图象不经过第四象限，只需，解得. 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 8. 已知是定义域为的偶函数，且时，，则的值域是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出当时函数的取值范围，再由函数为偶函数，得出函数在上的值域. 【详解】因为时，，函数为增函数， 所以， 又是定义域为的偶函数， 所以图象关于轴对称，故当时，， 即的值域. 故答案为： 9. 对于任意实数，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】分段讨论，去掉绝对值求解即可. 【详解】当不等式取等号时， 当时，即，解得； 当时，即，解得，不符合题意，舍去； 当时，即，解得，不符合题意，舍去； 当时，即，解得. 综上可知，不等式取等号时，. 故答案为：. 10. 已知函数，其中，若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知直线与函数在上的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】由可得，且， 由题意可知直线与函数在上的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 11. 已知函数的表达式为，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为转化为代数不等式，再结合的取值范围，求的取值范围. 【详解】对任意的，，故函数的定义域为， 因为，故函数为奇函数， 当时，， 因为函数、在上为增函数，故函数在上为增函数， 又因为函数为奇函数，故该函数在上为增函数， 所以函数在上为增函数， 由可得， 所以，即，时成立. 因为，所以或，所以或. 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 12. 若函数和的图象上不存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意推得关于的方程无解，即方程无解，利用基本不等式推出，即得参数的取值范围. 【详解】设是的图象上的任意一点，则它关于轴的对称点必不在函数的图象上， 即关于的方程无解，显然，则无解. 因，当且仅当，即时取等， 故有. 故答案为：. 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题答对得3分，否则一律得零分. 13. 下列函数中，定义域为的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将选项中的幂函数分别化成根式，即可求得函数的定义域逐一判断即可. 【详解】对于A，因，则该函数的定义域为，故A不合题意； 对于B，因，该函数的定义域为，故B不合题意； 对于C，因，则该函数的定义域为，故C符合题意； 对于D，因，则该函数的定义域为，故D不合题意. 故选：C. 14. 已知a是实数，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，， 故，即成立，则成立； 当时，，但推不出成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 15. 下列函数中，对任意的、时，均有的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定函数的单调性，再对所给函数进行判断即可. 【详解】因为，对任意的、时，均有，所以函数在上单调递增. 对A：因为，所以幂函数在上单调递减，不合题意； 对B：因为函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，不合题意； 对C：因为，所以指数函数在上单调递增，在上就是单调递增，符合题意； 对D：因为，所以对数函数在上单调递减，不合题意. 故选：C 16. 已知函数的定义域为． 命题：若当时，都有，则函数是D上的奇函数． 命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数． 下列说法正确的是（ ） A. p、q都是真命题 B. p是真命题，q是假命题 C. p是假命题，q是真命题 D. p、q都是假命题 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合函数奇偶性与单调性的定义及判定方法，即可求解. 【详解】对于命题，令函数， 满足当时，都有，但函数不是R上的奇函数； 所以命题为假命题， 对于命题，令函数， 满足当时，都有，函数不是R上的增函数, 所以命题为假命题. 故选：D. 三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 已知幂函数在区间上是严格增函数，其图象经过点． （1）求、的值； （2）用定义法证明：函数在区间上是严格增函数． 【答案】（1） （2） 由（1）可得，则， 设，且，则， 因，则，故,则有， 即函数在区间上是严格增函数. 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质确定，即得函数解析式，再代入点求出的值即可； （2）利用函数的单调性定义推理证明即可. 【小问1详解】 由为幂函数，可得，解得或， 当时，在区间上是严格增函数，符合题意， 又函数图象经过点，则得，解得； 当时，在区间上单调递减，不合题意，舍去. 故. 【小问2详解】 略 18. 设集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别求出当时集合和集合，再求它们的交集； （2）根据充分不必要条件可知以是的真子集，由此确定实数的取值范围. 【小问1详解】 已知集合，当时，，即.  等价于，所以集合.   对于集合，这是一个分式不等式.  分式不等式等价于. 解不等式，可得，所以集合.   由前面求出的，， 所以. 【小问2详解】 由集合，解不等式可得， 即，所以集合.  因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集.  则有（等号不同时成立）.  解第一个不等式，得；解第二个不等式，得.  综上，实数的取值范围是. 19. 某仓储公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．因仓库的背面靠墙，无需建造费用，设仓库前面墙体的长为米．