精品解析：河北沧州市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

河北省2025−2026学年第一学期期末学情质量评估 八年级数学冀教版 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在数轴上，实数对应的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 3. 如图，在中，，是的中线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用反证法证明命题：“在中，对边是，若，则”的第一步应假设（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若为等边三角形，且周长为，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 尺规作图要求：已知，直线和点，作，使其与全等且一条边在直线上，一条边过点，右图是小红的作图痕迹，小林说：“小红的作图完全正确，作图依据是．”下列判断正确的是（ ） A. 小林说的完全正确 B. 小林只说对一半，作图依据应是 C. 小林只说对一半，作图依据应是 D. 小林说的完全不正确 8. 如图，在中，，，，是斜边的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 下列关于的说法中，不正确的是（ ） A. 若，，则是等边三角形 B. 若，，则是等腰三角形 C. 若，，则是直角三角形 D. 若，则是直角三角形 11. 如图，在中，，为各内角平分线的交点，过点作的垂线，垂足为．若，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 已知，关于结论①②，下列判断正确的是（ ） ①将化为最简分式为； ②同时使得及的值都为整数的共有6种情况． A. 只有结论①正确 B. 只有结论②正确 C. 结论①和②都正确 D. 结论①和②都不正确 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 一个正方体水槽的体积为，则该正方体水槽的棱长是______． 14. 若关于的分式方程有增根，则的值为______． 【新情境·测量信号塔】 15. 如图，为测量信号塔（垂直于地面）的高度，李林首先在信号塔前的地面上选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子（）在的延长线上移动，使时竿子停止移动，此时测得，则信号塔的高度为______． 16. 如图，在中，，，，动点在边上运动，连接，将沿向上折叠，得到，其中点落在点处，交于点，当是直角三角形时，的长是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列小题． （1）化简：； （2）解方程：． 18. 已知的算术平方根是3，的立方根是． （1）求的值； （2）若是的整数部分，求的值． 【新课标・动手操作能力】 19. 如图是某小区内部便民店面的平面示意图，其中为快递驿站，为社区门诊，为烟酒店，为果蔬店．物业部门为方便小区居民生活，现作出如下调整，请按要求完成尺规作图（保留作图痕迹，不必写作法）． （1）修建一条小路（点在上），使社区门诊到所在直线的距离最短； （2）在的内部修建一处休息椅，使得休息椅到，，三个店面的距离相等，请确定休息椅的位置． 20. 如图，已知，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口，，其中，．由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． （1）从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； （2）求新修的路比原来的路短多少． 22. 如图，在中，，点在边上，连接，过点作于点，连接，垂直平分线段，点在边上． （1）求证：平分； （2）若． ①试判断与相等吗？并说明理由； ②若，求的长． 23. 某健身中心为提供健身器械，决定购买甲、乙两种款式的动感单车．购买时发现，甲款动感单车的单价比乙款动感单车的单价多200元，且用9000元购买甲款动感单车的辆数与用7200元购买乙款动感单车的辆数相同． （1）求甲、乙两款动感单车的单价； （2）该健身中心准备购买甲、乙两款动感单车共16辆，且购买的总费用不超过15000元，求最多可以购买多少辆甲款动感单车． 24. 中，，，，动点在直线上运动．以为边作等边三角形，使点在的右侧． （1）的长为______； （2）如图1，当时，点在线段上，求的度数； （3）如图2，点在的延长线上，若，点恰好在线段的垂直平分线上，求的面积； （4）点在射线上，若是等腰三角形，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省2025−2026学年第一学期期末学情质量评估 八年级数学冀教版 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C 2. 如图，在数轴上，实数对应的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算以及数轴上点的位置与实数的对应关系．先对进行估算，再确定是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解答． 【详解】解：， ， 即， 在数轴上实数对应的点可能是点， 故选：． 3. 如图，在中，，是的中线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，是的中线， ∴， ∴． 故选：D 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的性质与二次根式的运算，解题的关键是掌握分式的基本性质、分式加减法法则，二次根式的乘法法则及混合运算．对于分式的运算，要根据分式的基本性质和运算法则进行判断；对于二次根式的运算，要根据二次根式的乘法法则和混合运算法则进行计算． 【详解】解：A选项：中，根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时减去，不符合分式的基本性质，所以，故A选项不合题意； B选项：先将进行变形，因为，所以，故B选项不合题意； C选项：，，故C选项不合题意； D选项：，故D选项符合题意； 故选：D． 5. 用反证法证明命题：“在中，对边是，若，则”的第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】反证法，是假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证，根据反证法的证明方法即可求解． 【详解】解：原命题的条件是“在中，对边是，若”，结论是“”， ∴根据反证法的证明方法，在原命题的条件下，假设结论不成立，即， 故选：． 【点睛】本题主要考查反证法的证明方法，掌握命题的条件，结论，反证法的证明方法是解题的关键． 6. 如图，的边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若为等边三角形，且周长为，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等边三角形的三边相等和线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 先根据等边三角形的周长求出边长，再利用线段垂直平分线的性质得到线段相等，从而求出的长度． 【详解】解：∵为等边三角形，且周长为， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 故选：． 7. 尺规作图要求：已知，直线和点，作，使其与全等且一条边在直线上，一条边过点，右图是小红的作图痕迹，小林说：“小红的作图完全正确，作图依据是．”下列判断正确的是（ ） A. 小林说的完全正确 B. 小林只说对一半，作图依据应是 C. 小林只说对一半，作图依据应是 D. 小林说的完全不正确 【答案】B 【解析】 【分析】由作法得：，，即可解答． 【详解】解：由作法得：，， 在和中， ∵， ∴， ∴小林只说对一半，作图依据应是． 8. 如图，在中，，，，是斜边的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和直角三角形斜边中线定理．先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边中线定理求出的长度即可解答． 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得，， 是斜边的中点， ， 故选：． 9. 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式混合运算．先求出，，再根据平方差公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故选：C 10. 下列关于的说法中，不正确的是（ ） A. 若，，则是等边三角形 B. 若，，则是等腰三角形 C. 若，，则是直角三角形 D. 若，则是直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形分类的判定，关键运用三角形内角和定理求角度和勾股定理验证直角三角形．根据等边三角形判定方法，三角形内角和定理，等角对等边，三角形的三边关系，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、若，，则是等边三角形，故本选项正确，不符合题意； B、若，，则，则，则是等腰三角形，故本选项正确，不符合题意； C、若，，则，则是直角三角形，故本选项正确，不符合题意； D、设，此时，不能构成三角形，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 11. 如图，在中，，为各内角平分线的交点，过点作的垂线，垂足为．若，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，能根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出是解题的关键． 过点O作于E，于F，连接，根据角平分线的性质得出，再结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于E，于F，连接， ∵O为各内角平分线的交点，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：B 12. 已知，关于结论①②，下列判断正确的是（ ） ①将化为最简分式为； ②同时使得及的值都为整数的共有6种情况． A. 只有结论①正确 B. 只有结论②正确 C. 结论①和②都正确 D. 结论①和②都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的除法运算，分式的求值，分式有意义的条件，先化简，得到最简分式验证结论①；再求使和均为整数的值，排除分母为零的情况，验证结论②． 【详解】解：由题意可知，且， 解得且且， ， ∴结论①正确； ∵，且为整数，为整数， ∴， ∴， ， ∴值为共5种， ∴ 结论②错误． 综上，只有结论①正确． 故选：A． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 一个正方体水槽的体积为，则该正方体水槽的棱长是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用．根据正方体体积公式，棱长的立方等于体积，求体积的立方根即可得到棱长． 【详解】解：∵正方体水槽的体积为， ∴该正方体水槽的棱长是． 故答案为：4． 14. 若关于的分式方程有增根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；让最简公分母为确定增根；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．方程两边都乘，得，由分式方程有增根，得到最简公分母，求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：方程两边都乘，得：， 原方程有增根， 最简公分母，解得， 当时，即， ． 故答案为：． 【新情境·测量信号塔】 15. 如图，为测量信号塔（垂直于地面）的高度，李林首先在信号塔前的地面上选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子（）在的延长线上移动，使时竿子停止移动，此时测得，则信号塔的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键． 先由角角边的判定定理证明与全等，再由即可求解． 【详解】解：∵， 在中，， 即， ∵，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，动点在边上运动，连接，将沿向上折叠，得到，其中点落在点处，交于点，当是直角三角形时，的长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形折叠，熟练掌握直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质，含30度角的直角三角形性质，分类讨论，是解题关键． 由折叠的性质得：，，然后分两种情况：，，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：，， 如图1，为直角三角形，且， ，，， ， ， ∴， ∴为等边三角形， ， ， ； 如图2，为直角三角形，且，则， ， ∴， ∴， ， ∵， ； 综上所述，当为直角三角形时，的长度为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列小题． （1）化简：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解分式方程． （1）先计算括号里的减法，再计算乘法即可； （2）两边同时乘以化为整式方程，求解后检验即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解为． 18. 已知的算术平方根是3，的立方根是． （1）求的值； （2）若是的整数部分，求的值． 【答案】（1）17 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、算术平方根、立方根的定义、代数式求值等知识点，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根的定义，分别求得m，n的值，然后求解即可； （2）根据无理数的估算可得到c的值，再代入求值即可． 【小问1详解】 解：的算术平方根是3， ． 的立方根是， ， ； 【小问2详解】 解：， 的整数部分， ． 【新课标・动手操作能力】 19. 如图是某小区内部便民店面的平面示意图，其中为快递驿站，为社区门诊，为烟酒店，为果蔬店．物业部门为方便小区居民生活，现作出如下调整，请按要求完成尺规作图（保留作图痕迹，不必写作法）． （1）修建一条小路（点在上），使社区门诊到所在直线的距离最短； （2）在的内部修建一处休息椅，使得休息椅到，，三个店面的距离相等，请确定休息椅的位置． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握垂线段最短和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）要使社区门诊到直线的距离最短，根据垂线段最短的性质，过点作直线的垂线，垂足即为点即可． （2）要使休息椅到、、三点的距离相等，点应为线段和线段的垂直平分线的交点，因为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，分别作线段和的垂直平分线交于点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，已知，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ． 在和中， ， ， ； （2）12 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，可证明，从而得到，即可求证； （2）根据，可得，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ，即． ， ， ． 21. 如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口，，其中，．由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． （1）从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； （2）求新修的路比原来的路短多少． 【答案】（1）是 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、垂线段最短的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用，以及利用垂线段最短判断最短距离是解题的关键． （1）先利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足，以此判断是否为直角三角形，进而得到与公路垂直，再根据“垂线段最短”确定是否为距离最近的路． （2）先设的长度为未知数，结合表示出的长度，再在中利用勾股定理列方程，求解出的长度，最后计算与的差值． 【小问1详解】 解：，，， ，， ． 是直角三角形，且， ∴， 是村庄到公路距离最短的路； 【小问2详解】 解：， ． 由（1）可知， ， ， ，解得， ， 答：新修的小路比原来的路短． 22. 如图，在中，，点在边上，连接，过点作于点，连接，垂直平分线段，点在边上． （1）求证：平分； （2）若． ①试判断与相等吗？并说明理由； ②若，求的长． 【答案】（1） 解：垂直平分线段， ． 又，， 平分； （2）①；理由如下： 垂直平分线段， ． ， ． 在和中， ， ， ； ②10 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的判定，全等三角形的判定和性质： （1）根据线段垂直平分线的性质可得，再根据角平分线的判定定理解答即可； （2）①根据线段垂直平分线的性质可得，可证明，即可求证；②根据题意可得，再由，可得，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②由（1）知， ， ， ． 由①知， ， ． 23. 某健身中心为提供健身器械，决定购买甲、乙两种款式的动感单车．购买时发现，甲款动感单车的单价比乙款动感单车的单价多200元，且用9000元购买甲款动感单车的辆数与用7200元购买乙款动感单车的辆数相同． （1）求甲、乙两款动感单车的单价； （2）该健身中心准备购买甲、乙两款动感单车共16辆，且购买的总费用不超过15000元，求最多可以购买多少辆甲款动感单车． 【答案】（1）甲款动感单车的单价为1000元/辆，乙款动感单车的单价为800元/辆 （2）11辆 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，熟练掌握根据等量关系列分式方程、根据不等关系列一元一次不等式并求解是解题的关键． （1）设乙款动感单车单价为未知数，根据“甲款单价比乙款多200元”表示出甲款单价，再利用“9000元购买甲款的数量与7200元购买乙款的数量相同”这一等量关系，列出分式方程求解． （2）设购买甲款动感单车的数量为未知数，从而表示出乙款的购买数量，根据“总费用不超过15000元”列出不等式，求解得出甲款数量的最大值． 【小问1详解】 解：设乙款动感单车的单价为元/辆，则甲款动感单车的单价为元/辆， 根据题意可列分式方程为， 解得，经检验，是原分式方程的解， ． 答：甲款动感单车的单价为1000元/辆，乙款动感单车的单价为800元/辆； 【小问2详解】 解：设购买甲款动感单车辆，购买乙款动感单车辆， 根据题意可得，，解得． 又， ，即， 又为整数， 的最大值为11． 最多可以购买11辆甲款动感单车． 24. 中，，，，动点在直线上运动．以为边作等边三角形，使点在的右侧． （1）的长为______； （2）如图1，当时，点在线段上，求的度数； （3）如图2，点在的延长线上，若，点恰好在线段的垂直平分线上，求的面积； （4）点在射线上，若是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3） （4）的长为或或 【解析】 【分析】（1）在中，已知，，，利用角所对的直角边是斜边的一半先求出，再用勾股定理求。 （2）由是等边三角形得，结合推出；再结合中，判定为等边三角形，从而得到的度数。 （3）先由是等边三角形得，；结合算出和的度数；再根据点在的垂直平分线上得，进而推出，得到，判定为等腰直角三角形；最后结合的长度求出，从而计算面积。 （4）分三种情况讨论为等腰三角形：、、，结合直角三角形性质和线段和差分别计算的长度。 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：是等边三角形， ． ， ． ，， ， 是等边三角形， ； 【小问3详解】 解：是等边三角形， ，， ， ． 点恰好在线段的垂直平分线上， ， ， ， 是等腰直角三角形． 在中，由勾股定理可得， ， ； 【小问4详解】 解：情况一：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴−−； 情况二：， ∵， ∴， 情况三：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为或或 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的性质以及勾股定理，熟练掌握特殊三角形的边角关系并运用分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $