9.1.3 正、余弦的综合运用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂课时作业word（人教B版）

1．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(　　) A．75°　　B．60°　　　C．45°　　　D．30° 解析：B　[∵3＝×4×3sin C，∴sin C＝，∵△ABC为锐角三角形，∴C＝60°，故选B.] 2．△ABC中，BC＝2，B＝，当△ABC的面积等于时，sin C等于(　　) A.　　B.　　　C.　　　D. 解析：B　[由正弦定理得S△ABC＝·AB·BC·sin B＝AB＝，∴AB＝1，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋4－4×＝3，∴AC＝，再由正弦定理，得＝，∴sin C＝.] 3．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3， 则sin ∠BAC＝(　　 ) A.　　B.　　　C.　　　D. 解析：C　[由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos＝2＋9－2××3×＝5.∴AC＝.由正弦定理，得＝，∴sin A＝＝＝.] 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc.若sin Bsin C＝sin 2A，则△ABC的形状是(　　 ) A．钝角三角形　　　　 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：C　[由b2＋c2＝a2＋bc及余弦定理，知A＝，又由sin Bsin C＝sin 2A及正弦定理，得bc＝a2＝b2＋c2－bc，所以(b－c)2＝0，即b＝c，所以△ABC为有一个内角为的等腰三角形，即为等边三角形．故选C.] 5．(多选题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则△ABC可以是(　　 ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解析：AB　[由＝及余弦定理，得＝，即＝，所以由正弦定理，得＝，所以有sin 2A＝sin 2B，从而2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.故选AB.] 6．(2021·全国甲卷(文))在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1　　B.　　　C.　　　D．3 解析：D　[知道一角和二边，求第三边显然用余弦定理， cos 120°＝⇒－＝⇒ a2＋2a－15＝0，利用十字叉乘法⇒(a－3)(a＋5)＝0，所以a＝3，故选D.] 7．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2－b2＝ab，C＝，则的值为　________　. 解析：由余弦定理，得c2－b2＝a2－2abcos C＝a2－ab＝ab，所以a＝2b，所以由正弦定理，得＝＝2. 答案：2 8．(2021·全国乙卷(理))记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝　________　. 解析：由S△ABC＝acsin B，得＝acsin 60°，即＝ac，得ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝12， 则由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos 60°＝12－2×4×＝8，所以b＝2. 答案：2 9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝　________　，c＝　________　. 解析：本小题考查正弦定理、余弦定理．由＝得sin B＝sin A＝， 由a2＝b2＋c2－2bccos A，得c2－2c－3＝0， 解得c＝3(舍负)． 答案：　3 10．(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin ∠ABC＝asin C. (1)证明：BD＝b； (2)若AD＝2DC，求cos∠ABC. 解析：(1)证明：在△ABC中，由正弦定理得，BD·b＝ac，又b2＝ac，所以BD·b＝b2，即BD＝b， (2)若AD＝2DC，则AD＝b，DC＝b， 在△ABD中，由余弦定理得cos∠ADB＝ ＝； 在△BCD中，由余弦定理得cos∠BDC＝ ＝； 因为∠ADB＋∠BDC＝π，所以＋＝0，即b2＝2a2＋c2， 又b2＝ac，所以ac＝2a2＋c2，即6a2－11ac＋3c2＝0，即(3a－c)·(2a－3c)＝0，所以3a＝c或2a＝3c. 当3a＝c时，由b2＝2a2＋c2，得a2＝b2，c2＝9a2＝3b2， 在△ABC中，由余弦定理得cos∠ABC＝ ＝ ＝＝＝＞1，不成立． 当2a＝3c时，由b2＝2a2＋c2， 得a2＝b2，c2＝b2， 在△ABC中，由余弦定理得cos∠ABC＝ ＝ ＝＝＝.综上，所求 cos∠ABC＝. 答案：(1)见解析；(2) 11．在△ABC中，a2＋b2－mc2＝0(m为常数)， 且＋＝，求m的值． 解：由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得a2＋b2＝c2＋2abcos C，由a2＋b2－mc2＝0，得c2＋2abcos C＝mc2，即2abcos C＝(m－1)c2.结合正弦定理，得2sin Asin Bcos C＝(m－1)sin 2C，又由＋＝，得＝＝，即sin Asin Bcos C＝sin 2C，得m－1＝2， 所以m＝3. 12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，lg b＋lg ＝lg sin A＝－lg ，则△ABC为(　　 ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：D　[因为lg b＋lg ＝lg sin A＝－lg ，所以lg ＝lg sin A＝lg ，所以c＝b， 且sin A＝.因为A为锐角，所以A＝， 所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋2b2－2b×b×＝b2，所以a＝b，所以B＝，所以C＝，故△ABC为等腰直角三角形．故选D.] 13．(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2. (1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积； (2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 解：(1)2sin C＝3sin A，∴2c＝3a，又∵c＝a＋2， ∴a＝4，b＝5，c＝6. cos A＝＝，在△ABC中得 sin A＝， △ABC面积S＝bcsin A＝. (2)由△ABC为钝角三角形，b＝a＋1，c＝a＋2，得c边最大，所以C角最大 cos C＝＝＜0，得a2－2a－3＜0， 所以－1＜a＜3，因为a为正整数， 所以a＝1或a＝2， 当a＝1时，b＝2，c＝3，此时a＋b＝c，与题不符 ∴存在正整数a＝2，使得△ABC为钝角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $