精品解析：湖南永州市2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

永州市2025年下期期未质量检测 九年级数学（试题卷） （时量：120分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知则下列变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的根的情况是（ ） A. 两个不相等的实数根 B. 两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定实根的个数 4. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，若点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 9 6. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 7. 如图，点P是的边上一点，下列条件不一定保证的是（ ） A. B. C. D. 8. 如果△ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是（ ） A. △ABC是直角三角形 B. △ABC是等腰三角形 C. △ABC是等腰直角三角形 D. △ABC是锐角三角形 9. 为了比较甲乙两种水稻秧苗谁出苗更整齐，每种秧苗各随机抽取50株，分别量出长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙的方差分别是3.5、10.9，则下列说法正确的是（ ） A. 甲秧苗出苗更整齐 B. 乙秧苗出苗更整齐 C. 甲、乙出苗一样整齐 D. 无法确定甲、乙出苗谁更整齐 10. 如图，在矩形ABCD中，AB=10， BC=5 ．若点M、N分别是线段ACAB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一根为________． 12. 已知点P是线段的黄金分割点，．若，则_____． 13. 如果将一元二次方程化为的形式，则的值为______． 14. 若点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是_________． （用“<”连接） 15. 在中，，则______ 16. 如图，点为双曲线在第二象限内的动点，的延长线与双曲线的另一个交点为，以为边的矩形满足，对角线，交于点，则过点的反比例函数表达式为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 17. （1）计算： （2）解方程：． 18. 已知：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当为最大正整数时，求方程的根． 19. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 祁阳籍门将号唐嘉年，湘超最佳守门员，永州队夺冠的“定海神针”，兼具现代门将能力+大赛心脏+励志底色，是草根逆袭的标杆．如图，球迷小明在球场边的点看比赛，测得球场内门将唐嘉年在他的北偏东方向的点处；小明以米／秒的速度向东走了秒到达点，此时门将唐嘉年在他的北偏东方向的点处．请问小明继续向东走多少米后，与球员唐嘉年所在点处的距离最近？ 21. 为深入开展中小学生防溺水教育工作，增强中小学生安全意识，某校联合校安办组织开展了“2022年新化县中小学生防溺水知识竞赛”活动，并随机抽查了部分同学的成绩，整理并制作成图表如下： 分数段 频数 频率 30 0.1 90 0.4 60 0.2 根据以上图表提供的信息，回答下列问题： （1）抽查的总人数为__________人，__________； （2）请补全频数分布直方图； （3）若成绩在80分以上（包括80分）为“优秀”，请你估计该校2400名学生中竞赛成绩是“优秀”的有多少名? 22. 在2025年湘超联赛中，永州队从被戏称为“告花子球队”的草根之师，逆袭成为湘超冠军，其夺冠之路不仅书写了体育竞技的热血传奇，更蕴含着超越赛场的深刻启示．湘超联赛显著带动了经济发展，形成“赛事引流—消费转化—就业扩容—文旅升级”的良性闭环，成为区域经济发展新引擎．某商家销售的一款蓝色“永冲锋”冲锋服，深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款蓝色“永冲锋”冲锋服，以每件68元的价格出售，经统计，2025年10月份的销售量为256件，2025年12月份的销售量为400件． （1）求该款蓝色“永冲锋”冲锋服2025年10月份到12月份销售量的月平均增长率． （2）从2026年的元月份起，商家决定采用降价促销的方式庆祝永州队夺冠，经试验，发现该款蓝色“永冲锋”冲锋服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款蓝色“永冲锋”冲锋服降价多少元时，月销售利润达8400元？ 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出时的取值范围； （3）点在轴上，且满足的面积等于4，请求点的坐标． 24. 根据已知图形解答下列问题． （1）问题发现 如图1，A、B、C、D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上，仓库P和Q分别位于AD和DC上，且两条直路BP⊥AQ．试判断的BP与AQ数量关系．并说明理由． （2）类比探究 如图2，在矩形ABCD中，AB=6，AD=9．点P在边AD上，连接BP，过点A作AQ⊥BP于点M，交射线DC于点Q．求的值． （3）拓展延伸 如图3，在三角形ABD中，∠BAD=90°，AB=6，AD=9，P是AD边上一动点，Q是BD边上一动点，且=，当BP⊥AQ时，AP= ． 　 　 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永州市2025年下期期未质量检测 九年级数学（试题卷） （时量：120分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数且未知数的最高次数为2）判断各选项即可． 【详解】解：一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程， A、含有两个未知数x和y，不符合①，故不是一元二次方程； B、含参数a，若则不是二次方程，因此不一定是一元二次方程； C、未知数的最高次数为1，不符合②； D、只含未知数x，且最高次数为2，符合定义； 故选：D． 2. 已知则下列变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解： ∴ A. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，不符合题意； C. ，则，故该选项正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了比例的性质，能正确运用比例的性质进行变形是解此题的关键，如果ab=cd，那么，反之亦然． 3. 方程的根的情况是（ ） A. 两个不相等的实数根 B. 两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定实根的个数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式公式，求该方程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 即该方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 4. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，若点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性，可得A、B关于原点中心对称，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于A、B两点， ∴A、B关于原点中心对称， ∵点A的坐标是， ∴点B的坐标是． 故选C． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握正比例函数与反比例函数图象的中心对称性，是解题的关键． 5. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 6. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握边角之间的关系是解题关键． 直接利用勾股定理求出的长，再利用锐角三角函数关系得出答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，点P是的边上一点，下列条件不一定保证的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握“两个角对应相等的两个三角形相似；两条边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”． 【详解】解：A． ，， 根据两个角对应相等的两个三角形相似，可以得出，故A项不符合题意； B．，， 根据两个角对应相等的两个三角形相似，可以得出，故B项不符合题意； C．，， 根据两条边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可以得出，故C项不符合题意； D．由，，不能判定，故D选项符合题意． 故选：D． 8. 如果△ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是（ ） A. △ABC是直角三角形 B. △ABC是等腰三角形 C. △ABC是等腰直角三角形 D. △ABC是锐角三角形 【答案】C 【解析】 【详解】∵sinA=cosB=， ∴∠A=∠B=45°， ∴△ABC是等腰直角三角形． 故选：C． 9. 为了比较甲乙两种水稻秧苗谁出苗更整齐，每种秧苗各随机抽取50株，分别量出长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙的方差分别是3.5、10.9，则下列说法正确的是（ ） A. 甲秧苗出苗更整齐 B. 乙秧苗出苗更整齐 C. 甲、乙出苗一样整齐 D. 无法确定甲、乙出苗谁更整齐 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵3.5＜10.9， ∴甲秧苗出苗更整齐． 故选A． 10. 如图，在矩形ABCD中，AB=10， BC=5 ．若点M、N分别是线段ACAB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EF垂直AB交AB于F点，EF就是所求的线段． 【详解】解：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EF垂直AB交AB于F点， AC=5， AC边上的高为2，所以BE=4． ∵△ABC∽△EFB， ∴，即 EF=8． 故选B． 考点：轴对称-最短路线问题． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一根为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，以及根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 利用一元二次方程根与系数的关系，已知一个根，通过两根之积求解另一个根即可． 【详解】解：设另一根为，则根据根与系数的关系，有， 解得 故答案为：1． 12. 已知点P是线段的黄金分割点，．若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点的定义，根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，，， 则． 故答案为：． 13. 如果将一元二次方程化为的形式，则的值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】先把常数项移到方程右侧，两边加上，利用完全平方公式得到，从而得到，，然后计算即可． 【详解】解：， ， ， 所以，， 所以． 故答案为． 【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，掌握配方法是解题关键． 14. 若点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是_________． （用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】先根据反比例函数中k>0，判断函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中，k0， ∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小． ∵0＜2＜3， ∴点，位于第一象限， ∴0＜y3＜y2， ∵-1＜0， ∴点位于第三象限， ∴y1<0， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 15. 在中，，则______ 【答案】5或11 【解析】 【分析】本题考查了正切函数型的解三角形，勾股定理，根据题意分是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，利用正切的定义和勾股定理求解即可． 【详解】当是锐角三角形时， 如图，过点B作于点D， ∵， ∴ 设，则， ∴， 解得（舍去）， ∴， 当是钝角三角形时， 如图，过点B作，交的延长线于点E， ∵， ∴ 设，则， ∴， 解得（舍去）， 故答案为：5或11． 16. 如图，点为双曲线在第二象限内的动点，的延长线与双曲线的另一个交点为，以为边的矩形满足，对角线，交于点，则过点的反比例函数表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，证明，然后利用相似三角形的性质分析求解． 【详解】解：连接，分别过点、作轴的垂线，垂足为、， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， 是的中位线， ∴， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵点为双曲线在第二象限上的动点，， ∴， 设过点的反比例函数表达式为：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义、相似三角形判定与性质和矩形的性质，恰当的构建相似三角形，利用面积比是相似比的平方是解题关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 17. （1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1）（2）， 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，一元二次方程的解法，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． （1）代入特殊角的三角函数值，再按实数混合运算顺序计算得出结果； （2）移项后提取公因式，将方程转化为因式乘积形式，进而求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， ， ， 可知或， 解得，． 18. 已知：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当为最大正整数时，求方程的根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到，进行求解即可； （2）根据（1）的结论，求出最大正整数的值，代入方程，再解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴最大正整数的值为2， ∴方程化为：， 即， ∴． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，解一元二次方程，解题关键是熟练掌握根与判别式关系． 19. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：， ，即， 在和中，， ； （2）9． 【解析】 【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可得． 【详解】证明：（1）略 （2）由（1）已证：， ， ，， ， 解得或（不符题意，舍去）， 则的长为9． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 20. 祁阳籍门将号唐嘉年，湘超最佳守门员，永州队夺冠的“定海神针”，兼具现代门将能力+大赛心脏+励志底色，是草根逆袭的标杆．如图，球迷小明在球场边的点看比赛，测得球场内门将唐嘉年在他的北偏东方向的点处；小明以米／秒的速度向东走了秒到达点，此时门将唐嘉年在他的北偏东方向的点处．请问小明继续向东走多少米后，与球员唐嘉年所在点处的距离最近？ 【答案】向东走米 【解析】 【分析】本题考查方位角的概念，等腰三角形的判定，点到直线的最短距离，转化方位角为三角形内角是解题关键． 先根据方位角确定三角形的角度关系，推导出等腰三角形并求出边长，再利用垂线段最短的性质，结合直角三角形的边角关系算出需要继续行走的距离． 【详解】解：如图，过点作于， 根据题意得，， ， ， （米）， （米）， 在直角三角形中，，， （米）． 答：向东走米． 21. 为深入开展中小学生防溺水教育工作，增强中小学生安全意识，某校联合校安办组织开展了“2022年新化县中小学生防溺水知识竞赛”活动，并随机抽查了部分同学的成绩，整理并制作成图表如下： 分数段 频数 频率 30 0.1 90 0.4 60 0.2 根据以上图表提供的信息，回答下列问题： （1）抽查的总人数为__________人，__________； （2）请补全频数分布直方图； （3）若成绩在80分以上（包括80分）为“优秀”，请你估计该校2400名学生中竞赛成绩是“优秀”的有多少名? 【答案】（1）300，0.3 （2） 频数分布直方图如图： （3）1440 【解析】 【分析】（1）用第一组的频数除以频率求出样本容量，用第二组的频数除以样本容量即可求出n的值； （2）求出80≤x＜90的频数，即可把直方图补充完整； （3）利用样本估计总体的思想解决问题即可． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量为30÷0.1=300， 则m=300×0.4=120， n=90÷300=0.3， 故答案为：300，0.3； 【小问2详解】 80≤x＜90的频数为300×0.4=120（人）． 【小问3详解】 2400×（0.4+0.2）=1440（名）． 答：估计该校2400名学生中竞赛成绩是“优秀”的有1440名． 【点睛】本题考查了频率分布直方图、频率分布表，关键是读懂频数分布直方图和统计表，能获取有关信息，利用统计图获取信息是解题的关键． 22. 在2025年湘超联赛中，永州队从被戏称为“告花子球队”的草根之师，逆袭成为湘超冠军，其夺冠之路不仅书写了体育竞技的热血传奇，更蕴含着超越赛场的深刻启示．湘超联赛显著带动了经济发展，形成“赛事引流—消费转化—就业扩容—文旅升级”的良性闭环，成为区域经济发展新引擎．某商家销售的一款蓝色“永冲锋”冲锋服，深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款蓝色“永冲锋”冲锋服，以每件68元的价格出售，经统计，2025年10月份的销售量为256件，2025年12月份的销售量为400件． （1）求该款蓝色“永冲锋”冲锋服2025年10月份到12月份销售量的月平均增长率． （2）从2026年的元月份起，商家决定采用降价促销的方式庆祝永州队夺冠，经试验，发现该款蓝色“永冲锋”冲锋服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款蓝色“永冲锋”冲锋服降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1） （2）降价8元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系建立方程． （1）设该款蓝色“永冲锋”冲锋服2025年10月份到12月份销售量的月平均增长率为，然后根据增长率计算公式建立方程求解； （2）设该款蓝色“永冲锋”冲锋服降价元，则每件的利润为元，月销售量为件，再根据利润公式建立方程求解． 【小问1详解】 解：设该款蓝色“永冲锋”冲锋服2025年10月份到12月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款蓝色“永冲锋”冲锋服2025年10月份到12月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该款蓝色“永冲锋”冲锋服降价元，则每件的利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当该款蓝色“永冲锋”冲锋服降价8元时，月销售利润达8400元． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出时的取值范围； （3）点在轴上，且满足的面积等于4，请求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握三角形的面积的求法，以及反比例函数的图像与性质是解决本题的关键． （1）待定系数法，求解析式即可； （2）根据图像求解即可； （3）先求出直线与x轴的交点P的坐标，再根据，列方程求出的长，进一步求出点P坐标． 【小问1详解】 解：由题意可得： 点在反比例函数图象上， ，则， 反比例函数的解析式为， 将代入， 得：，即， 将，代入一次函数解析式中，得 ， 解得：， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 由图可得：当或时，； 【小问3详解】 点在轴上， 设点的坐标为， 一次函数解析式为，令，则， 直线与轴交于点， 由的面积为4，可得： ，即， 解得：或， 点的坐标为或． 24. 根据已知图形解答下列问题． （1）问题发现 如图1，A、B、C、D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上，仓库P和Q分别位于AD和DC上，且两条直路BP⊥AQ．试判断的BP与AQ数量关系．并说明理由． （2）类比探究 如图2，在矩形ABCD中，AB=6，AD=9．点P在边AD上，连接BP，过点A作AQ⊥BP于点M，交射线DC于点Q．求的值． （3）拓展延伸 如图3，在三角形ABD中，∠BAD=90°，AB=6，AD=9，P是AD边上一动点，Q是BD边上一动点，且=，当BP⊥AQ时，AP= ． 　 　 【答案】 （1）结论：AQ=BP． 理由：如图1中，设AQ交BP于O． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D=∠BAP=90°，AD=AB， ∴∠DAQ+∠AQD=90°， ∵AQ⊥BP，∴∠AOP=90°， ∴∠DAQ+∠APB=90°， ∴∠AQD=∠APB， ∴△ADQ≌△BAP（AAS）， ∴AQ=BP． （2）；（3）5 【解析】 【分析】（1）结论：AQ＝BP．如图1中，设AQ交BP于O．证明△ADQ≌△BAP（AAS）可得结论， （2）证明△ADQ∽△BAP，推出===即可， （3）如图3中，由题意可以假设PA＝3k，DQ＝k，QH＝y，AH＝x．利用相似三角形的性质，平行线分线段成比例定理构建方程解决问题即可． 【详解】解：（1） 略 （2）如图2中， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=∠BAP=90°， ∴∠DAQ+∠AQD=90°， ∵AQ⊥BP， ∴∠AMP=90°， ∴∠DAQ+∠APB=90°， ∴∠AQD=∠APB， ∴△ADQ∽△BAP， ∴===． （3）如图3中，由题意可以假设PA=3k，DQ=k，QH=y，AH=x． 由（2）①可知：△AHQ∽△BAP， ∴=， ∴=， ∴x=， ∵QHAB， ∴==， ∵BD==3，DH=9-x， ∴==， ∴ y=2k ， ∴k=， ∴PA=3k=5． 故答案为5． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $