11.1.5 第二课时 球-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂课时作业word（人教B版）

1．过球面上任意两点A，B作大圆，可能的个数是(　　) A．有且只有一个　　　 B．一个或无穷多个 C．无数个 D．以上均不正确 解析：B　[当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆．] 2．正方体的内切球半径与外接球半径的比是(　　) A．1∶ B．1∶ C.∶ D．1∶2 解析：B　[正方体的内切球半径为正方体棱长的一半，外接球半径为正方体对角线长的一半．设正方体的棱长为a，则内切球的半径为r＝，外接球的半径为R＝a，所以内切球半径与外接球半径的比为1∶.] 3．在半径为1的球面上有不共面的四个点A，B，C，D且AB＝CD＝x，BC＝DA＝y，CA＝BD＝z，则x2＋y2＋z2等于(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 解析：C　[如图所示，构造长方体，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c则a2＋b2＋c2＝22＝4，根据题意得a2＋b2＝x2，b2＋c2＝z2，a2＋c2＝y2，则x2＋z2＋y2＝2(a2＋b2＋c2)＝8，故选C.] 4．正方体的表面积为54，则它的外接球的表面积为(　　) A．27π B.π C．36π D.π 解析：A　[设正方体的棱长为a， 则S＝6a2＝54，∴a＝3. ∴其外接球半径为R＝a＝. ∴外接球表面积为S＝4πR2＝4π×2＝27π.] 5．(多选题)一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是(　　) 解析：ABC　[当截面平行于正方体的一个侧面时得C，当截面过正方体的体对角线时得B，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得A，但无论如何都不能截出D.] 6．(多选题)给出下列命题，其中正确的是(　　) A．球面上四个不同的点一定不在同一平面内 B．球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径 C．用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面 D．球的半径是球面上任意一点和球心的连线段 解析：BCD　[若四点在同一截面圆上，则这四点在同一平面内，故A错，B对，C对，D对．] 7．在半径为13的球面上有A、B、C三点，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为　________　. 解析：由线段的长度知△ABC是以AB为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r＝＝5，所以d＝＝12. 答案：12 8．长方体的长、宽、高分别为5,4,3，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为　________　. 解析：球的直径是长方体的体对角线，所以2R＝＝，S＝4πR2＝50π. 答案：50π 9．(多空题)球面上有三个点，其中任意两点的球面距离(经过两点的大圆在这两点之间的一段劣弧的长度)都等于大圆周长的，经过这三个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为　______　，表面积　________　. 解析：如图所示，设这三个点是A，B，C，球的半径为R，A，B，C所在的小圆半径为r，则2πr＝4π，即r＝2. ∵A，B，C三点中任意两点的球面距离是大圆周长的， ∴∠AOB＝∠AOC＝∠COB＝. ∵OA＝OB＝OC＝R，∴AB＝BC＝CA＝R. ∴△ABC是半径为2的圆的内接等边三角形． ∴×·R＝2，∴R＝2. S表＝4π×(2)2＝48π. 答案：2　48π 10．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积． 解：如图，设球心为O，半径为r， 则Rt△AOF中， (4－r)2＋()2＝r2， 解得r＝，∴该球的表面积为 4πr2＝4π×2＝π. 11．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径． 解：如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，则πr＝5π，π＝8π，所以r＝5，r＝8，又因为R2＝r＋d＝r＋d，所以d－d＝8－5＝3，即(d1－d2)(d1＋d2)＝3，又d1－d2＝1，所以解得 所以R＝＝＝3，即球的半径等于3. 12．已知球O是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O所得的截面面积为　________　. 解析：由题意知△ACD1是等边三角形，球与三边的中点都相切，平面ACD1截球O所得的截面即为△ACD1的内切圆．因为三角形的边长为，所以内切圆的半径r＝××＝，所以所求截面的面积为π×2＝. 答案： 13．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P－ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，求球O的表面积　________　. 解析：将三棱锥P－ABC放入长方体中，如图，三棱锥P－ABC的外接球就是长方体的外接球，因为PA＝AB＝2，AC＝4，△ABC为直角三角形，所以BC＝＝2，设外接球的半径为R，由题意可得(2R)2＝22＋22＋(2)2＝20，故R2＝5，则球O的表面积为4πR2＝20π. 答案：20π 学科网（北京）股份有限公司 $