11.1.5 第二课时 球-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦球的定义、结构特征、截面性质及表面积计算，通过2018世界杯用球情境引入，结合旋转体知识回顾，衔接立体几何初步内容，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于情境化导入激发兴趣，通过球的结构辨析、截面计算及正方体切接问题，培养直观想象、逻辑推理与数学运算素养。分层训练设计帮助学生巩固知识，教师可直接应用于教学，提升课堂效率与学生空间观念。

第二课时　球 第十一章 立体几何初步 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课程标准 素养解读 1.掌握球的结构特征 2．会利用球的定义及结构特征，处理有关截面及组合体问题，会求球的表面积 通过球的截面对球的结构特征的理解，球的定义的应用及球的表面积的计算，培养学生的直观想象素养，提升逻辑推理、数学运算素养 [情境引入] 　在俄罗斯举行的2018年世界杯足球赛用球是“电视之星(Telstar)18”，它采用了经典黑白两色，深色梯形装饰用马赛克图案形成，文字则使用了金色． 问题　球是个旋转体，它是如何形成的？ 提示　球面可以看作一个半圆围绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球是球面围成的几何体． [知识梳理] [知识点一]　球　 1．球的定义：球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何体，称为球．球面也可以看成：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合．如图所示． 2．球中常用概念 (1)球心：形成球面的半圆的圆心． (2)半径：连接球面上一点和球心的线段． (3)直径：连接球面上两点且通过球心的线段． (4)大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆． 3．球的截面的性质：①球的截面是一个　圆面　；②球心与截面圆圆心的连线　垂直　于截面；③球半径R、截面圆半径r，则球心到截面的距离d＝　eq \r(R2－r2)　. 4．球的表面积 如果球的半径为R，则球的表面积S＝　4πR2　. 1.球与球面有什么区别？ [提示]　球与球面是两个不同的概念，球是几何体，球面是曲面，是球的表面． 2．球心与截面圆圆心的连线与截面圆有怎样的关系？ [提示]　球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆，设球心到截面圆的距离为d，球半径为R，截面圆半径为r，则有d＝eq \r(R2－r2). [知识点二]　组合体　 1．简单组合体：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体． 2．简单组合体的构成形式：有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的． 3.长方体的体对角线与其外接球直径有何关系？ [提示]　长方体的体对角线等于其外接球的直径． [预习自测] 1．如图所示的平面图形中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的旋转体形状为(　　) A．一个球体 B．一个球体中挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个棱柱 解析：B　[该旋转体形状为一个球体中挖去一个圆柱．] 2．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的(　　) 解析：B　[作正方体的对角面，截面必过球心和球与正方体上、下底面的切点，而与对角面中原正方体的两棱相离，故正确答案为B.] 3．若过球心的圆面的周长是C，则这个球的表面积是　________　. 解析：设球的半径为R，则C＝2πR，∴R＝eq \f(C,2π)， ∴球的表面积为S＝4πR2＝eq \f(C2,π). 答案：eq \f(C2,π) 球的结构特征 [例1]　下列说法中正确的个数是(　　) ①半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球；②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；③球面和球是同一个概念；④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆 A．1　　B．2　　　C．3　　　D．4 [思路点拨]　根据球的结构特征判断． [解析]　A　[半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球面，球面围成的几何体叫球，故①错误；②正确；球面和球是两个不同的概念，故③错误；若球面上不同的两点恰好为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故④错误，故选A.] 球与球面是完全不同的两个概念，球是几何体，而球面是曲面，是球的表面，过两点的大圆中，若两点恰为球的直径端点，则这时大圆有无数个． [变式训练] 1．给出下列命题： ①球的任意两个圆的交点的连线是球的直径；②用过球心的平面截球，截面圆是球的大圆；③球面上任意一点到球心的距离即等于半径；④球面上不同的三点可能在同一条直线上． 其中正确命题的个数是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：C　[由球的结构特征知，②③正确，①④错误．] 球的截面问题 [例2]　在球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求此球的半径． [思路点拨]　球半径、截面圆半径，球心到截面圆心的距离构成一个直角三角形，利用直角三角形知识求解． [解]　若两截面位于球心的同侧，如图所示的是经过球心O的大圆截面，C，C1分别是两平行截面的圆心， 设球的半径为R，截面圆的半径分别为r，r1， 由πreq \o\al(2,1)＝49π，得r1＝7. 由πr2＝400π，得r＝20， 在Rt△OB1C1中，OC1＝eq \r(R2－r\o\al(2,1))＝eq \r(R2－49)， 在Rt△OBC中，OC＝eq \r(R2－r2)＝eq \r(R2－400). 