11.2 平面的基本事实与推论（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 11.2平面的基本事实与推论 课程标准 素养解读 从直观认识的基础上论证点、线、面之 1.掌握平面的基本事实和推论，会用符号表达基本事实与推论. 间的位置关系，发展培养学生的空间 2.会用平面的基本事实和推论描述点、直线、平面之间的位置关系 想象素养与逻辑推理素养 课前。预习学案 对应学生用书P56 [情境引入] 我们的桌面、椅面都给我们平面的形象，而且木匠 直线（在平面内 ICa 在做桌面时，也要求它是平的，并且用直尺在桌面 上任意移动来判断所做桌面是否平. 问题判断一个面是否是平面的依据是什么？ 提示如果一个面内的任意两点所确定的直线都 直线1在平面外 IFa 在这个面内，那么这个面就是平面 [知识梳理] [知识点一]平面的概念 2思考1.一望无际的海平面是平面吗？ (1)几何里所说的“平面(plane)”就是从一些物体中 [提示]不是，平面是无限延展的 抽象出来的，无厚薄，无大小，是无限延展的一个几何 2.直线1在平面a外，则l与a一定没有公共点吗？ 概念. [提示]不一定.当1与a相交时，l在a外，但有 (2)平面通常用平行四边形表示，当平面水平放置时， 一个公共点 常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置 [知识点三]平面的基本性质 时，常把平行四边形的一边画成竖向.也可以用其它 (1)基本事实1 的平面图形来表示，如三角形、梯形等. ①文字语言：过不在一条直线上的三个点，有且只有 (3)常把一个希腊字母如a,3或y等写在表示平面的 一个平面. 平行四边形的一个角上来表示平面.如图(1)所示，表 ②符号语言：A、B、C三点不共线→存在唯一的a使 示平面a.如图(2)所示，表示平面α、平面3也可以用 A、B、C∈a. 表示平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个 ③图形语言： 顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图(1) ·B 所示中的平面a,也可以表示为平面ABCD、平面AC A。 或者平面BD (2)基本事实2 D ①文字语言：如果一条直线上的两个点在一个平面 内，那么这条直线在这个平面内. ②符号语言：A∈l,B∈l,且A∈a,B∈a→lCa. (1) (2) ③图形语言： [知识点二]点、直线、平面之间的位置关系及语言 表达 文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达 (3)基本事实3 ①文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点， 点A在直线上 A∈I 那么它们有且只有一条过该点的公共直线： ②符号语言：P∈a,且P∈B→a∩3=l,且P∈l, ③图形语言： 点A在直线外 A庄1 点A在平面内 a/ ·A A∈a (4)三个推论 点A在平面外 A史a 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有 一个平面. ·106· 第十一章立体几何初步 推论1亦可说成：直线及其外一点确定一个平面， 3.在下列命题中，不是基本事实的是 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 2思考3.以下条件能确定一个平面吗？ C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条 (1)一条直线以及直线外一点； 直线上所有的点都在此平面内 (2)两条相交直线； D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它 (3)两条平行线. 们有且只有一条过该点的公共直线 [提示]根据基本事实2，易知以上三个条件都 能确定一个平面.此三个结论可作为“基本事实 解析：A[选项A是面面平行的性质定理，是由基 2”的三个推论，在推理证明中可直接运用. 本事实推证出来的，而基本事实是不需要证明的， 4.由基本事实3知，两个不重合的平面的所有公共 故选A.] 点都在哪里呢？利用基本事实3可证明什么问 4.如图所示，点A 平面ABC: 题呢？ [提示]都在交线上，可证明多点共线问题 点A 平面BCD;BD 平面ABD;BD 平面ABC: D [预习自测] 平面ABC∩平面ACD=B4 1.下列说法正确的是 ( A.三点确定一个平面 n =BC. B.四边形一定是平面图形 答案：∈庄C中AC平面ABC C.梯形一定是平面图形 平面BCD D.平面a和平面B有不在同一条直线上的三个 5.证明：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一 交点 个平面内. 解析：C[不共线的三点可以确定一个平面，排除 A;四边形可以是空间四边形，排除B;根据基本事 已知：如图AB∩AC=A,AB∩BC 实3可以知道D不正确，故选C.] =B,AC∩BC=C. 2.图中表示两个相交平面，其中画法正确的是( 求证：直线AB,BC,AC共面. 证明：已知点A,B,C不在同一条直线上 由基本事实1，知过A,B,C三点可以确定一个平 面a. 则A∈a,B∈a.由基本事实2，知ABCa. 同理可证ACCa,BCCa. 答案：D ∴直线AB,BC,CA共面 课堂。互动学案 对应学生用书P57 题型一 对平面概念的理解 规律方法 对平面概念的理解要类比“平面几何中的直线”， [例1]现有下列命题：①书桌面是平面；②8个平面 与表示平面的实物区分开. 重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面 总结平面的特征：①平整；②无厚度；③无边界（大 的长是50m,宽是20m;④平面是绝对平的、无厚 小) 度、可以无限延展的抽象的数学概念.其中正确命 题的个数为 ◇[变式训练] A.1 L.判断下列说法是否正确，并说明理由. B.2 (1)平面的形状是平行四边形； C.3 D.4 (2)矩形可以表示平面； 汇思路点拨]依平面的概念判断. (3)平面ABCD的面积为10cm; [解析]A[由平面的概念和特征知，平面是平 (4)4个平面重叠起来比3个平面重叠起来厚， 滑、无厚度、可无限延展的，可以判定命题④正确. 解： 其余的命题都不符合平面的概念和特征，所以命题 题号 结论及理由 ①②③都不正确.故选A.] (1) 错误.因为平面是无限延展的。 ·107 数学B版·必修第四册 正确.除了用平行四边形表示平面外，有 题型目 (2) 点、线共面问题 时也用矩形、圆等表示平面 [例3]如图，已知直线a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B, 错误.平面是不可度量的，无大小，无 (3) l∩c=C.求证：a,b,c,l共面 面积」 (4) 错误.平面不可度量，无厚薄 题型二 点、直线、平面之间的位置关系的符萼表示 [思路点拨丁本题中直线较多，分别呈现“平行、 [例2]用符号语言表示下列语句，并画出图形 相交”的位置关系，由基本事实可知，它们都能确 (1)三个平面a,3,y相交于一点P,且平面a与平面 定一个平面，所以证明不同平面重合即可： B相交于PA,平面a与平面y相交于PB,平面B与 [证明]，a∥b,∴.a,b确定一个平面a. 平面y相交于PC; .l∩a=A,l∩b=B,A∈a,B∈a. (2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC 又：A∈l,B∈l,.lCa.b∥c, 与平面ADC相交于AC. ∴.b,c确定一个平面B.同理可证lC3. 汇思路点拨]依据条件，适当确定其中的某一个 于是bCa,lCa,bC3,lC3,即a∩B=b,a∩3=l. 平面，然后根据点、线、面的位置关系，将其附着于 又：b与l不重合a与B重合，a,b,c,l共面 固定平面上，注意图形的立体感，要将被遮挡部分 规律方法 用虚线表示 点、线共面问题是指证明一些点或直线在同一平 [解](1)符号语言表示a∩3∩Y=P,a∩3=PA, 面内的问题，主要依据是基本事实1、基本事实2 a∩y=PB,3∩y=PC,图形表示如图(1). 及其推论.解决该类问题通常有三种方法：(1)纳 入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他 元素也在该平面内；(2)辅助平面法（平面重合 法)，先由有关的点、线确定平面a,再由其余元素 确定平面B,最后证明平面a,3重合：(3)反证法. 图(1) 图(2) ◇[变式训练] (2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC=BD,平 3.已知四条直线两两相交，且不共点.求证：这四条直 面ABC∩平面ADC=AC,图形表示如图(2). 线在同一平面内. 规律方法 证明：依题意，已知a,b,c,d四条直线两两相交，且 点与直线（或平面）的关系为元素与集合的关系， 不共，点，求证：a,b,c,d四线共面 用“∈”或庄表示点与直线（或平面）的关系；直线 ①若a,b,c三线共点于O, 与平面的关系为集合间的关系，不能用“∈”，只能 如图所示： B 用“二”，或“士”表示. ,O在d,∴.经过d与点O有 ◇[变式训练] 且仅有一个平面a(推论1). a 2.用符号表示下列语句，并画出相应的图形， :A,B,C分别是d与a,b,c的交点， (1)点A在平面a外，点B在平面a内，直线1经过 .A,B,C三点在平面a内. 点A,B: 由基本事实2知a,b,c都在平面a内，故a,b,c,d (2)平面a和3的交线是直线a,直线b经过a内不在 共面 直线a上的点P且经过3内不在直线a上的点Q. ②若a,b,c,d无三线共，点，如图所示： 解：(1)A庄a,B∈a,A∈1，B∈L.大致图形如图(1). b ,a∩b=A,∴.经过a,b有且仅有一个平面a(推论2)， ∴.B,C∈a,由基本事实2知cCa. (1) (2 同理，dCa,从而有a,b,c,d共面 (2)a∩3=a,Pta,Qta,P∈a,Q∈3，P∈b,Q∈b. 综上所述，四条直线两两相交，且不共，点，这四条直 大致图形如图(2). 线在同一平面内。 ·108· 第十一章立体几何初步 题型四 点共线、线共点 规律方法 [例4](1)如图所示，已知E,F,G,H分别是正方体 点共线与线共点的证明方法 ABCD-A,B1C,D,的棱AB,BC,CC1,C,D1的中 1.点共线：证明多点共线通常利用基本事实3，即 两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在 点.求证：FE,HG,DC三线共点. 两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可 [思路点拨]“可先证明两条直线相交于一点，再 选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点 证明该交点也在另外一条直线上 也在其上. D 2.三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作 为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然 后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可 先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证 明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点 E B 重合，从而得三线共点 [证明]如图所示，连接C,B,GF,HE,由题意知 ⊙[变式训练] HC1∥EB,且HC1=EB,.四边形HC,BE是平 4.已知△ABC在平面a外，其三边所在的直线满足 行四边形，∴HE∥CB. AB∩a=P,BC∩a=Q,AC∩a=R,如图所示，求 又CG=GC,CF=BF, 证：P,Q,R三点共线。 GF/CB,且GF-CB ∴.GF∥HE,且GF≠HE, .HG与EF相交.设交点为K, ∴.K∈HG,HGC平面D,CCD, .K∈平面DC1CD. 证明：法一：，AB∩a=P, ,K∈EF,EFC平面ABCD,∴.K∈平面ABCD, .P∈AB,P∈平面a ,平面D1CCD∩平面ABCD=DC,.K∈DC, 又ABC平面ABC,.P∈平面ABC ∴EF,HG,DC三线共点. ∴.由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面a (2)如图，在正方体ABCD-A1B,C,D,中，设线段 的交线上，同理可证Q,R也在平面ABC与平面a 的交线上 AC与平面ABC,D,交于点Q,求证：B,Q,D,三 P,Q,R三点共线. 点共线 法二：AP∩AR=A, .直线AP与直线AR确定平面APR. 又.AB∩a=P,AC∩a=R, B ∴.平面APR∩平面a=PR. :B∈平面APR,C∈平面APR, .BCC平面APR. Q∈BC,∴.Q∈平面APR,又Q∈a,∴.Q∈PR, [思路点拨]先证两点的连线是某两个平面的交 P,Q,R三点共线 线，再证第三个点也是这两个平面的公共点。 题型五 两平面的交线问题 [证明]如图，连接AB, D [例5]如图所示的正方体ABCD一 CD,,BD1,显然B∈平面 A1B,C1D1中，E,F分别为CC1和A +e A1BCD1,D1∈平面A1BCD1, AA1的中点，画出平面BED,F和平 F .BD1C平面ABCD1. 面ABCD的交线. 同理，BD1C平面ABC1D1, 汇思路点拨]我这两个平面的两个公共点即可： .平面ABC,D1∩平面 [解]在平面AA1D1D内，连接D1F并延长 A1BCD1=BD1.A1C∩平面ABC1D1=Q, D, ∴.Q∈平面ABC,D1. 又，A,CC平面ABCD1,∴.Q∈平面ABCD1. .Q在平面A1BCD1与平面ABC,D1的交线上， 即Q∈BD,∴B,Q,D1三点共线. ·109· 数学B版·必修第四册 D,F与AD不平行，.D,F与DA必相交于一 ◇[变式训练] 点，设为P,则P∈FD1,P∈DA. 5.如图正方体ABCD-A1B,C1D, 又FDC平面BED,F, 中，M,N,P分别是AB,AD1, BB的中点.画出过M,N,P的 .P∈平面BEDF, 平面与平面A,B,C1D,的交线以 又DAC平面ABCD, 及与平面BB,C,C的交线. ∴P∈平面ABCD. 