11.1.6 第二课时 台体与球的体积-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂课时作业word（人教B版）

1．若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的(　　) A．2倍　　　　　　　 B．4倍 C．8倍 D．16倍 解析：C　[设气球原来的半径为r，体积为V，则V＝πr3，当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为原来的23＝8倍．] 2．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为(　　) A. B. C. D．1 解析：C　[设正方体棱长为a，球半径为R， 则πR3＝π，∴R＝，∴a＝3，∴a＝.] 3．(2021·新高考Ⅱ卷，5)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为(　　) A．20＋12 B．28 C. D. 解析：D　[考查棱台体积的计算．如图，高h＝＝， ∴V＝(S上＋＋S下)h＝×＝.] 4．球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3∶4，则球的体积与圆台的体积之比为(　　) A．6∶13 B．5∶14 C．3∶4 D．7∶15 解析：A　[如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，球的大圆O内切于梯形ABCD，设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，由平面几何知识知，圆台的高为2R，母线长为r1＋r2. ∵∠AOB＝90°，OE⊥AB(E为切点)， ∴R2＝OE2＝AE·BE＝r1·r2. 由已知S球∶S圆台侧＝4πR2∶π(r1＋r2)2＝3∶4， ∴(r1＋r2)2＝R2. ∴V球∶V圆台＝ ＝＝＝.] 5．(多选题)下列命题正确的是(　　) A．台体的体积公式中令S＝S′，则得到柱体的体积公式V＝S·h B．球的体积与球的半径成正比，球的体积越大，半径越大 C．在台体的体积公式中令S′＝0，即可得锥体的体积公式V＝S·h D．若圆台的上、下底面半径分别为r，R，高为h，则V圆台＝πh(R2＋Rr＋r2) 解析：ACD　[球的体积与球的半径的立方成正比，半径越大，体积越大，A、C、D正确．] 6．(多选题)若一个球的直径为d，体积为V球，一个正方体的棱长为a，体积为V正，且它们的表面积相同，则有(　　) A．d＞a B．V球＜V正 C．d＜a D．V球＞V正 解析：AD　[球直径为d，则表面积S＝πd2.正方体棱长为a，则表面积为6a2.由πd2＝6a2，∴d2＞a2，即d＞a，又V球＝π·＝＝a2·d，V正＝a3，∴V球＞V正．] 7．圆台的高是4，母线长是5，侧面积是45π，则它的体积是　________　. 解析：作圆台的轴截面． 设上底面半径为r，则下底面半径为r＋3， 则侧面积45π＝π(r＋r＋3)×5， ∴r＝3，∴V圆台＝×4(9π＋36π＋18π)＝84π. 答案：84π 8．若一个三棱棱台的上、下底面面积分别为8,18，高为5，则该棱台的体积为　________　. 解析：V台＝h(S＋′＋S′)＝×5(8＋＋25)＝75. 答案：75 9．(多空题)正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，则内切球的表面积为　________　，体积为　________　. 解析：∵正三棱锥的高为1，底面边长为2，∴V锥＝××(2)2×1＝2.设内切球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥．又正三棱锥的斜高为＝，∴××(2)2·r＋3·××2×·r＝2，∴r＝－2.∴S球＝4(－2)2π，体积V＝(－2)3π. 答案：4(－2)2π　(－2)3π 10.三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比． 解：设三棱台的高为h，S△ABC＝S，则＝4S.所以＝S△ABC·h＝Sh，＝·h＝Sh.又因为V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，所以＝V台－－＝Sh－－＝ Sh，所以体积比为1∶2∶4. 11．已知正四面体ABCD的外接球的体积为4π，求正四面体的体积． 解：法一：将正四面体ABCD置于正方体中，如图所示， 则正四面体的外接球即为正方体的外接球，正方体的对角线即为球的直径． 设外接球的半径为R， 由V球＝R3＝4π得R＝， 所以正方体的棱长为2，所以AB＝2， 所以S△BCD＝×2×2×＝2. 因为点A到平面BCD的距离h＝×2R＝， 所以V＝S△BCD×h＝. 法二：如图所示，设正三角形BCD的中心为O1，O为球心，正四面体ABCD外接球的半径为R，连接O1D. 由已知得πR3－4π， 故R＝. 因为AE为球的直径， 所以AD⊥DE，AE⊥O1D. 设AD＝a，则O1D＝×a＝a， 故AO1＝＝a. 所以O1E＝2R－AO1＝2－a. 由Rt△AO1D∽Rt△DO1E， 得O1D2＝AO1·O1E，解得a＝2. 故V＝S△BCD·AO1＝×a2×a＝. 12．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为　________　. 解析：设球的半径为R，则V柱＝πR2·2R＝2πR3，V锥＝πR2·2R＝πR3，V球＝πR3，故V柱∶V锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2. 答案：3∶1∶2 13．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？ 解：设圆锥形杯子的高为h cm， 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子， 则必须V圆锥≥V半球， 而V半球＝×πr3＝××43， V圆锥＝Sh＝πr2h＝×42×h， 依题意：×42×h≥××43， 解得h≥8， 即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm，高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子． 又因为S圆锥侧＝πrl＝πr， 当圆锥高取最小值8时，S圆锥侧最小， 所以高为8 cm时，制造的杯子最省材料． 学科网（北京）股份有限公司 $