11.2 平面的基本事实与推论-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

2026-04-15

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资源信息

学段	高中
学科	数学
教材版本	高中数学人教B版必修第四册
年级	高一
章节	11. 2 平面的基本事实与推论
类型	课件
知识点	-
使用场景	同步教学-新授课
学年	2026-2027
地区（省份）	全国
地区（市）	-
地区（区县）	-
文件格式	PPTX
文件大小	2.33 MB
发布时间	2026-04-15
更新时间	2026-04-15
作者	山东鼎鑫书业有限公司
品牌系列	创新教程·高中五维课堂同步
审核时间	2026-02-02
下载链接	https://m.zxxk.com/soft/56277436.html
价格	4.00储值（1储值=1元）
来源	学科网

摘要：

该高中数学课件聚焦“平面的基本事实与推论”，系统梳理平面概念、点线面位置关系及符号表达，通过桌面镜面等情境导入，以问题引导学生从直观认识过渡到逻辑论证，构建“预习-互动-练习”的学习支架，衔接立体几何初步知识脉络。其亮点在于融合数学眼光、思维与语言素养，情境导入激发观察现实世界的意识，符号与图形语言训练精准表达，逻辑推理例题（如共面、共线证明）培养理性思维。学生能提升空间想象与逻辑推理能力，教师可依托结构化资源高效实施教学。

内容正文：

11.2　平面的基本事实与推论第十一章立体几何初步下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册课前预习学案课堂互动学案 01 02 随堂步步夯实 03 课后素养提升 04 第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册课前预习学案下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册课堂互动学案下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册随堂步步夯实下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册课时作业点击进入WORD链接下一页上一页返回导航第十一章立体几何初步数学B版·必修第四册课程标准素养解读 1.掌握平面的基本事实和推论，会用符号表达基本事实与推论． 2．会用平面的基本事实和推论描述点、直线、平面之间的位置关系. 从直观认识的基础上论证点、线、面之间的位置关系，发展培养学生的空间想象素养与逻辑推理素养. [情境引入] 　我们的桌面、椅面都给我们平面的形象，而且木匠在做桌面时，也要求它是平的，并且用直尺在桌面上任意移动来判断所做桌面是否平．问题　判断一个面是否是平面的依据是什么？提示　如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个面内，那么这个面就是平面． [知识梳理] [知识点一]　平面的概念　 (1)几何里所说的“平面(plane)”就是从一些物体中抽象出来的，无厚薄，无大小，是无限延展的一个几何概念． (2)平面通常用　平行四边形　表示，当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．也可以用其它的平面图形来表示，如三角形、梯形等． (3)常把一个希腊字母如α，β或γ等写在表示平面的平行四边形的一个角上来表示平面．如图(1)所示，表示平面α.如图(2)所示，表示平面α、平面β也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图(1)所示中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD. [知识点二]　点、直线、平面之间的位置关系及语言表达　文字语言表达图形语言表达符号语言表达点A在直线上 A∈l 点A在直线外 A∉l 点A在平面内　A∈α　点A在平面外　A∉α　直线l在平面内　l⊂α　直线l在平面外　l⊄α　 1.一望无际的海平面是平面吗？ [提示]　不是，平面是无限延展的． 2．直线l在平面α外，则l与α一定没有公共点吗？ [提示]　不一定．当l与α相交时，l在α外，但有一个公共点． [知识点三]　平面的基本性质　 (1)基本事实1 ①文字语言：过　不在一条直线上　的三个点，有且只有一个平面． ②符号语言：A、B、C三点不共线⇒存在唯一的α使　A、B、C∈α　. ③图形语言： (2)基本事实2 ①文字语言：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． ②符号语言：　A∈l　，　B∈l　，且A∈α，B∈α⇒　l⊂α　. ③图形语言： (3)基本事实3 ①文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的　公共直线　. ②符号语言：P　∈　α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P　∈　l. ③图形语言： (4)三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论1亦可说成：直线及其外一点　确定　一个平面．推论2：经过两条　相交　直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条　平行　直线，有且只有一个平面． 3.以下条件能确定一个平面吗？ (1)一条直线以及直线外一点； (2)两条相交直线； (3)两条平行线． [提示]　根据基本事实2，易知以上三个条件都能确定一个平面．此三个结论可作为“基本事实2”的三个推论，在推理证明中可直接运用． 4．由基本事实3知，两个不重合的平面的所有公共点都在哪里呢？利用基本事实3可证明什么问题呢？ [提示]　都在交线上，可证明多点共线问题． [预习自测] 1．下列说法正确的是(　　) A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．平面α和平面β有不在同一条直线上的三个交点解析：C　[不共线的三点可以确定一个平面，排除A；四边形可以是空间四边形，排除B；根据基本事实3可以知道D不正确，故选C.] 2．图中表示两个相交平面，其中画法正确的是(　　) 答案：D 3．在下列命题中，不是基本事实的是(　　) A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：A　[选项A是面面平行的性质定理，是由基本事实推证出来的，而基本事实是不需要证明的，故选A.] 4．如图所示，点A　______　平面ABC；点A　________　平面BCD；BD　______　平面ABD；BD　______　平面ABC；平面ABC∩平面ACD＝　________　；　________　∩　________　＝BC. 答案：∈　∉　⊂　⊄　AC　平面ABC 平面BCD 5．证明：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．已知：如图AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C. 求证：直线AB，BC，AC共面．证明：已知点A，B，C不在同一条直线上．由基本事实1，知过A，B，C三点可以确定一个平面α. 则A∈α，B∈α.由基本事实2，知AB⊂α. 同理可证AC⊂α，BC⊂α. ∴直线AB，BC，CA共面．对平面概念的理解 [例1]　现有下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为(　　) A．1　　　　　 B．2 C．3 D．4 [思路点拨]　依平面的概念判断． [解析]　A　[由平面的概念和特征知，平面是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判定命题④正确．其余的命题都不符合平面的概念和特征，所以命题①②③都不正确．故选A.] 对平面概念的理解要类比“平面几何中的直线”，与表示平面的实物区分开．总结平面的特征：①平整；②无厚度；③无边界(大小)． [变式训练] 1．判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)平面的形状是平行四边形； (2)矩形可以表示平面； (3)平面ABCD的面积为10 cm2； (4)4个平面重叠起来比3个平面重叠起来厚．解：题号结论及理由 (1) 错误．因为平面是无限延展的． (2) 正确．除了用平行四边形表示平面外，有时也用矩形、圆等表示平面． (3) 错误．平面是不可度量的，无大小，无面积． (4) 错误．平面不可度量，无厚薄. 　　　点、直线、平面之间的位置关系的符号表示 [例2]　用符号语言表示下列语句，并画出图形． (1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC； (2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC. [思路点拨]　依据条件，适当确定其中的某一个平面，然后根据点、线、面的位置关系，将其附着于固定平面上，注意图形的立体感，要将被遮挡部分用虚线表示． [解]　(1)符号语言表示α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA， α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图(1)． (2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图(2)．点与直线(或平面)的关系为元素与集合的关系，用“∈”或∉表示点与直线(或平面)的关系；直线与平面的关系为集合间的关系，不能用“∈”，只能用“⊂”，或“⊄”表示． [变式训练] 2．用符号表示下列语句，并画出相应的图形． (1)点A在平面α外，点B在平面α内，直线l经过点A，B； (2)平面α和β的交线是直线a，直线b经过α内不在直线a上的点P且经过β内不在直线a上的点Q. 解：(1)A∉α，B∈α，A∈l，B∈l.大致图形如图(1)． (2)α∩β＝a，P∉a，Q∉a，P∈α，Q∈β，P∈b，Q∈b.大致图形如图(2)．点、线共面问题 [例3]　如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c，l共面． [思路点拨]　本题中直线较多，分别呈现“平行、相交”的位置关系，由基本事实可知，它们都能确定一个平面，所以证明不同平面重合即可． [证明]　∵a∥b，∴a，b确定一个平面α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c， ∴b，c确定一个平面β.同理可证l⊂β. 于是b⊂α，l⊂α，b⊂β，l⊂β，即α∩β＝b，α∩β＝l. 又∵b与l不重合∴α与β重合，∴a，b，c，l共面．点、线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题，主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论．解决该类问题通常有三种方法：(1)纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；(2)辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合；(3)反证法． [变式训练] 3．已知四条直线两两相交，且不共点．求证：这四条直线在同一平面内．证明：依题意，已知a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面． ①若a，b，c三线共点于O，如图所示： ∵O∉d，∴经过d与点O有且仅有一个平面α(推论1)． ∵A，B，C分别是d与a，b，c的交点， ∴A，B，C三点在平面α内．由基本事实2知a，b，c都在平面α内，故a，b，c，d共面． ②若a，b，c，d无三线共点，如图所示： ∵a∩b＝A，∴经过a，b有且仅有一个平面α(推论2)， ∴B，C∈α，由基本事实2知c⊂α. 同理，d⊂α，从而有a，b，c，d共面．综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内．点共线、线共点 [例4]　(1)如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点．求证：FE，HG，DC三线共点． [思路点拨]　可先证明两条直线相交于一点，再证明该交点也在另外一条直线上． [证明]　如图所示，连接C1B，GF，HE，由题意知HC1∥EB，且HC1＝EB，∴四边形HC1BE是平行四边形，∴HE∥C1B. 又C1G＝GC，CF＝BF， ∴GF∥C1B，且GF＝eq \f(1,2)C1B. ∴GF∥HE，且GF≠HE， ∴HG与EF相交．设交点为K， ∴K∈HG，HG⊂平面D1C1CD， ∴K∈平面D1C1CD. ∵K∈EF，EF⊂平面ABCD，∴K∈平面ABCD， ∵平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC，∴K∈DC， ∴EF，HG，DC三线共点． (2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线． [思路点拨]　先证两点的连线是某两个平面的交线，再证第三个点也是这两个平面的公共点． [证明]　如图，连接A1B，CD1，BD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1，∴BD1⊂平面A1BCD1. 同理，BD1⊂平面ABC1D1， ∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q， ∴Q∈平面ABC1D1. 又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1. ∴Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线．点共线与线共点的证明方法 1．点共线：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上． 2．三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点． [变式训练] 4．已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线．证明：法一：∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α. 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P，Q，R三点共线．法二：∵AP∩AR＝A， ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面APR∩平面α＝PR. ∵B∈平面APR，C∈平面APR， ∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR， ∴P，Q，R三点共线．两平面的交线问题 [例5]　如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线． [思路点拨]　找这两个平面的两个公共点即可． [解]　在平面AA1D1D内，连接D1F并延长． ∵D1F与AD不平行，∴D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈DA. 又FD1⊂平面BED1F， ∴P∈平面BED1F，又DA⊂平面ABCD， ∴P∈平面ABCD. ∴P为平面BED1F与平面ABCD的公共点．又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点， ∴连接PB，则PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线．两点确定一条直线，由平面基本事实3知，要想画出两个平面的交线，只需找到两个平面的两个公共点即可． [变式训练] 5．如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AB，A1D1，BB1的中点．画出过M，N，P的平面与平面A1B1C1D1的交线以及与平面BB1C1C的交线．解：设M，N，P三点确定的平面为α，则α与平面AA1B1B交于MP. 连接MP并延长交A1B1的延长线于一点，设为R，连接NR，则NR为平面α与平面A1B1C1D1的交线．设RN∩B1C1＝Q，则PQ是α与平面BB1C1C的交线，如下图所示． 1．已知点A，直线a，平面α，以下表述正确的个数是(　　) ①A∈a，a⊄α⇒A∉α；②A∈a，a∈α⇒A∈α；③A∉a，a⊂α⇒A∉α；④A∈a，a⊂α⇒A⊂α. A．0　　B．1　　　C．2　　　D．3 解析：A　[①不正确，如a∩α＝A；②不正确，∵“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A∉a，a⊂α，但A∈α；④不正确，“A⊂α”表述错误．] 2．下列命题中正确的是(　　) A．空间三点可以确定一个平面 B．三角形一定是平面图形 C．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合 D．四条边都相等的四边形是平面图形解析：B　[共线的三点不能确定一个平面，故A错；两个平面有公共点，这两个平面可以是相交的，故C错；四边都相等的四边形可以是空间四边形．] 3．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是　________　. 解析：∵AC∥BD，∴AC，BD确定一个平面β(推论3)，∴α∩β＝CD，AB⊂β，又O∈AB，∴O∈β，又O∈α，∴O∈CD，即O，C，D三点共线．答案：共线 4．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是　________　. 解析：因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC，又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE. 答案：P∈直线DE 5．已知A∈l，B∈l，C∈l，D∉l(如图)，求证：直线AD，BD，CD共面．证明：因为D∉l，所以D和l可确定一平面，设为α. 因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以AD⊄α. 同理BD⊄α，CD⊄α，所以AD，BD，CD都在平面α内，即它们共面． $

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