9.2 正弦定理与余弦定理的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦“解三角形”核心内容，涵盖正弦定理、余弦定理及其应用，通过课前预习学案衔接前期知识，课堂互动学案构建从公式推导到实际应用的学习支架，帮助学生形成完整知识脉络。 其亮点在于以题型分类强化数学思维训练，章末归纳提升系统整合知识，培养学生用数学眼光发现问题、用数学语言表达实际情境的能力。学生能深化定理应用理解，教师可依托完整教学模块提升课堂效率。

9．2　正弦定理与余弦定理的应用 第九章 解三角形 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 章末归纳提升 05 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 章末归纳提升 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 课程标准 素养解读 1.能利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活中的实际问题． 2．巩固深化余弦定理、正弦定理有关知识与方法. 通过运用余弦定理、正弦定理建立数学模型，解决简单的实际问题，提升数学建模素养．通过利用余弦、正弦定理求解距离、高度、角度问题，培养数学运算素养. [情境引入] 中国海监船肩负着我国海域的维权、执法使命．某时某中国海监船位于中国南海的A处，与我国海岛B相距s海里．据观测得知有一外国探油船位于我国海域C处进行非法资源勘探，这艘中国海监船奉命以v海里/小时的速度前去驱逐．假如能测得∠BAC＝α，BC＝m海里，你能根据上述数据计算出它赶到C处的时间吗？要解决这个问题，就需要用到解三角形的相关知识． 问题　解三角形的实际应用有哪些常见问题？ 提示　测量距离，测量高度，测量角度等． [知识梳理] [知识点一]　测量中的常见角　 名称 意义 图示 方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线的最小　正角　. 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的　锐角　. 仰角与 俯角 在同一铅垂平面内，目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角. 坡角 坡面与水平面的夹角． 设坡角为α，坡度为i，则i＝eq \f(h,l)＝tan α. 坡度 坡面的垂直高度h和水平宽度l的比. 1.方向角和方位角是同一个概念吗？ [提示]　方向角是从指定方向线到目标方向线的小于90°的水平角，而方位角是从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角． 2．坡度和坡比有区别吗？ [提示]　坡度是坡面与水平面所成的二面角的度数，而坡比是坡面的铅直高度与水平宽度的比． [知识点二]　解三角形应用题的常见步骤　 eq \x(实际问题) eq \o(――→,\s\up17(抽象概括),\s\do15(　)) eq \x(解三角形问题) eq \o(――→,\s\up17(推理演算)) eq \x(三角形问题的解) eq \o(――→,\s\up17(还原说明),\s\do15(　)) eq \x(实际问题的解) 3.利用正(余)弦定理解应用题常忽略的问题有哪些？ [提示]　(1)检验求解出的结果是否符合实际意义； (2)题中求解往往有精确度的要求，要合理选择近似值，并且为了避免误差的积累，解题过程中应尽量地使用已知(原始)数据，少用或不用间接求出的近似值，必用时要按照近似计算的规则取近似值； (3)利用正弦定理、余弦定理解应用题时，往往数据较多，关系较复杂，因此在解答过程中，要做到算法简练、算式工整、计算准确，还应注意方程思想的应用． [预习自测] 1．某次测量中，点A在点B的北偏东55°，则点B在点A的(　　) A．北偏西35°　　　　 B．北偏东55° C．南偏西35° D．南偏西55° 解析：D　[根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．α＝55°，则β＝α＝55°. 所以点B在点A的南偏西55°.] 2．海上的A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是(　　) A．10eq \r(3) n mile B.eq \f(10\r(6),3) n mile C．5eq \r(2) n mile D．5eq \r(6) n mile 解析：D　[在△ABC中，C＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理，得eq \f(BC,sin 60°)＝eq \f(10,sin 45°)，解得BC＝5eq \r(6) n mile.] 3．如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距500 m，则电视塔AB的高度是　________　 m. 解析：设AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°， ∴BC＝AB＝x；在Rt△ABD中，∠ADB＝30°， ∴BD＝eq \r(3)x；在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500 m，由余弦定理得(eq \r(3) x)2＝x2＋5002－2×500xcos 120°，解得x＝500 m. 答案：500 4．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为　________　 m. 解析：过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°. 又∠BAD＝45°－30°＝15°， 故∠ABD＝15°，由正弦定理得 AB＝eq \f(ADsin ∠ADB,sin ∠ABD) ＝eq \f(1 000sin 150°,sin 15°)＝500(eq \r(6)＋eq \r(2))(m)． 所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin 45°＝500(eq \r(3)＋1)(m)． 答案：500(eq \r(3)＋1) 5．某人在M汽车站的北偏西20°方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M汽车站行驶．公路的走向是M汽车站的北偏东40°.开始时，汽车到A处的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A处的距离缩短了10千米．问：汽车还需行驶多远才能到达M汽车站？ 解：画出示意图如图．设汽车前进20千米后到达B处．在△ABC中，AC＝31千米，BC＝20千米，AB＝21千米，由余弦定理，得cos C＝eq \f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝eq \f(23,31)，则sin2C＝1－cos2C＝eq \f(432,312)，∴sin C＝eq \f(12\r(3),31)(负值舍去)． ∴sin ∠MAC＝sin (120°－C)＝sin 120° cos C－cos 120°·sin C＝eq \f(35\r(3),62). 在△MAC中，由正弦定理，得MC＝eq \f(ACsin∠MAC,sin ∠AMC)＝eq \f(31,\f(\r(3),2))×eq \f(35\r(3),62)＝35(千米)， 从而有MB＝MC－BC＝15(千米)． 因此，汽车还需行驶15千米才能到达M汽车站． 测量距离问题 [例1]　如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12eq \r(6) n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8eq \r(3) n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°. 求：(1)A处与D处之间的距离； (2)灯塔C与D处之间的距离． [思路点拨]　(1)由∠BDA＝60°，利用正弦定理计算AD. (2)由(1)知AD长，利用余弦定理计算CD. [解]　(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝45°，由正弦定理得AD＝eq \f(ABsin B,sin∠ADB)＝eq \f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24. 即A处当D处之间的距离为24n mile. (2)在△ADC中，由余弦定理得 CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°，解得CD＝8eq \r(3). 即C处与D处的距离为8eq \r(3) n mile. 日常生活中，测量距离问题常借助平面三角形解决，常有两种情况： 1. 测量从一个可到达的点到另一个不可到达的点之间的距离问题． 这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理就可解决．(如图所示) 2．测量两个不可到达的点之间的距离问题． 首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，先把求未知的BC和AC的问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间距离的问题(如图所示)，然后在△ABC中求解AB. 3．解三角形应用问题的四个步骤 [变式训练] 1.如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距eq \r(3) km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离． 解：在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°， ∴∠CAD＝30°.∴AC＝CD＝eq \r(3)km. 在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°. 在△BCD中，由正弦定理，得BC＝eq \f(\r(3)sin 75°,sin 60°)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2). 则在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA ＝(eq \r(3))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－2eq \r(3)×eq \f(\r(6)＋\r(2),2)cos 75°＝5.∴AB＝eq \r(5) km. ∴两目标A，B之间的距离为eq \r(5) km. 测量高度问题 [例2]　如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，则山高CD＝　________　. [思路点拨]　根据图形，把已知和所求分别放置在一个或几个三角形中，并通过其公共元素联系起来，由正(余)弦定理解决． [解析]　由已知得∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β. 在△ABC中，由正弦定理得eq \f(AC,sin ∠ABC)＝eq \f(BC,sin ∠BAC)， 即eq \f(AC,sin90°－α)＝eq \f(BC,sinα－β)， ∴AC＝eq \f(BCcos α,sinα－β)＝eq \f(hcos α,sinα－β). 在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ADsin β ＝eq \f(hcos αsin β,sinα－β). 故山高CD＝eq \f(hcos αsin β,sin α－β). [答案]　eq \f(hcos αsin β,sin α－β) 根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，有时根据需求量解不同的三角形． [变式训练] 2．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，求另一山高MN. 解：根据图示，AC＝100eq \r(2) m. 在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得eq \f(AC,sin 45°)＝eq \f(AM,sin 60)⇒AM＝100eq \r(3) m. 在Rt△AMN中，eq \f(MN,AM)＝sin 60°， ∴MN＝100eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝150(m)． 测量角度问题 [例3]　如图，甲船以每小时30eq \r(2)海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10eq \r(2)海里．问：乙船每小时航行多少海里？ [思路点拨]　构造三角形，把已知和未知放到三角形中，利用正(余)弦定理求解． [解]　如图，连接A1B2由已知A2B2＝10eq \r(2)，A1A2＝30eq \r(2)×eq \f(20,60)＝10eq \r(2)，∴A1A2＝A2B2. 又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°， ∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2＝A1A2＝10eq \r(2). 由已知，A1B1＝20，在△A1B2B1中，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°. 由余弦定理得 B1Beq \o\al(2,2)＝A1Beq \o\al(2,1)＋A1Beq \o\al(2,2)－2A1B1·A1B2·cos 45° ＝202＋(10eq \r(2))2－2×20×10eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝200， ∴B1B2＝10eq \r(2). 因此，乙船的速度为eq \f(10\r(2),20)×60＝30eq \r(2)(海里/时)． 解决测量角度问题的注意点 (1)明确方位角和方向角的含义； (2)分析题意，分清已知与所求，并根据题意画出正确的示意图，这是最关键的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用． [变式训练] 3．如图所示，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． (1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值． 解：(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12， AC＝10×2＝20，∠BCA＝α. 在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784. 解得BC＝28. 所以渔船甲的速度为eq \f(BC,2)＝14(海里/时)． (2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得eq \f(AB,sin α)＝eq \f(BC,sin 120°)， 即sin α＝eq \f(ABsin 120°,BC)＝eq \f(12×\f(\r(3),2),28)＝eq \f(3\r(3),14). 1．如图所示，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是(　　) A．a，c，α　　　　　 B．b，c，α C．c，a，β D．b，α，γ 解析：D　[由α，γ可求出β，由α，β，b，可利用正弦定理求出BC，故选D.] 2．甲骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是(　　) A．6 km　　　　　　 B．3eq \r(3) km C．3eq \r(2) km D．3 km 解析：C　[由题意知，AB＝24×eq \f(1,4)＝6 km， ∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°. 由正弦定理，得BS＝eq \f(ABsin ∠BAS,sin∠ASB)＝eq \f(6sin 30°,sin 45°)＝ 3eq \r(2)(km)．] 3．在福州青运会开幕式举行的升旗仪式上，从坡角为15°的看台上，同一列的第一排和最后一排分别测得旗杆顶部的仰角为60°和30°.若同一列的第一排和最后一排之间的距离为10eq \r(6)米(如图所示)，则旗杆的高度为　________　米． 解析：如图所示，记看台上的一列为BC，旗杆为OP， 依题意可知∠PCB＝45°，∠PBC＝180°－60°－15°＝105°，∠PBO＝60°，BC＝10eq \r(6)米， ∴∠CPB＝180°－45°－105°＝30°， ∴在△PBC中，由正弦定理可知PB＝eq \f(CB,sin∠CPB)·sin∠PCB＝20eq \r(3)(米)， ∴在Rt△POB中，OP＝PB·sin∠PBO＝20eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝30(米)，即旗杆的高度为30米． 答案：30 4．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为　________　m. 解析：由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理，得eq \f(AC,sin∠ABC)＝eq \f(AB,sin∠ACB)， ∴AB＝eq \f(AC·sin∠ACB,sin∠ABC)＝eq \f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq \r(2)(m)． 答案：50eq \r(2) 5．如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度由B向C航行，航行的方位角是140°.A处有一灯塔，在B处观察灯塔A的方位角是110°，在C处观察灯塔A的方位角是35°，由B到C需航行半个小时，求C到灯塔A的距离． 解：在△ABC中，BC＝40×eq \f(1,2)＝20(km)， ∠ABC＝140°－110°＝30°， ∠ACB＝(180°－140°)＋35°＝75°，∴∠BAC＝75°. 由正弦定理，得eq \f(AC,sin 30°)＝eq \f(BC,sin 75°)，∴AC＝eq \f(BCsin 30°,sin 75°)＝ eq \f(10,sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°)＝eq \f(40,\r(6)＋\r(2))＝10(eq \r(6)－eq \r(2))(km)． 故C到灯塔A的距离为10(eq \r(6)－eq \r(2))km. [归纳提升] 　　利用正、余弦定理解三角形 解三角形的常见类型及解法 在三角形的六个元素中，若知道三个，其中至少一个元素为边，即可求解三角形，按条件可分为以下几种： (1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角． (3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，可先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，也可利用余弦定理构造关于边c的一元二次方程求解．要注意解可能有多种情况． (4)已知三角a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C. [例1]　如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2eq \r(3)，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度． [解]　在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2eq \r(3)， ∴由余弦定理，得cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(\r(3),2)， ∴sin C＝eq \f(1,2). 在△ADC中，由正弦定理得，eq \f(AD,sin C)＝eq \f(AC,sin ∠ADC)，∴AD＝eq \f(AC,sin∠ADC)·sin C＝eq \f(2,\f(\r(2),2))×eq \f(1,2)＝eq \r(2). [变式训练] 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，设a，b，c满足条件b2＋c2－bc＝a2和eq \f(c,b)＝eq \f(1,2)＋eq \r(3)，求A和tan B的值． 解：由余弦定理cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)， 因此A＝60°，在△ABC中，C＝180°－A－B＝120°－B. 