由题意可知OC1－OC＝9，即eq \r(R2－49)－eq \r(R2－400)＝9，解此方程，取正值得R＝25. 若球心在两截面之间，如图所示，OC1＝eq \r(R2－49)，OC＝eq \r(R2－400). 由题意可知OC1＋OC＝9，即eq \r(R2－49)＋eq \r(R2－400)＝9，此方程无解． 综上所述，此球的半径为25 cm. 解决与球有关的截面问题时，要注意球的球心和截面圆的圆心的位置，这是联系球半径和截面圆半径的关键所在．本题易出现丢解现象，仅考虑两个截面在圆心同侧，忽略异侧，解题时应小心谨慎． [变式训练] 2．湖面上浮着一个球(水下部分不超过一半)，湖水结冰后，将球取出，冰上留下一个直径为24 cm，深为8 cm的空穴，则球的半径为　________　 cm，球的表面积为　________　 cm2. 解析：设球的半径为R cm， 由题意知，截面圆的半径r＝12 cm，球心到截面的距离d＝(R－8)cm， 由R2＝r2＋d2，得R2＝144＋(R－8)2， 即208－16R＝0，解得R＝13， 故S球＝4πR2＝676π cm2. 答案：13　676π 几何体的外接球、内切球问题 [例3]　有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，等三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比． [思路点拨]　作出截面图，求出半径是关键． [解]　设正方体的棱长为a. (1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面如图，所以有2r1＝a，r1＝eq \f(a,2)，所以S1＝4πreq \o\al(2,1)＝πa2. (2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面的截面如图，2r2＝eq \r(2)a，r2＝eq \f(\r(2),2)a，所以S2＝4πreq \o\al(2,2)＝2πa2. (3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面的截面如图，所以有2r3＝eq \r(3)a，r3＝eq \f(\r(3),2)a，所以S3＝4πreq \o\al(2,3)＝3πa2. 综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3. 球的组合体问题，关键是正确地作出截面图，用圆的知识把立体问题化为平面问题进行解决．对直棱柱、正棱锥与球的切接问题，关键是作图，分析球心与几何体的中心的关系，注意利用球半径、截面圆半径、球心与截面圆圆心的连线等． [变式训练] 3．求棱长为a的正四面体的外接球半径与内切球的半径． 解：如图所示，设正四面体ABCD的高为AO1， 外接球球心为O，半径为R，正三角形BCD的中心为O1. ∵正四面体的棱长为a， ∴O1B＝eq \f(\r(3),2)a×eq \f(2,3)＝eq \f(\r(3),3)a. 在Rt△AO1B中， AO1＝eq \r(AB2－BO\o\al(2,1))＝eq \r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2)＝eq \f(\r(6),3)a. 在Rt△OO1B中，OOeq \o\al(2,1)＝OB2－O1B2＝R2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2＝R2－eq \f(a2,3)， ∴OO1＝eq \r(R2－\f(a1,3)). ∵AO1＝AO＋O1O，∴R＋eq \r(R2－\f(a2,3))＝eq \f(\r(6),3)a. ∴R＝eq \f(\r(6),4)a，即正四面体外接球的半径为eq \f(\r(6),4)a. 设正四面体内切球的半径为r，则球心也为O. ∵正四面体的高AO1＝eq \f(\r(6),3)a， ∴r＝OO1＝AO1－AO＝eq \f(\r(6),3)a－eq \f(\r(6),4)a＝eq \f(\r(6),12)a， 即正四面体的内切球半径为eq \f(\r(6),12)a. 1．下面几何体的截面一定是圆面的是(　　) A．圆台　B．球　　C．圆柱　　D．棱柱 解析：B　[截面可以从各个不同的角度截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．] 2．长方体的体对角线长为5eq \r(2)，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是(　　) A．20eq \r(2)π B．25eq \r(2)π C．50π D．200π 解析：C　[∵对角线长为5eq \r(2)，∴2R＝5eq \r(2)，S＝4πR2＝4π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),2)))2＝50π.] 3．用一个平面去截半径为25 cm的球，截面圆面积是225π cm2，则球心到截面的距离为　________　cm. 解析：由截面圆面积是225π cm2，得截面圆半径为15 cm，故球心到截面的距离d＝eq \r(R2－r2)＝eq \r(252－152)＝20(cm)． 答案：20 4．正方体的表面积为a2，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是　________　. 解析：设正方体棱长为x，球半径为R，则6x2＝a2，(2R)2＝3x2，∴4R2＝eq \f(a2,2)，∴S＝4πR2＝eq \f(πa2,2). 答案：eq \f(πa2,2) 5．A，B，C是球面上三点，已知弦(连接球面上两点的线段)AB＝18 cm，BC＝24 cm，AC＝30 cm，平面ABC与球心的距离恰好为球半径R的一半，求球的半径． 解：如图所示， 因为AB2＋BC2＝AC2， 所以△ABC是直角三角形，AC为斜边． 所以△ABC的外接圆圆心O1是AC的中点． 过A，B，C三点的平面截球O得圆O1的半径为r＝15 cm. 在Rt△OO1C中，R2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2＋r2. 所以R2＝eq \f(R2,4)＋152，所以R2＝300， 所以R＝10eq \r(3)cm.即球的半径为10eq \r(3)cm. $