精品解析：陕西省渭南市临渭区2025-2026学年度高二第一学期期末教学质量检测数学试题

2025~2026学年度第一学期期末教学质量调研 高二数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】因为随机变量，且， 则. 故选：B. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线的标准方程，确定，根据直线方程，即可求解. 【详解】因为，所以抛物线方程为，， 因为抛物线准线方程为，所以抛物线准线方程为. 故选：D 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解. 【详解】的二项展开式为， 令，解得， 故所求即为. 故选：A 4. 现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A. 120 B. 60 C. 30 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【详解】不妨记五名志愿者为， 假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法， 同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种. 故选：B. 5. 若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数（ ） A. -1 B. 2 C. -l或2 D. -2或l 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用分类讨论思想，结合平行直线的性质以及距离公式，可得答案. 【详解】①当时，可得，，由，则此时不符合题意； ②当时，可得直线的斜率，直线的斜率， 由，整理可得，则，解得或， 当时，可得，，整理的方程可得， 由两平行直线之间的距离，所以此时不符合题意； 当时，可得，，整理的方程可得， 由两平行直线之间距离，所以此时符合题意. 综上可得. 故选：A. 6. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，然后由勾股定理求解. 【详解】圆的圆心为，半径为3，则圆心到直线的距离为，则直线被圆截得的弦长为． 故选：B. 7. 若直线与曲线至少有一个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设可得直线恒过定点，曲线表示以为圆心，1为半径的圆的右半部分，进而结合图象及直线与圆的位置关系求解即可. 【详解】由直线，恒过定点， 曲线，即， 该曲线表示以为圆心，1为半径的圆的右半部分，如图， 当直线与该半圆相切时，，且，解得； 当直线过点时，有，解得， 结合图象可知，要使直线与该半圆至少有一个公共点， 则，即实数的取值范围是. 故选：B 8. 已知点F是双曲的右焦点，O是坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点A，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式求出双曲线焦点到渐近线的距离为，再结合的面积可求的值，即可求出双曲线的离心率. 【详解】如图： 由题有，由双曲线性质有，，所以. 所以，所以. 又双曲线方程，则，， 所以，则双曲线离心率. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，直线，则（ ） A. 直线可以与轴平行 B. 直线可以与轴平行 C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据两直线平行和垂直时的系数关系逐个选项计算判断即可. 【详解】当时，直线：，此时直线与轴平行，故A项正确； 当时，直线：，此时直线与轴平行，故B项正确； 若，则，解得，此时直线与重合，故C项错误； 若，则，解得，故D正确. 故选：ABD. 10. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC. 11. 已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则（      ） A. 直线与所成角的取值范围是 B. 三棱锥的体积为定值 C. D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由，根据在线段的位置，即可确定异面直线与所成角的范围可判断A；利用等体积法可判断B；由数量积的定义可判断C；将旋转到平面内，如图所述，旋转到，由余弦定理可判断D. 【详解】对于A，由，异面直线与所成角即为与所成角， 又为等边三角形，当与线段的两端点重合时，与所成角取最小值， 当与线段的中点重合时，与所成角取最大值， 故与所成角的范围，故A正确. 对于B，因为，平面，平面， 所以平面，所以直线上任意一点到平面的距离相等， 所以点到平面的距离等于点到平面， 所以，故B错误； 对于C，， 设， 所以， 当时，有最小值为；当或时，有最大值为； 故，所以，所以， 则，故C正确； 对于D，将旋转到平面内，如图所述，旋转到， 且最小值为：，故D错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法： （1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； （2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； （3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种. 【答案】 【解析】 【分析】由排列组合中的捆绑法和插空法计算. 【详解】利用捆绑法可得，丙和丁相邻的排法有种， 然后将乙、戊和丙、丁4人进行排列，排法有种， 因为甲不站在两端，且乙、戊和丙、丁排完会形成2个空位， 利用插空法排列甲，排法有种， 所以不同的排列方法有种. 故答案为： 13. 已知空间向量，，若向量与垂直，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】先求出与的坐标，再由垂直得到，求解. 【详解】因为，， 所以，， 又因为向量与垂直， 所以， 解得. 故答案为：5. 14. 已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是_______________． 【答案】2 【解析】 【分析】依题意有直线过圆心，得到，再利用重要不等式求的最小值. 【详解】圆上存在两点关于直线对称，所以直线过圆心，有，即. ，当且仅当，即时等号成立. ∴，即，所以时，的最小值为2. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明或演算步骤. 15. 已知直线：，圆：. （1）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； （2）若直线的倾斜角为45°，求直线被圆截得的弦长. 【答案】（1）证明见解析，. （2）. 【解析】 【分析】对于（1），将化为即可得答案； 对于（2），由（1）结合题意可得l方程，求得l到圆C圆心距离，结合圆半径可得答案. 【小问1详解】 ：， 联立 解得 故直线恒过定点. 【小问2详解】 由题意直线的斜率，得， ∴： 圆：，圆心，半径， 圆心到直线的距离 所以直线被圆所截得的弦长为. 16. 为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表： 药物 疾病 总计 未患病 患病 未服用 100 80 s 服用 150 70 220 总计 250 t 400 （1）求s，t； （2）记未服用药物的动物患疾病的概率为，给出的估计值； （3）能否有99%的把握判断药物对预防疾病有效？ 附：. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）， （2） （3）的把握认为药物A对预防疾病B有效 【解析】 【分析】（1）根据列联表求和即可； （2）用频率估计概率，计算即可； （3）根据公式计算，然后根据临界值表分析判断即可. 【小问1详解】 由列联表知，． 【小问2详解】 由列联表知，未服用药物A的动物有180只，未服用药物A且患疾病B的动物有80只， 所以未服用药物A的动物患疾病B的频率为， 所以未服用药物A的动物患疾病B的概率的估计值为． 【小问3详解】 零假设为：药物对预防疾病无 效， 由列联表得到， 所以有的把握认为药物A对预防疾病B有效． 17. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，分别为的中点． （1）求证：//平面； （2）再从条件（1）、条件（2）这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的平面角的余弦值． 条件①：平面； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明线面平行，再利用面面平行的判定可证结论； （2）无论选择哪个条件都能得到侧棱与底面垂直，然后利用空间向量可求答案或者找出二面角的平面角，利用三角形知识求解. 【小问1详解】 取的中点为，连接， ∵三棱柱，∴四边形为平行四边形， ∵， ∴． 又平面平面， ∴平面． ∵分别为中点， ∴． 又平面平面， ∴平面． ∵平面， ∴平面平面． 又平面， ∴平面． 【小问2详解】 选条件① ∵平面，∴． 又∵侧面为正方形，∴． ∵，∴平面． 选条件② ∵在中，，∴． ∴． 又∵侧面为正方形，∴． ∵，∴平面． 解法一：如图建立空间直角坐标系， ； ； 设平面的法向量为， 令得，即． , 设平面的法向量为， ， 令得，即平面的法向量为． ∴． 即二面角的平面角的余弦值为． 解法二：过点作交于点， 过点作交于点，连结， ∵平面，∴． ∵，，，∴平面． 又平面，∴． ∵，∴平面． ∴．∴即为所求角． 在直角三角形中，，∴，； 在正方形中，，∴； 在中，由等面积可得， ∴， ∴． 即二面角的平面角的余弦值为． 18. 中央政治局会议指出，要强化科技创新和产业链供应链韧性，加强基础研究，推动应用研究，开展补链强链专项行动；加快解决“卡脖子”难题．某科研院所成立攻关研究小组，准备攻克一个“卡脖子”难题，研究分两个阶段，第一阶段研究三个基础问题，第二阶段研究三个应用问题．若该攻关研究小组第一阶段内能解决这三个问题中的至少两个，就可以进入第二阶段，研究应用性问题，否则该攻关研究小组解散．假设每个基础问题，该小组在第一阶段内解决的概率均为0.5，若该攻关研究小组进入了第二阶段，每个应用问题，该攻关研究小组能解决的概率均为0.4（假设各个阶段的每个问题均相互独立）． （1）求该攻关研究小组能进入第二阶段研究的概率； （2）在该攻关研究小组进入了第二阶段研究的前提下，记该攻关研究小组解决应用问题的个数为X，求随机变量X的分布列和期望； （3）第一阶段，该攻关研究小组能获得1（单位：亿元）启动经费，第二阶段，每解决一个应用问题，该攻关研究小组能获得5（单位：亿元）费用．记该攻关研究小组在这两阶段获得的总费用和为Y（单位：亿元）．求随机变量Y的期望值． 【答案】（1）0.5 （2）分布列见解析，1.2 （3）4 【解析】 【分析】（1）根据该攻关小组在第一阶段解决2或3个问题求概率. （2）明确的分布类型为二项分布，可求其分布列和期望. （3）根据变量之间的关系求随机变量Y的期望. 【小问1详解】 该攻关研究小组能进入第二阶段研究的概率为： 【小问2详解】 因为， 所以，（）， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 其数学期望． 小问3详解】 记进入第二阶段前提下，获得费用数为随机变量（单位：亿元），则， 所以（单位：亿元）． 所以． 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，为椭圆的一个顶点，且右焦点到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线：与椭圆交于，两点. ①若直线过椭圆的右焦点，且的面积为，求实数的值； ②若直线过定点，且，在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求解椭圆参数即可； （2）①把直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出面积等式，最后求解k的值； ②把菱形问题转化为对角线互相垂直问题，最后转化为两对角线的斜率之积为，通过这个等式转化为的函数，即可求解取值范围. 【小问1详解】 椭圆C 的右焦点到直线的距离为， 可得： 因为， 所以解得， 由椭圆的一个顶点为，可得， 所以由 ，即椭圆C标准方程为 ； 【小问2详解】 ①直线：过椭圆右焦点 可得：， 即， 所以由直线与椭圆C的标准方程 联立方程组， 消去y得：， 方程的判别式， 设两交点，则有 ， 又椭圆左焦点到直线的距离为 所以 解得： 或 (舍去)，即 ； ②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形，由于直线过定点， 且， 可知直线方程为，与椭圆 联立方程组， 消去y得：，由 ，且， 解得 ， 设两交点， AB中点，则有 ， 所以 ， 即，  整理得 ， 又因为 ， 所以 ， 当且仅当时，，所以， 则 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末教学质量调研 高二数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C D. 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 4. 现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A. 120 B. 60 C. 30 D. 20 5. 若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数（ ） A. -1 B. 2 C. -l或2 D. -2或l 6. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线至少有一个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点F是双曲的右焦点，O是坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点A，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，直线，则（ ） A. 直线可以与轴平行 B. 直线可以与轴平行 C. 当时， D. 当时， 10. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 11. 已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则（      ） A. 直线与所成角的取值范围是 B. 三棱锥的体积为定值 C. D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种. 13. 已知空间向量，，若向量与垂直，则______. 14. 已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是_______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明或演算步骤. 15. 已知直线：，圆：. （1）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； （2）若直线的倾斜角为45°，求直线被圆截得的弦长. 16. 为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表： 药物 疾病 总计 未患病 患病 未服用 100 80 s 服用 150 70 220 总计 250 t 400 （1）求s，t； （2）记未服用药物的动物患疾病的概率为，给出的估计值； （3）能否有99%把握判断药物对预防疾病有效？ 附： 0010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，分别为的中点． （1）求证：//平面； （2）再从条件（1）、条件（2）这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的平面角的余弦值． 条件①：平面； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 18. 中央政治局会议指出，要强化科技创新和产业链供应链韧性，加强基础研究，推动应用研究，开展补链强链专项行动；加快解决“卡脖子”难题．某科研院所成立攻关研究小组，准备攻克一个“卡脖子”难题，研究分两个阶段，第一阶段研究三个基础问题，第二阶段研究三个应用问题．若该攻关研究小组第一阶段内能解决这三个问题中的至少两个，就可以进入第二阶段，研究应用性问题，否则该攻关研究小组解散．假设每个基础问题，该小组在第一阶段内解决的概率均为0.5，若该攻关研究小组进入了第二阶段，每个应用问题，该攻关研究小组能解决的概率均为0.4（假设各个阶段的每个问题均相互独立）． （1）求该攻关研究小组能进入第二阶段研究的概率； （2）在该攻关研究小组进入了第二阶段研究的前提下，记该攻关研究小组解决应用问题的个数为X，求随机变量X的分布列和期望； （3）第一阶段，该攻关研究小组能获得1（单位：亿元）启动经费，第二阶段，每解决一个应用问题，该攻关研究小组能获得5（单位：亿元）费用．记该攻关研究小组在这两阶段获得的总费用和为Y（单位：亿元）．求随机变量Y的期望值． 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，为椭圆的一个顶点，且右焦点到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线：与椭圆交于，两点. ①若直线过椭圆的右焦点，且的面积为，求实数的值； ②若直线过定点，且，在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $