9.1.1 正弦定理-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦解三角形中的正弦定理，涵盖定理内容、变形及解的个数判断。通过雷达兵训练情境引入，结合三角形面积公式自然过渡，以预习学案、情境问题、知识梳理和自测题构建完整学习支架。 其特色是情境化与素养融合，雷达兵情境培养用数学眼光观察现实世界，解的个数判断从代数几何双角度分析发展逻辑推理，预习自测提升数学运算素养。采用问题驱动教学，助力学生构建知识体系，教师可直接应用提升教学效果。

9．1　正弦定理与余弦定理 9．1.1　正弦定理 第九章 解三角形 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第九章 解三角形 数学B版·必修第四册 课程标准 素养解读 1.探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理． 2．能用正弦定理解决简单的实际问题. 通过证明正弦定理的过程，培养逻辑推理素养．通过运用正弦定理解三角形，提升数学运算素养. [情境引入] 在雷达兵的训练中，有一个项目叫“捉鬼(战士语)”，即准确地发现敌台的位置．在该项目的训练中，追寻方的安排是以两个小组作为一个基本单位去执行任务，用战士的话说就是两条线(即用两台探测器分别探出敌台的方向)一交叉就把敌人给“叉”出来了，想藏？想跑？门都没有．其实这里面不仅仅是两线交叉确定交点的问题，还隐藏了另一个数学问题，即两个探寻小组之间的位置是已知的，它们和敌台构成一个三角形，战士探明了敌台的方向，也就是知道了该三角形的两个内角．通过本课时的学习，我们就会知道其中的奥秘了． 问题　在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比有什么关系？ 提示　相等． [知识梳理] [知识点一]　三角形面积公式 　任意三角形的面积公式为： (1)S△ABC＝　eq \f(1,2)bcsin A　＝　eq \f(1,2)acsin B　＝　eq \f(1,2)absin C　，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (2)S△ABC＝eq \f(1,2)ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长． [知识点二]　正弦定理　 在一个三角形中．各边和它所对角的正弦的比相等． 即eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,　sin B　)＝eq \f(c,　sin C　)＝2R.(R为△ABC外接圆的半径) [知识点三]　正弦定理的常见变形　 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)． (2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)(R为△ABC外接圆的半径)． (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶ b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. (4)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C). (5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A．bsin C＝csin B. [知识点四]　对三角形解的个数的判断　 已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形未必被唯一确定，例如，已知a，b和A解三角形为例，从两个角度予以说明： (1)代数角度 由正弦定理得sin B＝eq \f(bsin A,a)， ①若eq \f(bsin A,a)>1，则满足条件的三角形个数为0.即无解． ②若eq \f(bsin A,a)＝1，则满足条件的三角形个数为1.即一解． ③若eq \f(bsin A,a)<1，则满足条件的三角形个数为1或2. 已知两边和其中一边的对角解三角形时一定是一解吗？ [提示]　在△ABC中，已知两边和其中一边的对角解三角形时，可先用正弦定理求出另一边的对角的正弦值，此时解的个数不确定，应注意讨论：(1)其正弦值大于1，无解．(2)其正弦值等于1，一解，(3)其正弦值小于1，①对应边小于或等于已知角的对边，一解．②对应边大于已知角的对边，两解． (2)几何角度 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a＝bsin A； ②a≥b 　一解　 bsin A<a<b 　两解　 A为锐角 a<bsin A 　无解　 A为钝角或直角 a>b 　一解　 a≤b 　无解　 [预习自测] 1．在△ABC中，A＝60°，a＝eq \r(3)，b＝eq \r(2)，则B＝(　　) A．45°或135°　　　　　 B．60° C．45° D．135° 解析：C　[由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(2)sin 60°,\r(3))＝eq \f(\r(2),2).∵a＞b，∴A＞B，∴B＝45°.] 2．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝eq \r(3)b，则角A等于(　　) A.eq \f(π,12)　　　　　　　　 B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,3) 解析：D　[∵2asin B＝eq \r(3)b，∴eq \f(asin B,b)＝eq \f(\r(3),2)， 又由正弦定理可得：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B) ∴sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(\r(3),2)， 又∵△ABC为锐角三角形．∴A＝eq \f(π,3)，故选D.] 3．在△ABC中，若BC＝eq \r(5)，sin C＝2sin A，则AB＝(　　) A．2eq \r(5)　B．3eq \r(5)　　C．4eq \r(5)　　D．5eq \r(5) 解析：A　[利用正弦定理化简sin C＝2sin A，得AB＝2BC，∵BC＝eq \r(5)，∴AB＝2eq \r(5).] 4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝eq \f(4,5)，cos C＝eq \f(5,13)，a＝1，则b＝　________　. 解析：由条件可得sin A＝eq \f(3,5)，sin C＝eq \f(12,13)，从而有sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋ cos Asin C＝eq \f(63,65).由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，可知b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(21,13). 答案：eq \f(21,13) 5．在△ABC中，c＋b＝12，A＝60°，B＝30°，则c＝　________　，b＝　________　. 解析：因为A＝60°，B＝30°，所以C＝90°，由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，得b＝eq \f(1,2)c.又c＋b＝12，所以c＝8，b＝4. 答案：8　4 已知两角及一边解三角形 [例1]　已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝60°，求a，b和B. [思路点拨]　(1)由内角和定理求角B. (2)由正弦定理计算出另两边a，b. [解]　∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，∴a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(10×sin 45°,sin 60°)＝eq \f(10\r(6),3). B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋60°)＝75°. 又∵eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，∴b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(10×sin 75°,sin 60°)＝eq \f(20\r(3),3) ＝eq \f(20\r(3),3)×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq \f(53\r(2)＋\r(6),3). 已知三角形的两角和任一边解三角形的方法 (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求出第三边． (2)若所给边不是已知角的对边时，可先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边． [变式训练] 1．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3eq \r(2)，则AC＝(　　) A．4eq \r(3)　B．2eq \r(3)　　C.eq \r(3)　　D.eq \f(\r(3),2) 解析：B　[由正弦定理eq \f(BC,sin A)＝eq \f(AC,sin B)，得eq \f(3\r(2),sin 60°)＝eq \f(AC,sin 45°)，所以AC＝eq \f(3\r(2),\f(\r(3),2))×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(3)，故选B.] 　　已知两边及一边的对角解三角形 [例2]　已知一三角形中a＝2eq \r(3)，b＝6，A＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形． [思路点拨]　先利用正弦定理求另一边对角的正弦值，再利用三角形中大边对大角考虑解的情况，然后解三角形． [解]　∵bsin A<a<b，∴△ABC有两解．∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)， ∴sin B＝eq \f(b,a)·sin A＝eq \f(6,2\r(3))×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3),2)，∴B＝60°或120°. (1)当B＝60°时，C＝180°－30°－60°＝90°，c＝eq \r(a2＋b2)＝4eq \r(3)， (2)当B＝120°时，C＝30°，∵A＝C＝30°， ∴c＝a＝2eq \r(3). 已知两边和其中一边的对角解三角形时的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值． (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求出该锐角，满足条件的三角形唯一． (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，需要分类讨论，满足条件的三角形有两个． [变式训练] 2．在△ABC中，A＝60°，a＝4eq \r(3)，b＝4eq \r(2)，则B＝(　　) A．45°或135°　　　　　 B．135° C．45° D．以上答案都不对 解析：C　[∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，A＝60°，a＝4eq \r(3)， b＝4eq \r(2)， ∴sin B＝eq \f(b·sin A,a)＝eq \f(4\r(2)×\f(\r(3),2),4\r(3))＝eq \f(\r(2),2). ∵0°<B<180°， ∴B＝45°或135°. 又∵4eq \r(3)>4eq \r(2)，∴B＝45°.] 　　利用正弦定理判断三角形的形状 [例3]　在△ABC中，已知eq \f(b＋a,a)＝eq \f(sin B,sin B－sin A)且2sin Asin B＝2sin2 C，试判断该三角形的形状． [思路点拨]　本题给出的已知条件中含有边角关系，首先需进一步明确边角关系，其次利用正弦定理和逆用二倍角的正弦公式确定三角形中角的关系． [解]　由已知eq \f(b＋a,a)＝eq \f(sin B,sin B－sin A)＝eq \f(b,b－a). ∴b2－a2＝ab，① 又2sin Asin B＝2sin2C，由正弦定理得2ab＝2c2.② 由①②，得b2＝a2＋c2. ∴该三角形是以B为直角的直角三角形． 利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径 (1)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R). (2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. [变式训练] 3．