现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元；乙队给出的整体报价为元（）. （1）写出甲工程队的报价关于的函数表达式； （2）若不考虑其他因素，乙队要确保竞标成功，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据甲的报价方案，利用墙体面积，转化为关于的函数关系，即可求解； （2）根据（1）的结果，转化为不等式，分离参数后，转化为求函数最值问题，即可求解. 【小问1详解】 由题意可得： 甲队的报价为元，， 【小问2详解】 乙队给出的整体报价为元，若乙队要确保竞标成功， 则恒成立， ，，设， 则，又在为增函数， 则，则，即，又，则， 即实数的取值范围是． 20. 已知函数是定义域为的奇函数，且． （1）求函数的表达式； （2）设函数，若对任意的，存在使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质得出，可求出，再由可求出的值，可得出函数的解析式，再结合函数奇偶性的定义检验即可； （2）分析可知，分析函数在上的单调性，求出，然后对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，结合可得出的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 依题意函数是定义域为的奇函数， 所以，所以，又，解得． 此时，经检验，该函数为奇函数，故． 【小问2详解】 由（1）得， 若对任意的，存在，使得成立，则． 接下来证明函数在上为增函数， 任取、且，则，，所以， 当且仅当或时，，这与矛盾，故，且， ，故，即函数在上为增函数， 因为，故， 存在，成立，即． 若，则在上为增函数， 此时，解得， 若，则，此时符合题意． 若，则在上为减函数， 此时，解得，故符合题意， 综上可知：，即实数的取值范围是． 21. 对于定义域为的函数，如果存在，使得成立，则称函数满足“关系”． （1）判断函数是否满足“关系”？说明理由； （2）证明：函数满足“关系”； （3）设函数满足“关系”，求实数的取值范围． 【答案】（1）不满足，理由如下： 假设满足“关系”，则存在，使得， 即，而此方程的判别式，方程无实数解， 所以函数不满足“关系”. （2） 令， 则， 又因为，，故， 所以在上有实数解， 即存在实数，使得成立，所以满足“关系”. （3） 【解析】 【分析】（1）假设满足“关系”，则存在，可得出，化简得出，结合法可得出结论； （2）令，计算、的值，结合零点存在定理可得出结论； （3）根据题中定义得出，，则，可得出，求出代数式的取值范围，即为实数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为函数满足“关系”， 所以存在实数，使得，即， 所以， 令，则，所以， 因为，则，则，故， 即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青浦区2025-2026学年第一学期高一年级数学期末统考 2026.1 一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，每个空格填对得3分． 1. 设集合，则__________． 2. 若幂函数的图像经过点，则该幂函数的表达式为_______． 3. 已知命题对任意的，都有，则的否定形式为_______． 4. 函数y＝log2(x2－2x＋3)的值域是________． 5. 已知函数，则______. 6. 比较两数的大小：____（在下列符号中，选择最恰当的填入：、、、、. 7. 函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围为_______． 8. 已知是定义域为的偶函数，且时，，则的值域是______． 9. 对于任意实数，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数的取值范围是_______． 10. 已知函数，其中，若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围为_______． 11. 已知函数的表达式为，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为_______． 12. 若函数和的图象上不存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为_______． 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题答对得3分，否则一律得零分. 13. 下列函数中，定义域为的是（ ）. A. B. C. D. 14. 已知a是实数，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 下列函数中，对任意的、时，均有的是（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数的定义域为． 命题：若当时，都有，则函数是D上的奇函数． 命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数． 下列说法正确的是（ ） A. p、q都是真命题 B. p是真命题，q是假命题 C. p是假命题，q是真命题 D. p、q都是假命题 三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 已知幂函数在区间上是严格增函数，其图象经过点． （1）求、的值； （2）用定义法证明：函数在区间上是严格增函数． 18. 设集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19. 某仓储公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．因仓库的背面靠墙，无需建造费用，设仓库前面墙体的长为米．现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元；乙队给出的整体报价为元（）. （1）写出甲工程队的报价关于的函数表达式； （2）若不考虑其他因素，乙队要确保竞标成功，求实数的取值范围． 20. 已知函数是定义域为的奇函数，且． （1）求函数的表达式； （2）设函数，若对任意的，存在使得成立，求实数的取值范围． 21. 对于定义域为的函数，如果存在，使得成立，则称函数满足“关系”． （1）判断函数是否满足“关系”？说明理由； （2）证明：函数满足“关系”； （3）设函数满足“关系”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $