福建省2025-2026学年度高中毕业班模拟检测练习卷（六）高三数学自编模拟卷

2025-2026学年度高中毕业班模拟检测（六） 2026.02 高三数学 本试卷共19题，满分150分，共4页。考试用时120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知的实部是，则 A. B. C. D. 2. 已知集合，，则 A. B. C. D. 3. 一条河两岸平行，河宽240，一艘船从河岸边的一点出发到河对岸，已知船在静水中的速度，水流速度，当船的行驶路程最短时，航行时间为 A. B. C. D. 4. 若双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为 A. B. C. D. 5. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则 A. B. C. D. 6. 在的展开式中，常数项为 A. B. C. D. 7. 已知函数，则下列叙述正确的是 A. 在区间内单调递增 B. 在区间内单调递减 C. 在区间内单调递增 D. 在区间内单调递减 8. 已知，，则 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 在正方体中，为中点，为中点，则 A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 10. 已知函数，则 A. 函数的最小正周期是 B. 函数的值域为 C. 直线是 函数的一条对称轴 D. 函数在区间上有且仅有个零点 11. 已知三个内角分别为，且满足，则 A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知等比数列的前项和为，，，则 . 13. 若直线与函数的图像相切，则 . 14. 在某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对道试题的概率为，则当 时，取得最大值. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（13分）记的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，，求的值. 16.（15分） 如图，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 17.（15分）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽 取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是. （1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； （2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力． 18.（17分）如图，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1、F2，左顶 点为P，焦距为2，若△PF1F2为正三角形． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F1，斜率为的直线与椭圆相交于M，N两点，求MN的长； （3）过点F1的直线与椭圆相交于AB两点，若，求直线AB的方程． 19.（17分）设函数. （1）求图象上点处的切线方程； （2）若在时恒成立，求的取值范围； （3）若，证明 . 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度高中毕业班模拟检测（六) 2026.02 高三数学 本试卷共19题，满分150分，共4页。考试用时120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1已知z=a∈R)的实部是2.则a= A.3 B.-3 C.5 D.-5 2.已知集合M={x3x-2≥7}，N={1,2,3,4},则MnN= A.0 B.{3,4 C.{2,3} D.{1,2,3,4 3.一条河两岸平行，河宽240，一艘船从河岸边的一点出发到河对岸，己知船在静水中的 速度引v1l=5m/s,水流速度|v2l=3m/s,当船的行驶路程最短时，航行时间为 A.20s B.48s C.60s D.80s 若双曲线三-冷=1Q>0,b>0)的一条渐近线方程为3x+y=0,则其离1 A.V10 g四 C.23 D. 5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且当0<x<1时，f(x)=2x, 则f(og23) A.3 B. C.-3 D.-3 6在(3x+)°的展开式中，常数项为 A.-135 B.135 C.540 D.-540 7.已知函数f()=c0sx+c0s2x+c0s3x,则下列叙述正确的是 Af6)在区间(0，习)内单调递增 B.f(x)在区间(0，D内单调递减 C.f)在区间（传，习）内单调递增 D.f(x)在区间(0，习内单调递减 8.已知a=1og0.34.3,b=log34.3,则 A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0 C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 第1页共4页 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AA1中点，O为BD1中点，则 A.OM/平面ABCD B.OM⊥平面BB1D1D C.OM/平面BCC1B1 D.OM1平面BCC1B1 10.己知函数f(x)=cosx+V3sinx,则 A.函数f(x)的最小正周期是π B.函数f(x)的值域为[-1,2] C.直线x=π是函数f(x)的一条对称轴 D.函数g(x)=f(x)-1在区间(-2π，2m)上有且仅有5个零点 1.已知△ABC三个内角分别为a,b,c,且满足sin2+sim2号+sin2号=cos2号则 A.cos4-C=3 cos4+c B.sin A+sin C=3 sin B 2 ctantan- D.B≤号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等比数列{a,}的前n项和为S,S10=10,S20=30,则S30=一， 13.若直线2x+y-3=0与函数f(x)=ax-3nx的图像相切，则a= 14.在某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知 某同学答对每道题的概率均为污，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结 束比赛，记该同学答对m道试题的概率为f(m),则当m=时，f(m)取得最大值. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且V2(a cosC-b)=c. (1)求A; (2)若a=V5,sinB=5,求c的值 第2页共4页 16.(15分)如图，正四棱锥S-ABCD,SA=2,AB=V2,P为侧棱SD上的点，且SP=3PD. (1)求证：AC1SD: (2)求异面直线SA与CP所成角的余弦值. 17.(15分)某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽 取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知 6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是二 3 (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力. 第3页共4页 18(17分)如图，已知椭圆c:兰+号 a2+豆=1(a>b>0)的上、下焦点分别为、2，左顶 点为P,焦距为2，若△PFF2为正三角形. (1)求椭圆C的标准方程： 5 (2)过点，斜率为3的直线与椭圆相交于M,N两点，求W的长： (3)过点乃的直线与椭圆相交于AB两点，若AF1=2F1B,求直线AB的方程， y个 B F ⊙ 0 x F2 19.(17分)设函数f(x)=xnx. (1)求f(x)图象上点(1，f(1)处的切线方程： (2)若f(x)≥a(x-V)在x∈(0，+o)时恒成立，求a的取值范围； (3)若x12∈(0,1)，证明x1)x2)sk1-x25 第4页共4页 2025-2026学年度高中毕业班模拟检测（六） 2026.02 高三数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C B C A D B D D AB BCD CD 12 13 14 70 1 13或14 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.解：（1）由正弦定理边化角得：， 再由三角形内角和定理得：，………………2分 代入可得：，因为，所以，………………4分 又因为，所以；……………………………………………………………6分 （2）由正弦定理得：， ……………………………8分 再由余弦定理得：， ………………………………………………………………………………10分 解得或（舍去）， ………………………………………………………………12分 所以. ……………………………………………………………………………………13分 16.解：（1）连结交于点，连结， 因为正四棱锥，所以平面，又平面， 所以， ………………………………………………1分 因为正四棱锥，所以四边形是正方形， 所以， ………………………………………………2分 因为，，，平面，平面， 所以平面，………………………………………………4分 又平面，所以；………………………………5分 （2）因为，，， 所以以为原点建立空间直角坐标系，………………6分 ，，，， 所以，………………10分 ， 所以， …………………………………………………………14分 因此异面直线与所成角的余弦值为.……………………………………………15分 17.解：（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3， ， 所以ξ的分布列为： ξ 1 2 2 P 则；………………………………………………………………4分 设考生乙正确完成实验操作的题数为η，易知， 所以， ， 所以η的分布列为： η 0 1 2 3 P 所以．…………………………………………………………………………9分 （2）由(1)知， ， ，……………………………………………………………………11分 ，………………………………………………13分 所以，， ………………………………………………14分 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当； 从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定； 从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大．…………………………15分 18.