精品解析：浙江衢州市2025学年第一学期期末考试九年级 数学试题卷

2025学年第一学期期末考试九年级 数学试题卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟． 2．全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在“答题卷”上作答．卷I的答常必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在“答题卷”的相应位置上． 3．请用黑色字迹钢笔或签字笔在“答题卷”上先填写姓名和准考证号． 卷I 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分） 1. 已知，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，代入即可得出答案． 【详解】解：设，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查比例的性质，正确理解题意是解题的关键． 2. 任意掷一枚质地均匀的骰子，下列情况出现的可能性最小的是（ ） A. 面朝上的点数是3的倍数 B. 面朝上的点数小于2 C. 面朝上的点数大于3 D. 面朝上的点数是奇数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求概率，根据概率比较可能性的大小． 计算每个事件发生的概率，比较大小即可． 【详解】解：骰子有6个面，每个面朝上的概率均为， 对于A：点数是3的倍数有2个结果．3和6，概率为； 对于B：点数小于2有1个结果，即1，概率为； 对于C：点数大于3，有3个结果，4、5、6，概率为； 对于D：点数是奇数，有3个结果，1、3、5，概率为； ∴概率最小的是B， 即出现的可能性最小的是B． 故选：B． 3. 已知的半径为5，若，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．判断圆的半径与的大小即可解答． 【详解】解：圆的半径，点P到O的距离， ∴， ∴点P在内， 故选：A． 4. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移变化，熟练掌握平移的规则：左加右减，上加下减，是解题的关键． 【详解】解：将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为：． 故选：B． 5. 如图，在中，，若，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的定义，勾股定理，根据正弦函数的定义求出边的关系，利用勾股定理求出另一条直角边，最后根据正切函数定义求． 【详解】解：，， 设， ， ． 故选：A． 6. 如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质．根据位似图形的性质解答即可． 【详解】解：∵矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，，点的坐标为， ∴点的坐标为，即． 故选：B 7. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理、角的和差即可求得答案． 本题考查了圆周角定理、角的和差，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 8. 如图，为半圆的直径，四边形内接于半圆．为延长线上一点，切半圆于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，切线的性质定理，三角形内角和定理，等边对等角． 连接，根据切线的性质定理得到，根据得到，进而求出，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵切半圆于点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9. 衢州山茶油生产已有二千多年历史，有“东方黄金液体”的美誉．如图1，在某榨油厂中，榨油师傅会将包好的圆形油饼整齐码入木榨的榨槽中．如图2，圆形油饼紧靠在木榨的榨槽中的，，，四点．已知，，与之间的距离为，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 如图：过圆心O作于M，延长交于N，连接，则，由垂径定理可得，运用勾股定理可得，，再联立求解即可． 【详解】解：如图：过圆心O作于M，延长交于N，连接， ∵， ∴． ∴， 设圆O的半径为r，，则． 在中，； 在中，； 联立，解得：， ∴的半径为． 故选D． 10. 如图1，动点从的顶点出发，沿边以每秒1个单位的速度匀速运动，运动到点时停止．设点运动的时间为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则的面积为（ ） A. 15 B. 16 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，等腰三角形三线合一，勾股定理． 作交于D，作交于E，根据函数图象得到，，，，，，根据等腰三角形三线合一得到，求出，即，根据求出，即，，进而得到，，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵动点从的顶点出发，沿边以每秒1个单位的速度匀速运动，由函数图象可知动点匀速运动到达B， ∴，，， ∴， 如图，作交于D，作交于E， 由垂线段最短结合函数图象可知，当P到达D点时，对应， 即，， ∴，， 由函数图象可知，当时，， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴，， ∴的面积． 故选：C． 卷Ⅱ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. cos30°的值等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用特殊角的三角函数值即可得答案． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 12. 不透明的袋中装有若干个质地均匀的红球和4个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中球的总数约为___________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据频率估计概率，根据概率求总数． 根据频率估计概率可知摸到白球的频率，用白球的数量除以白球的频率即可． 【详解】解：∵摸到白球的频率是， ∴摸到白球的概率是， ∴袋中球的总数约为（个）． 故答案为：． 13. 一本书的宽与长之比为黄金比．已知它的长为，则它的宽为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金比的定义，把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，这样的线段分割叫做黄金分割，其比值叫做黄金比． 根据黄金比为计算即可． 【详解】解：∵它的长为， ∴宽=长． 故答案为：． 14. 如图，边长为1的正六边形内接于，连接，，则阴影部分的面积为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积、正六边形的性质、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是解决此题的关键． 根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵边长为1的正六边形内接于， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 如图：作于G， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 15. 二次函数的部分对应值如下表： 0 1 2 0 0 则，的大小关系为_________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数与x轴交点坐标求对称轴，结合开口方向比较函数值大小． 【详解】解：由表格知：二次函数与x轴交于点和，故图象对称轴为：直线， ∵当时，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴，该函数图象开口向上，函数值在对称轴两侧随距离增大而增大， ∵，，， ∴． 故答案为：． 16. 如图，为矩形的对角线，将绕点逆时针旋转得到，当点落在对角线上时，且，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查图形旋转的性质、相似三角形的判定及性质，过点作的平行线，交于点，设，，，根据图形旋转的性质可知，，，则，，根据，求得，根据，求得，结合，即可求得答案． 【详解】解：过点作的平行线，交于点，设，，． 根据图形旋转的性质可知，，． 则，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为： 三、解答题（本题共有8小题，第17~21小题每小题8分，第22~23小题10分，第24小题12分，共72分，请务必写出解答过程） 17. 如图，在直角坐标系中，点，的坐标为，． （1）画出绕点旋转后所得的图形，并写出点，的坐标． （2）求点所经过的路径长． 【答案】（1） 如图：为所求三角形． ， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是图形的变换—旋转变换、弧长公式、勾股定理等知识点，掌握弧长公式是解题的关键． （1）根据网格结构找出点A、B绕点O顺时针旋转后的对应点的位置，然后顺次连接即可完成作图；再直接确定点，的坐标即可； （2）先用勾股定理求得的长，然后再运用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意可得：， 点所经过的路径长为． 18. 近年来，由胡柚为原料而制作的饮料得到大家的喜爱，其中以柚香谷品牌生产的“宋柚汁”，“双柚乳酸菌”（两种饮料分别记为“A”和“B”），以及艾佳食品生产的“艾柚香胡柚汁”（记为“C”)最受市场欢迎．春节将近，小祝准备给衢江的外婆带点胡柚饮料． （1）若从“宋柚汁”，“双柚乳酸菌”，“艾柚香胡柚汁”中随机选择一种，求是柚香谷品牌生产的概率． （2）若从“宋柚汁”，“双柚乳酸菌”，“艾柚香胡柚汁”中随机选择两种，用列表或画树状图或枚举法求都是柚香谷品牌生产的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）列出表格，进而根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：从“宋柚汁”，“双柚乳酸菌”，“艾柚香胡柚汁”中随机选择一种，共三种情况，其中柚香谷品牌生产的有两种， 即是柚香谷品牌生产的概率； 【小问2详解】 解：列表如下： B C A A，B A，C B B，A B，C C C，A C，B 共有6种等可能的结果，其中符合条件的有和这2种， 都是柚香谷品牌生产的概率． 19. 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上． （1）只用无刻度直尺在给定的网格中作图．在线段上找一点，使（不要求写出画法，保留必要的作图痕迹）． （2）在图中标出必要的字母，证明你的画法． 【答案】（1） 如图所示，点为所求作的点． （2） 证明：由作法得：，， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质： （1）取格点D，E，连接交于点C，即可； （2）根据，可得，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，是角平分线，． （1）求证：． （2）若，，且的面积为8，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线， ∴． 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是利用角平分线和已知角相等证明三角形相似，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解面积． （1）要证明，需找到两组对应角相等．利用角平分线的性质得到，结合已知，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可证明． （2）由，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方．先通过对应边成比例求出相似比，再结合的面积计算的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 21. 某市在推进城市更新过程中，高度重视居民居住环境的改善，尤其关注住宅采光问题．规划部门规定：新建楼房在冬至日正午的影子，不能遮挡北侧原有楼房一楼的窗户．如图，旧楼的一楼窗台高为1米（即米），已知该市冬至日正午太阳光线（平行光）与水平线的最小夹角约为（参考数据：，，）． （1）现计划在旧楼正南方40米处再建一幢新楼．求新楼的最高高度（即点到地面的距离），使得其影子恰好不遮挡旧楼一楼的窗户． （2）若实际建造时，新楼的高度设计为55米，请问为了满足采光要求，新楼至少应建在旧楼正南方多少米处？ 【答案】（1）新楼的最高高度为31米 （2）新楼至少应建在旧楼正南方72米处 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，仰角俯角问题： （1）过点作，垂足为，在中，根据，即可求得的长； （2）求得，在中，根据，代入数据计算，即得结论． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 则米，米， 在中，，， ， 米， 答：新楼的最高高度为31米； 【小问2详解】 解：由题意得米， 米， 在中，， 米， 答：新楼至少应建在旧楼正南方72米处． 22. 如图，为半圆的直径，为延长线上一点，为的中点．连结并延长，交延长线于点，且． （1）求证：是的切线． （2）若，． ①求的半径． ②求的长． 【答案】（1） 证明：连结，， 是中点， ， ∴， ∵， ， ， ， ， ∵是的半径， 是的切线； （2）①的半径为3；② 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，弧、弦、圆心角的关系以及圆周角定理，相似三角形的判定和性质： （1）连结，，根据弧、弦、圆心角的关系以及圆周角定理可得，从而得到，即可求证； （2）①设的半径为，则，，根据，求出r的值，即可求解；②连结交于点，证明四边形是矩形，可得，，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：设的半径为，则，， ， ， 即， ， 即的半径为3． ②解：连结交于点． 是直径， ， 四边形是矩形， ，， ， ，即， ， ． 23. 已知二次函数的图象经过点，且与轴的两个交点分别为． （1）若． ①求该二次函数的表达式． ②求的值． （2）过点作与轴平行的直线与抛物线交于，两点，若，两点都位于轴的同一侧，求的取值范围． 【答案】（1）①二次函数表达式为；② （2）的取值范围为且 【解析】 【分析】（1）①用待定系数法求二次函数解析式；②根据对称轴来表示； （2）用来表示顶点的纵坐标，然后根据的取值范围分类讨论即可． 本题考查了二次函数中待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握基本概念是解题关键． 【小问1详解】 ①解：将，代入二次函数，得， 解得， 该二次函数表达式为 ②该二次函数图象的对称轴为直线． ， 【小问2详解】 解：将代入二次函数，得，即， 该二次函数图象与轴交点的坐标为， 顶点的纵坐标为 当时，图象如图所示，结合图象得 解①得， 由②得， 的取值范围为且． 当时，则相互矛盾，故不存在． 综上所述，的取值范围为且． 24. 已知内接于，，过点作的平行线交于点． （1）如图1，连接交于点． ①求证：． ②若，求的值． （2）如图2，若，，求的半径． 【答案】（1） ①证明：， ， ， ， ； ② （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）①根据平行线的性质可得，从而得到，即可解答；②作于点，证明，设，则，可得，即可解答； （2）连接交于点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，连接，证明，设，则，，，，，根据，可得，解得，设的半径为r，则，根据，求出r的值，即可解答． 【小问1详解】 ①略 ②解：作于点， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接交于点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，连接， 由（1）可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 设，则， ， ， ， ， ， 即， 解得． ，，， ∴， 设的半径为r，则， ∵， ∴， 解得：， 的半径为． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期末考试九年级 数学试题卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟． 2．全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在“答题卷”上作答．卷I的答常必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在“答题卷”的相应位置上． 3．请用黑色字迹钢笔或签字笔在“答题卷”上先填写姓名和准考证号． 卷I 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分） 1. 已知，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 任意掷一枚质地均匀的骰子，下列情况出现的可能性最小的是（ ） A. 面朝上的点数是3的倍数 B. 面朝上的点数小于2 C. 面朝上的点数大于3 D. 面朝上的点数是奇数 3. 已知的半径为5，若，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法判断 4. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，若，则（ ） A. B. C. D. 3 6. 如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为半圆的直径，四边形内接于半圆．为延长线上一点，切半圆于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 衢州山茶油生产已有二千多年历史，有“东方黄金液体”的美誉．如图1，在某榨油厂中，榨油师傅会将包好的圆形油饼整齐码入木榨的榨槽中．如图2，圆形油饼紧靠在木榨的榨槽中的，，，四点．已知，，与之间的距离为，则的半径为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，动点从的顶点出发，沿边以每秒1个单位的速度匀速运动，运动到点时停止．设点运动的时间为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则的面积为（ ） A. 15 B. 16 C. D. 卷Ⅱ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. cos30°的值等于_____． 12. 不透明的袋中装有若干个质地均匀的红球和4个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中球的总数约为___________个． 13. 一本书的宽与长之比为黄金比．已知它的长为，则它的宽为___________． 14. 如图，边长为1的正六边形内接于，连接，，则阴影部分的面积为___________． 15. 二次函数的部分对应值如下表： 0 1 2 0 0 则，的大小关系为_________（填“”“”或“”）． 16. 如图，为矩形的对角线，将绕点逆时针旋转得到，当点落在对角线上时，且，则的值为__________． 三、解答题（本题共有8小题，第17~21小题每小题8分，第22~23小题10分，第24小题12分，共72分，请务必写出解答过程） 17. 如图，在直角坐标系中，点，的坐标为，． （1）画出绕点旋转后所得的图形，并写出点，的坐标． （2）求点所经过的路径长． 18. 近年来，由胡柚为原料而制作的饮料得到大家的喜爱，其中以柚香谷品牌生产的“宋柚汁”，“双柚乳酸菌”（两种饮料分别记为“A”和“B”），以及艾佳食品生产的“艾柚香胡柚汁”（记为“C”)最受市场欢迎．春节将近，小祝准备给衢江的外婆带点胡柚饮料． （1）若从“宋柚汁”，“双柚乳酸菌”，“艾柚香胡柚汁”中随机选择一种，求是柚香谷品牌生产的概率． （2）若从“宋柚汁”，“双柚乳酸菌”，“艾柚香胡柚汁”中随机选择两种，用列表或画树状图或枚举法求都是柚香谷品牌生产的概率． 19. 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上． （1）只用无刻度直尺在给定的网格中作图．在线段上找一点，使（不要求写出画法，保留必要的作图痕迹）． （2）在图中标出必要的字母，证明你的画法． 20. 如图，在中，是角平分线，． （1）求证：． （2）若，，且的面积为8，求的面积． 21. 某市在推进城市更新过程中，高度重视居民居住环境的改善，尤其关注住宅采光问题．规划部门规定：新建楼房在冬至日正午的影子，不能遮挡北侧原有楼房一楼的窗户．如图，旧楼的一楼窗台高为1米（即米），已知该市冬至日正午太阳光线（平行光）与水平线的最小夹角约为（参考数据：，，）． （1）现计划在旧楼正南方40米处再建一幢新楼．求新楼的最高高度（即点到地面的距离），使得其影子恰好不遮挡旧楼一楼的窗户． （2）若实际建造时，新楼的高度设计为55米，请问为了满足采光要求，新楼至少应建在旧楼正南方多少米处？ 22. 如图，为半圆的直径，为延长线上一点，为的中点．连结并延长，交延长线于点，且． （1）求证：是的切线． （2）若，． ①求的半径． ②求的长． 23. 已知二次函数的图象经过点，且与轴的两个交点分别为． （1）若． ①求该二次函数的表达式． ②求的值． （2）过点作与轴平行的直线与抛物线交于，两点，若，两点都位于轴的同一侧，求的取值范围． 24. 已知内接于，，过点作的平行线交于点． （1）如图1，连接交于点． ①求证：． ②若，求的值． （2）如图2，若，，求的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $