9.2 正弦定理与余弦定理的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂课时作业word（人教B版）

1．如图所示，为测一树的高度，测量者在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　　 ) A．(15＋3) m　　　　　 B．(30＋15) m C．(30＋30) m D．(15＋30) m 解析：C　[由正弦定理及已知条件可得＝，故PB＝＝，所以树的高度h＝PBsin 45°＝＝30＋30(m)．] 2．若水平面上点B在点A南偏东30°方向上，则在点A处测得点B的方位角是(　　 ) A．60° B．120° C．150° D．210° 解析：C　[方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向的水平角．如图所示，点B的方位角是180°－30°＝150°.故选C.] 3．某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C的北偏东30°方向上，灯塔B在观察站C的正西方向上，则两灯塔A，B间的距离为(　　 ) A．500米 B．600米 C．700米 D．800米 解析：C　[由题意，在△ABC中，AC＝300米，BC＝500米，∠ACB＝120°.利用余弦定理可得AB2＝3002＋5002－2×300×500×cos 120°，所以AB＝700米，故选C.] 4．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是(　　 ) A．5 B．10 C．10 D．10 解析：C　[如图，设将坡底加长到C时，倾斜角为30°，在△ABC中，AB＝10 m，∠C＝30°，∠BAC＝75°－30°＝45°. 由正弦定理得＝.即BC＝＝＝10(m)．] 5．(多选题)某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好 km，则x的值为(　　) A. B．2 C．2 D．3 解析：AB　[如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°， 由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC. 即()2＝x2＋32－2x·3·cos 30°. ∴x2－3x＋6＝0. 解得x＝2或x＝.] 6．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为(　　 ) A．15 m B．20 m C．25 m D．30 m 解析：D　[设建筑物的高度为h，由题图知，PA＝2h，PB＝h，PC＝h， ∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得 cos∠PBA＝，① cos∠PBC＝.② ∵∠PBA＋∠PBC＝180°， ∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③ 由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)， 即建筑物的高度为30 m．] 7．作用在同一点的三个力F1，F2，F3平衡，已知F1＝30 N，F2＝50 N，F1与F2之间的夹角是60°，则F3与F1之间的夹角的正弦值为　________　. 解析：本题以物理中的力的分解知识为背景，主要考查正弦定理及余弦定理．由题意，知F3应和F1，F2的合力F平衡．设F3与F1之间的夹角为θ，作图(如图)， 可知当三力平衡时，由余弦定理得F3＝ ＝70 N，再由正弦定理得＝，即sin θ＝＝. 答案： 8．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝　________　. 解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点， 易知在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，则∠AOB＝60°. 由正弦定理知，x＝＝＝(cm)． 答案： cm 9．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼的高是　________　米，乙楼的高是　________　米． 解析：甲楼的高为20 tan 60°＝20×＝20(米)；乙楼的高为20－20tan 30°＝20－20×＝(米)． 答案：20　 10．某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环保标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC，△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.求AB的长度． 解析：在△ABC中，由余弦定理得： cos C＝＝， 在△ABD中，由余弦定理得： cos D＝＝. 由∠C＝∠D，得cos C＝cos D， 解得AB＝7，所以AB的长度为7米． 11．空中有一气球D，在它正西方向的地面上有一点A，在此处测得气球的仰角为45°，同时在气球的南偏东60°方向的地面上有一点B，测得气球的仰角为30°，两观察点A，B相距266 m，计算气球的高度． 解：如图，设CD＝x， 在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，所以AC＝CD＝x. 在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，所以CB＝＝x. 在△ABC中，∠ACB＝90°＋60°＝150°， 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB， 所以2662＝x2＋(x)2－2·x·x·，所以x＝38(m)．所以气球的高度为38 m. 12．(2021·上海卷)已知在ΔABC中，A、B、C所对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝2c. (1)若A＝，求S△ABC的面积； (2)若2sin B－sin C＝1，求△ABC的周长． 解：(1)cos A＝⇒－＝⇒ c＝； S△ABC＝bcsin A＝×2××＝. (2)依题意，正弦定理： ＝⇒sin B＝2sin C ∴代入计算：4sin C－sin C＝1⇒sin C＝， 则sin B＝ 当B为锐角时，sin A＝sin (B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝， ＝＝⇒ ， ∴C△ABC＝4－＋3 当B为钝角时，sin A＝sin (B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×－×＝， ＝＝⇒ ， ∴C△ABC＝4＋＋3 13．如图所示，一辆汽车从A市出发沿海岸一条直公路以100 km/h的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市500 km且与海岸距离为300 km的海上B处有一快艇与汽车同时出发，要把一件材料交送给这辆汽车的司机． (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把材料送到司机手中？ (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角； (3)若快艇每小时最快行驶75 km，快艇应如何行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要多长时间？ 解：如图所示，设快艇以v km/h的速度从B处出发，沿BC方向，t小时后与汽车在C处相遇． (1)在△ABC中，AB＝500，AC＝100t，BC＝vt，BD为AC边上的高，BD＝300. 设∠BAC＝α，则sin α＝，cos α＝， 由余弦定理得，BC2＝AC2＋AB2－2AB·ACcos α， 即v2t2＝(100t)2＋5002－2×500×100t·， 整理得，v2＝－＋10 000＝250 000＋10 000－ ＝250 0002＋3 600. 当＝，即t＝时，v＝3 600，vmin＝60. 即快艇至少以60 km/h的速度行驶才能把稿件送到司机手中． (2)当v＝60 km/h时，在△ABC中， AB＝500，AC＝100×＝625，BC＝60×＝375， 由余弦定理cos∠ABC＝＝0， ∴∠ABC＝90°，故快艇应以垂直AB的方向向北偏东行驶． (3)如图所示，设快艇以75 km/h的速度沿BE行驶，t小时后与汽车在E处相遇． 在△ABE中，AB＝500，AE＝100t，BE＝75t，cos ∠BAE＝. 由余弦定理(75t)2＝5002＋(100t)2－2×500×100t×，整理得t＝4或t＝(舍)， 当t＝4时，AE＝400，BE＝300， AB2＝AE2＋BE2， 所以快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要4 h. 学科网（北京）股份有限公司 $