解：设M,N,P三点确定的平面 .P为平面BED1F与平面ABCD的公共点. 为a,则a与平面AA1B1B交于MP 连接MP并延长交A1B,的延长线于一点，设为R, 又B为平面ABCD与平面BED,F的公共点， 连接NR,则NR为平面a与平面A1B1C1D1的交 .连接PB,则PB即为平面BED,F与平面ABCD的 线.设RN∩B,C,=Q,则PQ是a与平面BB,C,C 交线 的交线，如下图所示. 规律方法 两点确定一条直线，由平面基本事实3知，要想画 出两个平面的交线，只需找到两个平面的两个公 共点即可： 随堂。步步夯实 对应学生用书P60 1.已知点A,直线a,平面a,以下表述正确的个数是 解析：，AC∥BD,∴.AC,BD确定一个平面3（推论 3),.a∩3=CD,ABC3,又O∈AB,∴.O∈B,又O ①A∈a,ata→Ata;②A∈a,a∈a→A∈a;③A ∈a,.O∈CD,即O,C,D三点共线. a,aCa→Ata;④A∈a,aCa→ACa. 答案：共线 A.0 B.1 C.2 D.3 4.如图，已知D,E是△ABC的 边AC,BC上的点，平面a经 解析：A[①不正确，如a∩a= a 过D,E两点，若直线AB与平 A;②不正确，“a∈a”表述错误； 面a的交点是P,则点P与直 ③不正确，如图所示，A庄a,aCa,但A∈a;④不正 线DE的位置关系是 确，“ACa”表述错误.] 2.下列命题中正确的是 解析：因为P∈AB,ABC平面ABC,所以P∈平面 A.空间三点可以确定一个平面 ABC,又P∈a,平面ABC∩平面a=DE,所以P∈ B.三角形一定是平面图形 直线DE. C.若A,B,C,D既在平面a内，又在平面3内，则 答案：P∈直线DE 平面a和平面3重合 5.已知A∈l,B∈l,C∈1，D庄1（如图），求证：直线 D.四条边都相等的四边形是平面图形 AD,BD,CD共面. 解析：B[共线的三点不能确定一个平面，故A 错；两个平面有公共点，这两个平面可以是相交的， 证明：因为D庄，所以D和1可确定一平面，设 故C错；四边都相等的四边形可以是空间四边形.] 为a 3.若直线1与平面a相交于点O,A,B∈l,C,D∈a, 因为A∈l,所以A∈a.又D∈a,所以AD中a. 且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是 同理BD中a,CD中a,所以AD,BD,CD都在平面a 内，即它们共面. ·110· 第十一章立体几何初步 课后。素养提升 对应学生课时P28 ---● 基础过关 解析：ACD[因为正方体的四条体对角线相交于 JI CHU GUO GUAN 同一，点（正方体的中心），因此经过正方体任意两条 1,下列图形均表示两个相交平面，其中画法正确的是 体对角线，有且只有一个平面，故B正确，ACD 错误.] 6.(多选题)如图，正方体ABCD D -A,B1C,D1中，若E,F,G 02 分别为棱BC,CC1,BC1的中 A 解析：D[A中图形没有画出两平面的交线，故不 点，O,O2分别是四边形 01D ADD1A1,A1B1CD1的中心， 正确；B,C中图形的实、虚线没有按照画法原则去 则 ( 画，也不正确.] A.A,C,O,D1四点共面 2.能确定一个平面的条件是 B.D,E,G,F四点共面 A.空间三个点 B.一个点和一条直线 C.A,E,F,D1四点共面 C.无数个点 D.两条相交直线 D.G,E,O1,O2四点共面 解析：D[不在同一条直线上的三个点可确定一 解析：ACD[因为正方体ABCD一A,B,CD1中， 个平面，A,B,C条件不能保证有不在同一条直线 E,F,G分别为棱BC,CC1,BC1的中点，O1,O2分 上的三个，点，故不正确.] 别为四边形ADDA1,AB,C,D1的中心，所以O 3.空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中 是AD1的中点，所以O1在平面ACD1内，故A正 ( 确；因为E,G,F在平面BCC,B1内，D不在平面 A.必有三点共线 B.必有三点不共线 BCC,B1内，所以D,E,G,F四，点不共面，故B错 C.至少有三点共线D.不可能有三点共线 误；由已知可知EF∥AD1,所以A,E,F,D1四，点 解析：B[如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只 共面，故C正确；连接GO2并延长，交A1D1于H, 有B正确.] 则H为A,D1的中点，连接HO,则HO1∥GE,所 ·D 以G,E,O,O2四点共面.故D正确.] A B C 7.有以下三个命题： 图(1) ①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公 CP 共点； A方 ②直线l在平面a内，可以用符号“l∈a”表示； 图2) ③已知平面a与3不重合，若平面a内的一条直线 4.下列各图均是正六棱柱，P、Q、R、S分别是所在棱 a与平面3内的一条直线b相交，则a与3相交. 的中点，这四个点不共面的图形是 其中真命题的序号是 解析：若直线与平面有两个公共点，则这条直线一 定在这个平面内，故①正确；直线1在平面α内用 符号“C”表示，即lCa,②错误；由a与b相交，说 明两个平面有公共点，因此一定相交，故③正确. 答案：①③ 8.若直线l与平面a相交于点O,A、B∈l、C、D∈a,且AC D ∥BD,则OC、D三点的位置关系是 解析：D[在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中 位线的性质，知均有PS∥QR,即在此三个图形中 P、Q、R、S共面，故选D.] 5.(多选题)下列命题中，错误的是 () A.经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个 平面 解析：，AC∥BD, B.经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个 ∴.AC与BD确定一个平面，记作平面3，则a∩B= 平面 C.经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面 直线CD.:l∩a=O,∴.OEa. 又，O∈ABCB,∴.O∈直线CD,.O、C、D三点 D.经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对 共线. 角线，有且只有一个平面 答案：共线 ·111· 数学B版·必修第四册 9.(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可 (1)直线AC,在平面CC,B,B内. 以确定 个平面. (2)设正方形ABCD与A1B,C,D,的中心分别为 (2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点 O、O,,则平面AA,CC与平面BB,DD的交线 共线，这5个点最多可以确定 个平面. 为O01. 解析：(1)可以想象三棱锥的4个顶，点，它们总共确 (3)由A、C1、B,确定的平面是ADC1B1. 定4个平面. (4)由A、C,、B,确定的平面与由A、C1、D确定的 (2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7 平面是同一个平面. 个平面. 解：(1)错误.如图所示，点A庄平面CCB1B,所以 答案：(1)4(2)7 直线AC庄平面CC1B,B. 10.如图，在四面体A一BCD中作截面PQR,若PQ、 CB的延长线交于点M,RQ、DB的延长线交于点 N,RP、DC的延长线交于点K, (2)正确.如图所示. 因为O∈直线ACC平面AA,C,C,OE直线BDC 平面BB1D1D,O1∈直线A1C1C平面AAC1C, O∈直线B,D,C平面BBD1D,所以平面 AA,C,C与平面BB,D1D的交线为OO1· 求证：M、N、K三点共线. 解：M∈PQ,直线PQC平面PQR,M∈BC,直 线BCC平面BCD, ∴.M是平面PQR与平面BCD的一个公共点， ∴.M在平面PQR与平面BCD的交线上. 同理可证，N、K也在平面PQR与平面BCD的交 D 线上.M、N、K三点共线. 11.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD (3)(4)都正确，因为AD∥B,C1且AD=B,C1, A1B,C1D1中，M,N分别是AA1,D1C1的中点， 所以四边形AB1CD是平行四边形，所以A,B1, 过D,M,N三点的平面与正方体的下底面相交于 C,D共面. 直线1. (1)画出直线1的位置； 答案：(2)(3)(4) (2)设1∩AB,=P,求线段PB的长. 13.如图所示，设E,F,G,H,P,Q分别是正方体 解：(1)延长DM交D1A1的延长线于E,连接 NE,则NE即为直线l的位置. ABCD-A1B,C,D1的棱的中点，求证：E,F,G,H, 0 P,Q共面 D C E G D H A P B (2),M为AA1的中点，AD∥ED1,.AD=A1E 证明：连接EF,QG,AC1,EH, =A D=a. 因为E,F,Q,G分别是AD1,D1C1,AA,C1C的 A,P∥DN,且DN=ZaAP=2DN=a 中点， 所以EF∥A,C,∥QG,同理可证FG∥EH. 子是PB=AB-A,P=a-子a=. 设E,F,Q,G确定平面a,F,G,E,H确定平面B, 由于a与B都经过不共线的三点E,F,G,所以a 能力提升 NENG LI TI SHENG 与B重合，即E,F,G,H,Q五点共面，同理可证 12.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，下列说法正确 E,F,G,P,Q五点共面，所以E,F,G,H,P,Q 的是 .(填序号) 共面 ·112·