解：（1）由焦距为2可得2c＝2，再由△PF1F2为正三角形，P为左顶点， 可得b•2c，…………………………………………………………………………1分 所以a2＝b2+c2＝3+1＝4，……………………………………………………………………2分 所以椭圆的方程为：1； …………………………………………………………3分 （2）由（1）可得上焦点F1（0，1）， 由题意可设直线MN的方程为：yx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），……………4分 联立整理可得5x2+2x﹣9＝0，……………………………………………5分 可得Δ＞0，x1+2，x1x2，………………………………………………………6分 所以弦长|MN|•；…………7分 （3）当直线AB的斜率不存在时，则过F1的直线为x轴，可得A，B为短轴的顶点， 因为，设A（0，），B（0，），F1（0，1）， 则（0，1），（0，1）， 显然2，………………………………………………………………………………9分 所以直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的方程为y＝kx+1， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， ………………………………………………………………11分 联立，整理可得：（4+3k2）x2+6kx﹣9＝0，……………………………12分 可得x1+x2，x1x2， 因为，即（﹣x1，1﹣y1）＝2（x2，y2﹣1）， 可得﹣x1＝2x2，即x1＝﹣2x2，代入x1+x2， 可得x2，x1，……………………………………………………………14分 再代入x1x2，可得•（），……………………………15分 解得：k2， 可得k＝， ……………………………………………………………………………16分 所以直线AB的方程为y＝x+1． ……………………………………………………17分 19.解：（1）由于,故,………………………………………………1分 所以, ………………………………………………………………………2分 所以所求的切线经过(1,0),且斜率为1,故其方程为 ………………………………3分 （2）设,则,从而当时,………………4分 当时,所以在上单调递减,在上单调递增,……………………5分 这就说明,即,且等号成立当且仅当 设,则 ………………………………………………………………………………………6分 当时,的取值范围是,所以命题等价于对任意,都有 一方面,若对任意,都有, 则对,有, 取,得,故 ……………………………………………………………7分 再取,得,所以. 另一方面,若,则对任意都有,满足条件. 综合以上两个方面,知的取值范围是 ………………………………………………8分 （3）先证明一个结构,对,有, 证明:前面已经证明不等式,故, 且, 所以,即. ……………………………9分 由,可知当时,当时 所以在上单调递减,在上单调递增,………………………………………10分 不妨设,下面分三种情况证明本题结论 情况一:当时,有,结论成立;………………………………………………………………………11分 情况二:当时,有 对任意,设,则 由于单调递增,且有 ,且当, 时,由知 ,所以在(0,c)上存在零点,再结合单调递增,………………………………12分 即知时时,,故在上单调递减,在上单调递增. ①当时,有； ②当时,由于, 故可以取.……………………………………………………………………13分 从而当时,由,可得 ,再根据在上单调递减,即知对都有; 综合①②可知对任意,都有, 即 ………………………………………………………14分 根据和的任意性,取,就得到 所以. ………………15分 情况三:当时,根据情况一和情况二的讨论,可得, ………………………………………………………………………16分 而根据的单调性,知或. 故一定有成立,综上,结论成立 ………………………………17分 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度高中毕业班模拟检测（六) 2026.02 高三数学参考答案 2 6 7 9 10 11 C B C D B D D AB BCD CD 12 13 14 70 1 13或14 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.解：(1)由正弦定理边化角得：√2(sin AcosC-sinB)=sinC, 再由三角形内角和定理得：sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cosAsinC,…2分 代入可得：-V2 cosAsinc=inC,因为sinC>0,所以cosA=-5 …4分 3 又因为A∈(0，元)，所以A=3 4； …6分 a b 5 b (2)由正弦定理得：sinA sinB 5 →b=2 …8分 2 5 再由余弦定理得：a2=b2+c2-2 bc cosA→5=2+c2-2 c2+2c-3=0, ………10分 解得c=1或c=-3(舍去)，… …12分 所以C=1.…13分 16.解：(1)连结BD交AC于点O,连结SO, 因为正四棱锥S-ABCD,所以SOL平面ABCD,又ACC平面ABCD, 所以SO1AC,…1分 因为正四棱锥S-ABCD,所以四边形ABCD是正方形， B 所以AC⊥BD, …2分 第1页共6页 因为AC⊥SO,AC L BD,SOOBD=O,SOc平面SBD,SOC平面SBD, 所以AC⊥平面SBD,…4分 又SDC平面SBD,所以AC⊥SD;…5分 (2)因为OS⊥OB,OS⊥OC,OB⊥OC, 所以以O为原点建立空间直角坐标系O-灯贮，…6分 A(0,-1,0),S(0,0,V3),C(0,1,0),D(-1,0,0), 所以S=(0,-1,-V5),D5=1,0,5)，…10分 B c-c0+2n-cn+=1-10-[月o9-19 所以cos(S4CP)= A.cp√7 网c28 …14分 因此异面直线4与CP所成角的余弦值为 …15分 28 17.解：(1)设考生甲正确完成实验操作的题数为，则的可能取值是1,2,3， n器心y器n器} 所以的分布列为： 2 则E(5)=1× +2x 3 +3× =2 …4分 5 5 设考生乙正确完成实验操作的愿数为：易知刀一B3号》 所以w=0--分P0=C号 P0=2)= g)c 所以n的分布列为： 第2页共6页 0 3 8 27 9 27 所以E()=3 2=2 …9分 (2)由(1)知E(5)=E(7)=2, D5-0-2少×+e-2g+6-2r×号 55 ……11分 4820 Γ927-27 …13分 所以D(5)<D(7),P(5≥2)>P(7≥2)， …14分 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当： 从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定； 从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大。…15分 18.解：(1)由焦距为2可得2c=2,再由△PF1F2为正三角形，P为左顶点， 可得6-号2c=V5, … …1分 所以☑2=b2+北2=3+1=4，…2分 所以椭圆的方程为： =1: …3分 (2)由(1)可得上焦点F1(0,1), 由题意可设直线MN的方程为：y= 3 +1,设M(x1,1),N(x2,),…4分 √3 联立 3x+1 y2 x2 整理可得5x2+2V3x-9=0, …5分 (年+3=1 可得A>0,x1+2=二23 9 5 …6分 所以弦1=+（号+=层号43）= :…7分 (3)当直线AB的斜率不存在时，则过F的直线为x轴，可得A,B为短轴的顶点， 因为AF1=2F1B,设A(0,-5),B(0,V3),F1(0,1), 第3页共6页 则AF1=(0,1+3),F1B=(0,3-1), 显然AF1≠2F1B, …9分 所以直线AB的斜率存在，且不为O,设直线AB的方程为y=+1, 设A(x1,y1),B(x2,y2),…11分 联立三kx+1 产3244x2=12整理可得（432)246-9=0，…12分 6k 9 可得x1t2=一4什321x2=一4+3k2 因为AF1=2F1B,即（-x1,1-y1)=2(x2,y2-1), 可得-1=2x2,即x1=-2x2,代入x1+2=- 6k 4+3k2 6k 可得2=4321=- 12k 4+3k2 …14分 9 6k 再代入x*2=-4+32,可得 12k 9 +3k2（- 4+3k2）=- 4+3k2, …15分 解得：=专 可得仁土25 59 ……16分 所以直线AB的方程为y=±25， 5x+1. …17分 19.解：(1)由于f(x)=xn比，故f(x)=lnx+1,…1分 所以f(I)=0,f'(1)=1,… …2分 所以所求的切线经过(1,0)，且斜率为1，故其方程为y=x一1…3分 (2)设h()=t-1-lnt,则h()=1-=号从而当0<t<1时h(因<0，…4分 当t>1时h(t)>O,所以h(t)在(0，]上单调递减，在[L,+∞)上单调递增，…5分 这就说明h(t)≥h(I),即t-1≥nt,且等号成立当且仅当t=1 设g0=at-)-2t,则f网-a(x-V网=xx-a(x-V网=x(a(侯-）-2h月 x9() …6分 当xE(0,+∞)时，云的取值范围是(0，+∞)，所以命题等价于对任意tE(0,+∞)，都有g(≥0 一方面，若对任意t∈(0，+o),都有g(t)≥0， 第4页共6页 则对te(0,+o),有0≤g)=a(t-)-21nt=a(t-1)+2n≤at-)+2(（长-）=at十 2-n-2, 取t=2,得0≤a-1,故a≥1>0… …7分 再取t-得0≤a层+2月-a-22m-a2-（a-回，所以a=2 另一方面，若a=2,则对任意t∈(0，+∞)都有g(t)=2(t-1)-2lnt=2h(t)≥0，满足条件 综合以上两个方面，知a的取值范围是{2}…8分 (3)先证明一个结构，对0<a<b,有1ha+1<f@)f@<1nb+1, b-a 证明前面己经证明不等式t一1≥L,故地-+b-兰 b-a b-a +inb<1+nb, a 且恤se=-恤b-地+na=+na>作+ha=1+a, b-a b-a 16 所以1na+1<hb-ae<lnb+1,即hna+1<f@)f@<nb+1.…9分 b-a b-a 由f(x)=nx+1,可知当0<x<时f(x)<0,当x>时f(x)>0 所以f)在(0，上单调递减，在，+0）上单调递增，…10分 不妨设x,≤x2,下面分三种情祝证明本题结论 情况一：当≤x1≤x2<1时，有lf(x)-fx=fx)-f(x)<(x2+)(x2-x)<x2- X<√x2-X,结论成立；…l1分 情况二：当0<x1≤x2≤时，有f(x)-f(x2川=f(x)-f(x2)=xlnx1-x2lnx2 对任意ce(o,,设p()=xlnx-clnc-Vc-x,则p()=lhx+I+后 由于p(x)单调递增，且有p =In-c <血+1+1-+1+=0，且当x≥c x>时，由点血-1知p)=lx+1+后>+1+后点-(n总- ≥O,所以p'(x)在(0，c)上存在零点xo,再结合p'(x)单调递增，… …12分 即知0<x<xo时p(x)<O,xo<x<c时，p(x)>O,故p(x)在(0，x]上单调递减，在[xo,c]上单调 递增 ①当x,≤x≤c时，有p(x)≤p(c)=0; 第5页共6页 ②当0<x<xo时，由于Vn=-2f(v可≤-2f(日=<1， 故可以取q∈(Vch,)… …13分 从而当0<x<后，时，由ve-文>qVE,可得p)=xx-cc-Vc-<-cc-Vc-x< clnc- qVE=V(Vcn-q)<0,再根据0()在(0，xl上单调递减，即知对0<x<x,都有p()<0, 综合①②可知对任意0<x≤c,都有p(x)≤0， 即p(x)=xnx-clnc-Vc-x≤0 …14分 根据c∈(0，和0<x≤c的任意性，取c=x,x=x,就得到x,x-x血x-V-x≤0 所以f(x)-f(x2)儿=f(x)-f(x2)=x,lnx1-x2lnx2≤Vx2-x. …15分 情况三：当0<x≤≤x<1时，根据情况一和情况二的讨论，可得fx)-f(≤ …16分 F伯fes名s 而根据fe)的单调性，知Fx)-fx,l≤Fc)-f(l或fx)-fxl≤f(目-f 故一定有f(x)一f(x2)川≤Vx2-X成立，综上，结论成立…17分 第6页共6页