精品解析：湖北黄冈市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025年秋初中期末教学质量检测九年级数学试题 （时间：120分钟 卷面：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ） A. a B. b C. c D. d 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小．根据数轴上右边的数总比左边的大即可判断． 【详解】解：由数轴知，， 则最小的实数为a， 故选：A． 2. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、图形是中心对称图形，符合题意，选项正确； 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，同底数幂的相乘，幂的乘方运算法则依次判断即可得到答案. 【详解】A、与不是同类二次根式，不能进行加法运算，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确， 故选：D. 【点睛】此题考查计算能力，正确掌握二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，同底数幂的相乘，幂的乘方运算法则是解题的关键. 4. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当 时，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 5. 已知，是方程的两根，则的值为（ ） A. 5 B. 10 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再通过恒等变形计算所求代数式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴， 故选：C． 6. 二次函数y=2（x-1）2-2的图象是由二次函数y=2x2的图象平移得到的，下列平移方法正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法． 【详解】解：抛物线y=2x2的顶点坐标是（0，0）． 抛物线y=2（x-1）2-2的顶点坐标是（1，-2）． 则由二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位即可得到二次函数y=2（x-1）2-2的图象． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是根据顶点式得到新抛物线的顶点坐标． 7. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：两人同时出相同的手势，，这个事件是随机事件， 故选：A． 8. 如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（　　） A. 48° B. 96° C. 114° D. 132° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出∠B，根据圆内接四边形的性质求出∠D，根据圆周角定理解答． 【详解】∵AD∥BC， ∴∠B＝180°﹣∠DAB＝132°， ∵四边形ABCD内接于圆O， ∴∠D＝180°﹣∠B＝48°， 由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D＝96°， 故选B． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行线的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 9. 一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为 ，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为 ，由题意，得： ， 解得：（舍去）； 故选C． 10. 如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，即得，进而可判断，即可判断结论①；当时，，即，可判断结论②；根据二次函数与x轴的交点结合二次函数的对称性即可判断结论③④，可得答案. 【详解】解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴， ∴， 又∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 由函数的图象可得：当时，，即， 即，故结论②错误； ∵二次函数的图象交x轴于A，B两点，点A，点B， ∴关于x的方程的解是，，，故结论③④正确； 综上，结论正确的有3个， 故选：C. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的一次项系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程一次项系数的定义可直接得出答案． 【详解】解：一元二次方程的一次项为，一次项系数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程经过整理都可化成一般形式．其中叫作二次项，a是二次项系数；叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项．掌握上述知识是解题的关键． 12. 我国传统的二十四节气概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，正确理解题意，运用概率公式计算是关键．根据概率公式计算即可． 【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在冬季的有六个，则抽到的节气在冬季的概率为． 故答案为：． 13. 若一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的圆心角为 ，则圆锥的母线长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面积公式，以及扇形面积公式，设圆锥的母线长是，利用扇形面积公式表示出圆锥侧面积，再利用圆锥侧面积公式表示出圆锥侧面积，根据面积建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设圆锥的母线长是， 则有， 整理得， 解得（不合题意，舍去），， 圆锥的母线长是； 故答案为：． 14. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中 是铅球离初始位置的水平距离， 是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与 轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为： ． 15. 如图， 为正方形 的对角线，平分，交 于点，把绕点 逆时针方向旋转90°得到，延长交于点 ，连接，交 于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是________．（填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，旋转性质，全等三角形性质与判定，角平分线定义，圆周角定理，勾股定理解三角形，等腰三角形性质与判定，三角形的三边关系等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 由旋转性质得，可得，，，进而由即可判断①；由即可判断②；由、 、 、 、在以 为直径的圆上，可以证明，即可判定③，设，由勾股定理解三角形可得，，即可判断④． 【详解】解：由旋转可知：， ∴，，， ∵在正方形 中， ∴ ，， 又∵， ∴， ∴，即，故①结论正确， ∵，， ∴，故②结论错误； 如图： ∵在正方形 中， ∴， ∴， ∴、 、 、 、在以 为直径的圆上， ∵， ∴，故结论③正确； 如图：过点作，交 于 ， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴，（负根已舍去） ∵， ∴， ∴．故结论④正确； 综上所述：①③④结论正确， 故答案为：①③④． 三、解答题（共9小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、算术平方根、负整数次幂等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先根据乘方、算术平方根、绝对值、负整数次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，点 在的边 上，，请从以下三个选项中①；②；③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． （1）你添加的条件是_________（填序号）； （2）添加条件后，请证明为矩形． 【答案】（1）答案不唯一，①或② （2） 添加条件①，为矩形，理由如下： 在中，， 在和中， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为矩形； 添加条件②，为矩形，理由如下： 在中，， 在和中， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为矩形 【解析】 【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行选取； （2）通过证明可得，然后结合平行线的性质求得，从而得出为矩形． 【小问1详解】 解：①或② 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查矩形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质和矩形的判定方法（有一个角是直角的平行四边形是矩形）是解题关键． 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内， 的三个顶点坐标分别为． （1）画出 关于原点对称图形，并写出点的坐标； （2）画出 绕点O逆时针旋转后的，并写山点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点B经过的路径长度（结果保留） 【答案】（1）图见详解， （2）图见详解， （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出即可；关于原点对称点的坐标横坐标，互为相反数； （2）根据网格结构找出点、 、 以点为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可； （3）利用 旋转时B经过的路径长度利用弧长公式即可求出． 【小问1详解】 如图所示，坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 如图所示． 如图所示，坐标为， 【小问3详解】 ， ∴B经过的路径长度：． 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 19. 为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图． 根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次参加比赛的学生人数是_________名； （2）把条形统计图补充完整； （3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角 的度数； （4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】（1）80； （2）补充条形统计图如下： （3）72º； （4） 【解析】 【分析】（1）根据题目中已知B的占比和人数已知，可求出总人数； （2）用总人数减去其他人数可求出D的人数，然后补全条图即可； （3）先算出A的占比，再用占比乘以360°即可； （4）根据列表法进行求解即可； 【详解】（1）由题可知：（人）， ∴参加学生的人数是80人； （2）由（1）可得：D的人数为， 图略； （3）由（1）可得，A的占比是， ∴． （4）列表如下： C男 C女1 C女2 E男1 （C男，E男1） （C女1，E男1） （C女2，E男1） E男2 （C男，E男2） （C女1，E男2） （C女2，E男2） E女 （C男，E女） （C女1，E女） （C女2，E女） 得到所有等可能的情况有9种， 其中满足条件的有5种：（C女1，E男1），（C女2，E男1），（C女1，E男2），C女2，E男2），（C男，E女） 所以所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率是． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的结合，在解题过程中准确理解题意，列表格求概率是关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与 轴交于点，与 轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出 的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由直线与 轴交于点，与 轴交于点，求出直线表达式，再将代入即可得到答案； （2）当时，求 的取值范围就是确定直线在反比例函数图象上方部分对应的 的取值范围，求出直线与双曲线的交点是和，数形结合即可得到答案． 【小问1详解】 解： 直线与 轴交于点，与 轴交于点， ，解得， 直线， 在直线上， ，则， 直线与反比例函数在第四象限内的图象交于点， ，则反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，求 的取值范围就是确定直线在反比例函数图象上方部分对应的 的取值范围，如图所示： 联立得，则， 解得或 ， 直线与双曲线的交点是和， 由图可知当时， 的取值范围是或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定一次函数表达式、待定系数法确定反比例函数表达式、求直线与反比例函数交点、利用函数图象解不等式等知识，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解决问题的关键． 21. 如图， 为 的直径，过圆上一点作 的切线交的延长线于点 ，过点作，交于点，连接． （1）求证：直线与 相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）6 【解析】 【分析】（1）如图，连接，由与 相切于点，可得，由，可得，由，可得，则，证明，则，进而结论得证； （2）设的半径为，则，由勾股定理得，，即，可求，则，，由（1）知，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵与 相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是 的半径， ∴直线与 相切； 【小问2详解】 解：设的半径为，则， 由勾股定理得，，即， 解得， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的长为6． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 22. 武汉商场购进一种商品，每件的成本为80元；前期预售期间定价为120元时，每周可卖出600件；后期经过市场调研发现：若每降价1元，可多卖30件，若每涨价1元，则少卖出10件． （1）该商品前期预售期间每周获得利润是多少元？ （2）商场经理决定根据后期调研情况进行调价，如何定价使每周的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）24000元 （2）定价为110元时，才能使每周的销售利润最大；最大利润是27000元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）用定价减去成本的结果乘以销量即可； （2）根据二次函数的性质分别求出涨价、降价后的最大利润，比较后即可作答． 【小问1详解】 解：商品前期预售期间每周获得利润：（元）； 【小问2详解】 解：设涨价x元，则销量为，利润为， ∵， ∴， 依题意得： ∵，， ∴当 时，有最大值， 设降价y元，则销量为，利润为， ∵， ∴， 依题意得： ∵， ∴当时，有最大值， 又∵ ∴当降价10元，即定价为110元时，才能使每周的销售利润最大， 最大利润是27000元． 23. 平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． （1）探究发现：如图1，P是等边 内一点，．求的度数． 解：将绕点A旋转到的位置，连接，则是 三角形． ∵， ∴ ∴为 三角形． ∴的度数为 ． （2）类比延伸：如图2，在正方形 内部有一点P．连接，若，求的长； （3）拓展迁移：如图3，若点P是正方形 外一点 ，求的度数． 【答案】（1）等边，直角，150度 （2）6 （3）45度 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，得到是等边三角形，勾股定理逆定理，得到为直角三角形，进一步求解即可； （2）把绕点B顺时针旋转90°得到，旋转的性质，推出是等腰直角三角形，求出，再利用勾股定理进行求解即可； （3）将绕点B逆时针旋转90°，得到，连接，得到，利用勾股定理及其逆定理，得到是直角三角形，且，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：将绕点A旋转到的位置，连接，则是等边三角形． ∵， ∴， ∴为直角三角形． ∴的度数为． 故答案为：等边，直角，150度； 【小问2详解】 如图1，把绕点B顺时针旋转90°得到， 则， ∵旋转角是， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，； 【小问3详解】 将绕点B逆时针旋转90°，得到，连接， ∴， ∴， 在中，， ∴，根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键是通过旋转，构造特殊图形． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值； （3）如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）直接由待定系数法即可求解； （2）先联立抛物线与直线求出交点的坐标，再求出对称轴，则得到点 的坐标表示，再由两点间距离公式建立方程求解即可； （3）顶点，设，由旋转得，当时，过点作 轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，证明，表示出，将点代入，得，解方程即可；当时，作出同样的辅助线，同理可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：联立， 解得：， ∴， ∵， ∴对称轴为直线，顶点为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； 【小问3详解】 解：由（2）得顶点，设， 由旋转得， 当时， 过点作 轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得：， 解得：， ∴或； 当时，过点作 轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得：， 解得：， 或， 综上所述：所有符合条件的点P的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，两点间距离公式等知识点，难度较大，解题的关键在于构造“三垂直”全等模型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋初中期末教学质量检测九年级数学试题 （时间：120分钟 卷面：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ） A. a B. b C. c D. d 2. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当 时，的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是方程的两根，则的值为（ ） A. 5 B. 10 C. 13 D. 14 6. 二次函数y=2（x-1）2-2的图象是由二次函数y=2x2的图象平移得到的，下列平移方法正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 7. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 8. 如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（　　） A. 48° B. 96° C. 114° D. 132° 9. 一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的一次项系数为______． 12. 我国传统的二十四节气概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为___________． 13. 若一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的圆心角为 ，则圆锥的母线长是______． 14. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中 是铅球离初始位置的水平距离， 是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 15. 如图， 为正方形 的对角线， 平分，交 于点 ，把绕点 逆时针方向旋转90°得到，延长 交于点 ，连接，交 于点 ．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是________．（填写序号） 三、解答题（共9小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 17. 如图，点 在的边 上，，请从以下三个选项中①；②；③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． （1）你添加的条件是_________（填序号）； （2）添加条件后，请证明为矩形． 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内， 的三个顶点坐标分别为． （1）画出 关于原点对称图形，并写出点的坐标； （2）画出 绕点O逆时针旋转后的，并写山点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点B经过的路径长度（结果保留） 19. 为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图． 根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次参加比赛的学生人数是_________名； （2）把条形统计图补充完整； （3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角的度数； （4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点，与 轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出 的取值范围． 21. 如图， 为的直径，过圆上一点 作的切线 交的延长线于点 ，过点 作，交 于点 ，连接． （1）求证：直线与相切； （2）若，求的长． 22. 武汉商场购进一种商品，每件的成本为80元；前期预售期间定价为120元时，每周可卖出600件；后期经过市场调研发现：若每降价1元，可多卖30件，若每涨价1元，则少卖出10件． （1）该商品前期预售期间每周获得利润是多少元？ （2）商场经理决定根据后期调研情况进行调价，如何定价使每周的销售利润最大？最大利润是多少？ 23. 平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． （1）探究发现：如图1，P是等边 内一点，．求的度数． 解：将绕点A旋转到的位置，连接，则是 三角形． ∵， ∴ ∴为 三角形． ∴的度数为 ． （2）类比延伸：如图2，在正方形 内部有一点P．连接，若，求的长； （3）拓展迁移：如图3，若点P是正方形 外一点 ，求的度数． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值； （3）如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $