精品解析：广东茂名市2025-2026学年度第一学期期末质量监测九年级数学

2025-2026学年度第一学期期末质量监测 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据左视图是从几何体的左边看到的图形，进行作答即可． 【详解】解：这个“堑堵”的左视图如下： 故选：D． 2. 方程的根为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ∴， 故选：D． 3. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据所给式子，找到对应完全平方式的常数项是解题关键． 由，判断出配方后方程左边的式子应为，将原方程通过移项、合并同类项配方即可． 【详解】∵ ， 移项，得 ， 方程两边同时加4，得 ，即 ， 故选：A． 4. 如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 根据正切函数的定义，可得答案． 【详解】解：如图： 在中，，，， ， 故选D． 5. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则和的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：， ， 和是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 与的面积比为：， 故选：D． 6. 在一个不透明的盒子中装有30个白、黄两种颜色的乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同． 班长进行了多次的摸球试验，发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.3左右，则盒子中的白色乒乓球的个数可能是（ ） A. 21个 B. 15个 C. 12个 D. 9个 【答案】A 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设袋中有白色乒乓球x个，列出方程求解即可． 【详解】解：设袋中有白色乒乓球x个，由题意得＝0.3， 解得x＝21． 故选：A． 【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数． 7. 在△ABC中，若|sinA-|+(1-tanB)2=0，则∠C的度数是( ) A. 45° B. 60° C. 75° D. 105° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据非负数的性质求出sinA及tanB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的值，由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】∵|sinA−|+(1−tanB)2=0， ∴sinA=，tanB=1， ∴∠A=60°，∠B=45°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°． 故选C． 【点睛】（1）非负数的性质：几个非负数的和等0，这几个非负数都为0；（2）三角形内角和等于180°. 8. 反比例函数y=的图象如图所示，则一次函数y=kx+b（k≠0）的图象的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由反比例函数的图象得到k，b同号，然后分析各选项一次函数的图象即可. 【详解】∵y=的图象经过第一、三象限， ∴kb＞0， ∴k，b同号， 选项A图象过二、四象限，则k＜0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b异号，故此选项不合题意； 选项B图象过二、四象限，则k＜0，图象经过原点，则b=0，此时，k，b不同号，故此选项不合题意； 选项C图象过一、三象限，则k＞0，图象经过y轴负半轴，则b＜0，此时，k，b异号，故此选项不合题意； 选项D图象过一、三象限， 则k＞0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b同号，故此选项符合题意； 故选D． 9. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，，．则四边形ABCD的面积为（ ） A. 240 B. 120 C. 60 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】先证四边形ABCD是菱形，再由勾股定理可求BO的长，然后由菱形的面积公式可求解． 【详解】解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，如图所示： ∵两条纸条宽度相同， ∴AE＝AF． ∵ABCD，ADBC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵S▱ABCD＝BC•AF＝CD•AE． 又∵AE＝AF． ∴BC＝CD， ∴ABCD是菱形， ∴AO＝CO=，BO＝DO=，AC⊥BD， ∵， ∴CO＝AO＝5，BO＝＝=12， ∴BD＝24， ∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×10×24＝120． 故选：B． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定和性质以及勾股定理等知识，解题的关键是证得四边形ABCD为菱形． 10. 下列关于反比例函数的描述中，正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 点在反比例函数的图象上 C. 当时，或 D. 若点、都在反比例函数的图象上，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，包括图像位置、点是否在图像上、不等式求解及函数值比较． 【详解】解：∵，∴图像在第二、四象限，A错误． 对于B，当时，，∴点不在图像上，B错误． 对于C，解，即． 当时，，两边乘，得，∴，结合，得． 当时，，两边乘，不等号方向改变，得，∴． ∴当时，或，C正确． 对于D，，，∴，D错误． 故选C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知点在反比例函数的图象上，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求值，即可解题． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 故答案为：． 12. 日晷是我国古代的一种计时仪器，它由晷面和晷针组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影是___________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】平行 【解析】 【分析】根据中心投影和平行投影的定义，结合光的照射方式判断即可． 【详解】解：∵太阳光的光线可以看成平行光线， ∴晷针在晷面上形成的投影是平行投影， 故答案为：平行． 【点睛】本题考查了中心投影和平行投影的定义，正确分析光的照射方式是解答本题的关键．中心投影的定义：光由一点向外散射形成的投影；平行投影的定义：光源以平行的方式照射到物体上形成的投影． 13. 如图，若点在反比例函数的一支图象上，轴于点，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即． 【详解】解：∵，轴， ∴， 故答案为：． 14. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，点是对角线上一动点，点是边上一动点，连接，．若，，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，垂线段最短，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 如图，连接，，，过点C作，垂足为F，由菱形知，，互相垂直平分，得，由两点之间线段最短得，进而由垂线段最短得的最小值为垂线段的长；根据勾股定理得，由菱形的面积公式得，从而得最小值． 【详解】解：如图，连接，，，过点C作，垂足为F， ∵四边形是菱形， ∴，互相垂直平分． ∴． ∴ 当点C，P，E三点共线时， 而 ∴的最小值为垂线段的长． ∵菱形中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题一：本大题共3小题，其中第16题10分，第17题6分，第18题8分，共24分． 16. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（），（） 【解析】 【分析】（）利用因式分解法法求解即可； （）将特殊角的三角函数值代入，然后计算即可； 本题考查了解一元二次方程和特殊三角函数值，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程及熟练掌握特殊三角函数值的运算． 【详解】（） 或， ∴，； （） ， ， ． 17. 如图，花城广场对岸有广州塔，小明同学站在花城广场的处看塔顶点的仰角为，向塔前进360米到达点，在处看塔顶的仰角为，求广州塔的高度．（，，） 【答案】广州塔的高度约为600米 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，设广州塔高为x米，根据直角三角形的性质、正切的定义分别用含x的代数式表示出，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：设广州塔的高度为米， ，， ， ， ， ， ，， ， 解得（米）， 答：广州塔的高度约为600米． 18. 乐乐家有一台智能饮水机，接通电源，饮水机自动开始加热，每分钟水温上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温和通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为：，接通电源后，水温和通电时间之间的关系如图所示，回答下列问题： （1）求当时，与之间的函数表达式； （2）某天，乐乐早上点整打开饮水机，乐乐计划将水烧开后，待水温下降到及以下时喝水，求乐乐最早什么时候能喝到不高于的水？ 【答案】（1） （2）乐乐最早在点能喝到不高于的水 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数： （1）利用待定系数法求得函数解析式即可； （2）将数值代入函数解析式即可． 【小问1详解】 当时，设与之间的函数表达式为， 将代入中得：， 解得， 与之间的函数表达式为． 【小问2详解】 把代入中得：， 解得， 乐乐最早在点能喝到不高于的水． 四、解答题二：本大题共3小题，其中第19题8分，第20题8分，第21题8分，共24分． 19. 如图，为的对角线，平分，交于点E，过点E作，交于点F，，，． （1）求证：是矩形； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：在中，∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题主要查了矩形的判定，勾股定理的逆定理，锐角三角函数： （1）根据勾股定理的逆定理可得，即可求证； （2）利用锐角三角函数可得，从而得到，在和中，分别利用锐角三角函数解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴． 20. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． （1）小明希望每天获得的利润达到1050元，同时尽可能让利于顾客，则每件T恤衫应该降价为多少？ （2）为了保证每件T恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【答案】（1）25元 （2）小明每天不能获得1200元的利润，理由： 根据题意得，当降价x元时，每天利润为， 由题意可得：， ∴． ∴，． ∵每件T恤衫的利润率不低于， ∴， ∴． ∴，都不合题意舍去． ∴小明每天不能获得1200元的利润． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，理解题意、正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）设每件T恤衫降价x元，根据“每天获得的利润达到1050元”列出一元二次方程求解即可解答； （2）当降价x元时，由题意可得，解得，．再根据保证每件T恤衫的利润率不低于列不等式求得x的取值范围，然后再判断即可解答． 【小问1详解】 解：设每件T恤衫降价x元， 由题意可得： ，解得：或． 又∵尽可能让利于顾客， ∴，不合题意，舍去， 答：每件T恤衫降价25元． 【小问2详解】 略 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数的表达式和一次函数的表达式； （2）观察图象直接写出时的取值范围是_____． 【答案】（1）反比例函数的表达式是；一次函数的表达式为 （2）或 【解析】 【分析】本题属于反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，反比例函数与一次函数图象与性质，反比例函数与一次函数交点问题． （1）利用待定系数法求两函数的解析式； （2）根据一次函数图象在反比例函数图象下方时对应x的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入反比例函数得：， 解得：， 反比例函数的表达式是； 将点的坐标代入，得：， ． 将点，点的坐标分别代入，得： ，解得：， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：观察图象得：时的取值范围是或． 故答案为：或 五、解答题三：本大题共2小题，其中第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 阅读与思考 下面是某数学学习小组写的一篇研究小论文，请你认真阅读，并完成相应任务． 用尺规作图将线段三等分 尺规作图起源于古希腊数学家们对几何原理的研究和应用，是使用无刻度的直尺和圆规、并且只准许使用有限次，以解决不同的平面几何作图问题．我们利用尺规作图，可以把线段两等分，也可以把线段三等分． 探究一：已知：线段，如图． 求作：如图1，点C、点D，使点C、点D在线段上，且． 作法： 1．作射线． 2．在射线上依次截取线段使，连接． 3．分别过点作平行于的直线交于点，则点为所求的点． 探究二：已知：如图2，是的一条中线． 求作：点N，使点N在线段上，且． 作法： 1．作边的垂直平分线交于点M． 2．连接交于N． 则点N为所求的点． 任务： （1）“探究一”作图的依据是_________________； （2）①按照“探究二”的作法，在图2中作出点N． ②在探究二中，．请说明理由． （3）已知：在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．请直接写出线段的三等分点C的坐标． 【答案】（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 （2） ①如下图： ②如下图，连接， 分别是中点， 为中位线， ∴， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】本题考查平行线截线段成比例和相似三角形判定与性质，掌握这些知识点是解题关键． （1）通过平行线截线段成比例定理得出所求线段的长度比即可解决； （2）①先通过做中垂线得到中点M，再连接交于N点，即为所求； ②根据为中位线，得出，再利用相似比即可得证； （3）过点A作轴，过点B作于点D，分别过点作于点E，F，得出，根据相似三角形性质求出，从而求解点的坐标． 【小问1详解】 解：，且， ， ， “探究一”作图的依据是：“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”， 故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：线段的三等分点C可能靠近A点，也可能靠近B点，如下图分别为， 过点A作轴，过点B作于点D， 分别过点作于点E，F， ， ， ， 和， ，即； ，即； 故点Ｃ坐标为：或． 23. 旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中以达到解决问题的目的． 【探究发现】如图1，四边形是正方形，点，分别在边和上，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 爱动脑筋的小明发现：这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图2，小明将绕点顺时针旋转得到，然后证明，就可以解决这道问题．请直接写出线段，，之间的数量关系__________________ 【类比迁移】如图3，等腰直角三角形，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 【拓展延伸】如图4，在中，，，点，在边上，且，当，时，则的长为____________． 【答案】（1）； （2）猜想：， 证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，     ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ，即， 在和中 ， ， ． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是：利用旋转转化线段关系，将分散的条件集中到同一个三角形求解． （1）利用旋转的性质，证明，得到，等量代换即可证明； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质，可知，，，，在中，，可求得，所以，证，利用得到． （3）同（2）方法，把绕点顺时针旋转得到，连接，可证明：，在中，，，，过点D作，垂足为，利用直角三角形性质和勾股定理求出进而根据，即可得出答案． 【详解】（1）解： 证明：由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2） 略 （3）证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图4， ，，，， ，， ， ，即， 又， ， 在和中 ， ， 过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ． ∴， ∴ ∴ 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