11.1.5 第一课时 圆柱、圆锥、圆台-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂课时作业word（人教B版）

1．图1是由下列哪个平面图形绕轴O′O旋转而成的组合体(　　) 解析：D　[组合体上半部分是圆锥，下半部分是一个圆台，因此应该是由上半部分为三角形，下半部分为梯形的平面图形旋转而成的，观察四个选项得D正确．] 2．一个圆锥的母线长为5，底面圆半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为(　　) A．10　　　　　　　　　 B．12 C．20 D．15 解析：B　[圆锥的轴截面是等腰三角形，腰长为5，底为6，则高为4，所以轴截面面积S＝×6×4＝12.] 3．(2021·新高考Ⅰ卷，3)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：B　[根据底面周长等于侧面展开图弧长，设母线为l，底面半径为r，则有2πr＝·2πl，化简得l＝2r＝2，答案选B.] 4．已知圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，则在圆柱侧面上从A到C的最短距离为(　　) A．10 cm B. cm C．5 cm D．5 cm 解析：B　[如图所示，沿母线BC剪开，曲面上从A到C的最短距离为平面上线段A1C1的长． ∵AB＝BC＝5 cm，∴的长为×2π×＝π＝A1B1， ∵B1C1＝BC＝5 cm， ∴A1C1＝＝＝5＝(cm)．故选B.] 5．(多选题)给出下列命题，正确的是(　　) A．圆柱的母线与它的轴可以不平行 B．圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线可以不互相平行的 解析：BC　[由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知BC正确，AD错误．] 6．(多选题)用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得小圆锥的侧面积与原来大圆锥的侧面积的比是1∶3，则这个截面把圆锥的高分成的两段的比是(　　) A．1∶3 B．1∶(－1) C．1∶9 D．(－1)∶1 解析：BD　[如图，由题意，可知圆锥PO1与圆锥PO的侧面积之比为1∶3，即＝. ∵△PO1A1∽△POA，∴＝＝，∴2＝ ＝，∴＝，∴＝.故选BD.] 7．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是　________　. 解析：所得几何体为圆柱，其底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π. 答案：2π 8．(2021·全国甲卷(文)，14)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为　________　. 解析：设圆锥的高为h，母线长为l，则 V＝Sh＝πr2·h＝12 πh＝30 π⇒h＝， 所以l＝＝ ＝， 所以S侧＝πrl＝6×π＝39 π， 故答案为：39 π. 答案：39 π 9．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是　________　，底面圆的半径是　________　. 解析：设圆锥的高为h，则圆锥的底面半径r＝.所以由题意可知·2r·h＝h＝8，∴h＝2，r＝＝2. 答案：2　2 10．把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面的半径比是1∶5，母线长是10 cm，求圆锥的母线长． 解：如图，△SAB为圆锥的轴截面，O为底面圆的圆心，AB为底面直径，截面圆的直径为A1B1，圆心为O1，则等腰梯形A1ABB1为截得圆台的轴截面． 由题意，知A1O1∶AO＝1∶5，A1A＝10 cm. 设圆锥的母线长为x cm，即SA＝x， 则SA1＝x－10. 根据相似三角形的性质，得＝，即＝，解得x＝， 所以圆锥的母线长为 cm. 11．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长． 解析：设圆台的母线长为l cm，由截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.过轴SO作截面，如图所示． 则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm，所以＝，所以＝＝，解得l＝9，即圆台的母线长为9 cm. 12．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4，再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥的高之比为(　　) A．3∶4 B．9∶16 C．27∶64 D．2∶ 解析：D　[设圆的半径为r，则两个圆锥母线长都为r，两个圆锥底面圆周长分别为2π·r×与2πr×，所以两圆锥底面圆半径分别为r，r，所以高分别为＝r，＝r，故高之比为2∶.] 13．已知在直角三角形ABC中，AC⊥BC，BC＝2，tan ∠ABC＝2(如图所示)． (1)若以AC为轴，直角三角形ABC旋转一周，试说明所得几何体的结构特征并求所得几何体的表面积． (2)一只蚂蚁在问题(1)形成的几何体上从点B绕着几何体的侧面爬行一周回到点B，求蚂蚁爬行的最短距离． 解析：(1)在直角三角形ABC中，由BC＝2，tan∠ABC＝2，即tan∠ABC＝＝2，得AC＝4.若以AC为轴旋转一周，形成的几何体为以BC＝2为半径，高AC＝4的圆锥，则AB＝＝6，其表面积为S＝π×22＋×2π×2×6＝16π. (2)由问题(1)的圆锥，要求蚂蚁爬行的最短距离，则沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形(如图)最短距离就是点B到点B1的距离， ∠BAB1＝＝在△ABB1中由余弦定理得BB1＝＝6. 所以蚂蚁爬行的最短距离为6. 学科网（北京）股份有限公司 $