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，则△ABC的形状为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解析：D　[∵在△ABC中，a2tan B＝b2tan A，∴由正弦定理，得eq \f(sin2 Asin B,cos B)＝eq \f(sin2 Bsin A,cos A).又sin A≠0，sin B≠0，∴eq \f(sin A,cos B)＝eq \f(sin B,cos A). ∴sin Acos A＝sin Bcos B，即eq \f(1,2)sin 2A＝eq \f(1,2)sin 2B，即sin 2A＝sin 2B， ∴A＝B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)， ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．] 正弦定理的综合应用 [例4]　如图所示，D是Rt△ABC的斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β. (1)求证：sin α＋cos 2β＝0； (2)若AC＝eq \r(3)DC，求β的值．(注：cos 2β＝1－2sin2 β) [思路点拨]　根据正弦定理，实现边角互化． (1)证明　在Rt△ABC中，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABC＝β. ∵α＝eq \f(π,2)－∠BAD＝eq \f(π,2)－(π－2β)＝2β－eq \f(π,2)， ∴sin α＝sin(2β－eq \f(π,2))，即sin α＝－sin(eq \f(π,2)－2β)． ∴sin α＝－cos 2β，∴sin α＋cos 2β＝0. (2)[解]　在△ADC中，根据正弦定理得eq \f(AC,sin∠ADC)＝eq \f(DC,sin α). 又AC＝eq \r(3)DC，∠ADC＝π－β，∴eq \f(\r(3)DC,sinπ－β)＝eq \f(DC,sin α)，∴sin β＝eq \r(3)sin α. 由(1)知sin α＝－cos 2β，∴sin β＝－eq \r(3)cos 2β. ∴2eq \r(3)sin2 β－sin β－eq \r(3)＝0，解得sin β＝eq \f(\r(3),2)或－eq \f(\r(3),3). ∵0<β<eq \f(π,2)，∴sin β＝eq \f(\r(3),2)，∴β＝eq \f(π,3). (1)在三角形中，进行三角函数式的化简、证明或求值时，一要注意边角互化，二要注意三角函数公式的灵活应用，特别是三角恒等式变形的技巧． (2)判断三角形形状的常用方法有：①化边为角．将题目中的条件利用正弦定理化边为角(若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝eq \f(π,2))，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；②化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状． [变式训练] 4．在△ABC中，已知3b＝2eq \r(3)a sin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解析：D　[由3b＝2eq \r(3)asin B，得eq \f(b,sin B)＝eq \f(2\r(3)a,3)， 根据正弦定理得eq \f(b,sin B)＝eq \f(a,sin A)， 所以eq \f(a,sin A)＝eq \f(2\r(3)a,3)，即sin A＝eq \f(\r(3),2). 又角A是锐角，所以A＝60°. 又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C. 故△ABC为等边三角形，故选D.] 1．在△ABC中，若sin A＞sin B，则角A与角B的大小关系为(　　) A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A，B的大小关系不能确定 解析：A　[由sin A＞sin B⇔2Rsin A＞2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)⇔a＞b⇔A＞B.] 2．在△ABC中，AC＝eq \r(6)，BC＝2，B＝60°，则角C的值为(　　) A．45°　B．30°　　C．75°　　D．90° 解析：C　[由正弦定理，得eq \f(2,sin A)＝eq \f(\r(6),sin 60°)， ∴sin A＝eq \f(\r(2),2). ∵BC＝2＜AC＝eq \r(6)，∴A为锐角． ∴A＝45°，∴C＝75°.] 3．在△ABC中，若C＝60°，b＝eq \r(6)，c＝3，则A＝　________　. 解析：由正弦定理，得sin B＝eq \f(bsin C,c)＝eq \f(\r(6)×\f(\r(3),2),3)＝eq \f(\r(2),2)，结合b＜c可得B＝45°，则A＝180°－B－C＝75°. 答案：75° 4．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2eq \r(2)，则c等于　________　. 解析：∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°. 由正弦定理得c＝eq \f(bsin C,sin B)＝eq \f(2\r(2)sin 30°,sin 45°)＝2. 答案：2 5．在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝30°，C＝105°，a＝10，求b，c. 解：因为A＝30°，C＝105°，所以B＝180°－(A＋C)＝45°. 因为eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，所以b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(10sin 45°,sin 30°)＝10eq \r(2)，c＝eq \f(asin C,sin A)＝eq \f(10sin 105°,sin 30°)＝5eq \r(2)＋5eq \r(6). $