由已知条件，应用正弦定理eq \f(1,2)＋eq \r(3)＝eq \f(c,b)＝eq \f(sin C,sin B)＝eq \f(sin120°－B,sin B)＝eq \f(sin 120°cos B－cos 120° sin B,sin B)＝eq \f(\r(3),2tan B)＋eq \f(1,2)，从而tan B＝eq \f(1,2). 与解三角形有关的综合问题 　该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等． [例2]　(2020·全国Ⅱ卷，17)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C. (1)求A； (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． [解]　(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.① 由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC· ABcos A．② 由①②得cos A＝－eq \f(1,2)，因为0<A<π， 所以A＝eq \f(2π,3). (2)由正弦定理及(1)得eq \f(AC,sin B)＝eq \f(AB,sin C)＝eq \f(BC,sin A)＝2eq \r(3)， 从而AC＝2eq \r(3)sin B，AB＝2eq \r(3)sin(π－A－B)＝3cos B－eq \r(3)sin B， 故BC＋AC＋AB＝3＋eq \r(3)sin B＋3cos B ＝3＋2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,3))). 又0<B<eq \f(π,3)，所以当B＝eq \f(π,6)时，△ABC周长取得最大值3＋2eq \r(3). [变式训练] 2．(2020·新高考全国Ⅱ卷，17)在①ac＝eq \r(3)， ②c sin A＝3，③c＝eq \r(3)b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝eq \r(3)sin B，C＝eq \f(π,6)，　________　？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解析：若c＝eq \r(3)b，因为sin A＝eq \r(3)sin B，结合正弦定理eq \f(sin A,a)＝eq \f(sin B,b)，知a＝eq \r(3)b＝c， 所以A＝C＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(2π,3)， 所以sin A＝eq \f(1,2)，sin B＝eq \f(\r(3),2)，与sin A＝eq \r(3)sin B. 所以此时不存在这样的△ABC. 答案：选择③，不存在 解析：因为sin A＝eq \r(3)sin B，结合正弦定理eq \f(sin A,a)＝eq \f(sin B,b)，知a＝eq \r(3)b， 由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcos C＝b2，即c＝b， 若csin A＝3，由正弦定理eq \f(sin A,a)＝eq \f(sin C,c)知a＝6， 所以c＝b＝2eq \r(3). 答案：选择②，c＝2eq \r(3) 解析：因为sin A＝eq \r(3) sin B，结合正弦定理eq \f(sin A,a)＝eq \f(sin B,b)，知a＝eq \r(3)b， 由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcos C＝b2，即c＝b， 若ac＝eq \r(3)，则c＝1. 答案：选择①，c＝1. 　　　正、余弦定理在实际中的应用 正、余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面．解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解．注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验． [例3]　如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋eq \r(3))n mile的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20eq \r(3)n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30n mile/h，该救援船到达D点需要多长时间？ [解]　由题意知AB＝5(3＋eq \r(3))n mile， ∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°， 在△ADB中，由正弦定理得eq \f(DB,sin ∠DAB)＝eq \f(AB,sin ∠ADB)， ∴DB＝eq \f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq \f(53＋\r(3)·sin 45°,sin 105°) ＝eq \f(53＋\r(3)·sin 45°,sin 45°cos 60°＋cos 45°·sin 60°)＝eq \f(5\r(3)\r(3)＋1,\f(\r(3)＋1,2))＝10eq \r(3)(n mile)， 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20eq \r(3)(n mile)，在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC ＝300＋1 200－2×10eq \r(3)×20eq \r(3)×eq \f(1,2)＝900， ∴CD＝30(n mile)． 则需要的时间t＝eq \f(30,30)＝1(h)． 所以救援船到达D点需要1 h. [变式训练] 3．为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量．A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤． 解：①需要测量的数据有：A观测到M，N的俯角α1，β1，B观测M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示)． ②法一　第一步：计算AM.在△ABM中由正弦定理得 AM＝eq \f(dsin α2,sinα1＋α2)； 第二步：计算AN，在△ABN中，由正弦定理得 AN＝eq \f(dsin β2,sinβ2－β1)； 第三步：计算MN.在△AMN中由余弦定理得 MN＝eq \r(AM2＋AN2－2AM×ANcosα1－β1). 法二　第一步：计算BM.在△ABM中由正弦定理得BM＝eq \f(dsin α1,sinα1＋α2)； 第二步：计算BN.在△ABN中由正弦定理得 BN＝eq \f(dsin β1,sinβ2－β1)； 第三步：计算MN.在△BMN中由正弦定理得 MN＝eq \r(BM2＋BN2－2BM×BNcosβ2＋α2). $