精品解析：新疆伊犁哈萨克自治州2025-2026学年第一学期义务教育质量监测九年级数学

2025－2026学年第一学期义务教育质量监测 九年级数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下，顶点坐标 B. 开口向上，顶点坐标 C. 开口向上，顶点坐标 D. 开口向下，顶点坐标 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的开口方向和顶点坐标的确定，关键是把函数解析式顶点式的识别.根据二次函数顶点式的性质， 的符号决定开口方向，顶点坐标为 ． 【详解】解：∵中 ， ∴开口向上； 又∵， ∴顶点坐标为 ， 故选 ：C． 3. 已知一元二次方程配方后可变形为，则的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项再配方得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则 ∴， 故选：A 4. 下列事件为必然事件的是 A. 打开电视机，正在播放新闻 B. 掷一枚质地均匀的硬币，正面儿朝上 C. 买一张电影票，座位号是奇数号 D. 任意画一个三角形，其内角和是180度 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】A、打开电视机，正在播放新闻，是随机事件，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； C、买一张电影票，座位号是奇数号，是随机事件，不符合题意； D、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 5. 已知的半径是，点P是外一点，则的长可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点是外一点，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵的半径是，点是外一点， ∴； ∴的长可能是． 故选：D． 6. 已知关于一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根有两个不相等的实数根得到，，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：A． 7. 如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理即可求解． 【详解】∵是的两条半径，点C在上， ∴∠C= =40° 故选：B 【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键． 8. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆，销售量逐年增加，2024年预估销售量为万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键． 设这款新能源汽车的年平均增长率为x，由题意得等量关系初销售量、增长率、末产量的关系列出方程即可解答． 【详解】解：设这款新能源汽车的年平均增长率为x， 由题意，得：． 故选：D． 9. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，垂直于弦直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练运用垂径定理是解题的关键；过点作半径于，由垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后即可计算出的长． 【详解】解：过点作半径于，如图， ∴， 在中，， ∴， 故选B． 10. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，则．其中正确的结论有（ ） A. ②③ B. ②③⑤ C. ②③④⑤ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由抛物线的开口方向，与轴的交点位置可得，，再由对称轴为直线可得，可判断①；由抛物线与轴有两个交点，可判断②；当时，，可得，再结合可判断③；当时，有最小值，可判断④；图象经过点，利用二次函数的对称性可得图象也经过点，得到方程的两根为和，可判断⑤，即可得出结论． 【详解】解：由图象得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ，， 对称轴为直线， ， ， ，故①错误； 由图象得，抛物线与轴有两个交点， ，故②正确； 由图象得，当时，， ， ， 又， ，故③正确； 由图象得，当时，有最小值， （为任意实数）， ，故④正确； 图象经过点，对称轴为直线， 图象也经过点， 抛物线与直线的两个交点为和， 方程的两根为和， ，， ，故⑤错误； 综上所述，正确的结论有②③④． 故选：D． 二、填空题（每题4分，共28分） 11. 关于的方程是一元二次方程，则的值为____. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程和不等式即可得到满足条件的的值． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 解得； 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，关键是熟练应用知识点解题；点关于原点对称的点的坐标特征是横坐标和纵坐标都取相反数． 【详解】解：∵点与对称点关于原点对称， ∴对称点坐标为， 故答案为：． 13. 从，，，，中随机任取一个实数，则取到无理数的概率是______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，无理数的概念，熟练掌握概率公式是解题关键． 先找出无理数的个数，用无理数的个数除以数据的总数即可求解． 【详解】解：，，，，中，无理数有、，共个， 在个实数中，随机任取一个实数，取到无理数的概率为． 故答案为：． 14. 如图，四边形内接于，若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，由圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质计算即可得出结果，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴由圆周角定理可得 ∵四边形内接于， ∴， 故答案为：． 15. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，应邀请________个球队参加比赛 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设应邀请个球队参加比赛，每个球除要和除自己以外的个球除进行次比赛，所以个球除进行单循环形式共需要进行场比赛，因为计划安排场比赛，所以可列方程，解方程即可求出球队的个数． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛， 根据题意可得： 解方程可得：，(舍去)， 答：应邀请个球队参加比赛． 故答案为： ． 16. 如图，、分别切于A、B，并与的切线分别相交于C、D，已知，则的周长等于______． 【答案】##24厘米 【解析】 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及切线长定理、三角形周长等知识，熟记切线长定理是解决问题的关键．设切线与切于点，如图所示，由切线长定理可得，数形结合，表示出三角形的周长，代值求解即可得到答案． 【详解】解：设切线与切于点，如图所示： ∴由切线长定理可得， ， ， 故答案：． 17. 如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化，观察所给图案，列式表达出每个图案需要黑色棋子的个数，找出规律，第n个图案需要的个数为：，代入即可． 【详解】解：由图知第一个图案需要黑色棋子的个数为（个）； 第二个图案需要的个数为（个）； 第三个图案需要的个数为（个）； 第四个图案需要的个数为（个）； … 第n个图案需要的个数为： （个）， 当时，， 故答案为：． 三、解答题（6小题，共62分） 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB1C1，并直接写出点B1、C1的坐标． （2）求线段AB所扫过的图形的面积． 【答案】（1）画图见解析，B1（4，﹣2）、C1（1，﹣3）；（2）π 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B1、C1，从而得到△AB1C1，再写出点B1、C1的坐标即可； （2）先求出AB的长，然后再利用扇形的面积公式进行计算即可得. 【详解】（1）如图所示，△AB1C1即为所求； 由图可知点B1的坐标为（4，﹣2）、C1的坐标为（1，﹣3）； （2）∵AB==3，且∠BAB1=90°， ∴线段AB所扫过的图形的面积为=π． 【点睛】本题考查了作图——旋转变换，扇形面积，作图的关键是找到各关键点旋转后的对应点，求扇形面积关键是熟记扇形面积公式. 20. “综合与实践”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中四大领域之一，武侯区某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习．设置了“A．制作视力表”“B．猜想、证明与拓广”“C．池塘里有多少条鱼”三个项目供九年级学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下表格： 项目 选择人数 频率 A．制作视力表 4 B．猜想、证明与拓广 C．池塘里有多少条鱼 20 0.5 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：___________，____________，____________； （2）该校共有500名九年级学生，请估计选择“B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数； （3）本次调查中，选择“A．制作视力表”项目学习的四人中有三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率． 【答案】（1）0.1，16，0.4； （2）200 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查概率和频数分布表，列出树状图是关键； （1）先求出总人数，再求出b的值，进而a和c的值； （2）用九年级总人数乘选择“B．猜想、证明与拓广”项目所占比即可； （3）画出树状图，再利用概率公式求解即可 【小问1详解】 解：， ， ，， 故答案为：0.1，16，0.4； 【小问2详解】 （人）， 答：B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数有200人； 【小问3详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的情况，恰好选到一名女生和一名男生的有6种， 所以恰好选到一名女生和一名男生的概率= 21. 如图，已知⊙O的直径AB＝12，弦AC＝10，D是的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）求AE的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】(1) 连接OD，根据圆周角定理可证得，，再根据平行线的性质，即可证得，即可证得结论； (2) 过点O作，根据垂径定理可得，可证得四边形OFED是矩形，，据此即可求得． 【小问1详解】 证明：如图：连接OD， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 又是⊙O的半径 DE是⊙O的切线； 【小问2详解】 解：如图：过点O作于点F， ， ， ， 四边形OFED是矩形， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，垂径定理，矩形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键． 22. 探究观景拱桥中安装的“脚手架”是否符合要求 素材一 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥， 其横截面如图所示， 量得该拱桥占地面最宽处米， 最高处点C距地面5米 (即米) ． 素材二 桥洞两侧壁上各有一盏景观灯E、F， 两灯直射地面分别形成反光点H、G（E、F分别在抛物线上且关于对称， H、G在线段上) ， 量得矩形的周长为27.5米现公园管理人员对拱桥加固维修， 在点H、G处搭建一个高3.55米的矩形“脚手架”． 已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全． 问题解决 任务一 确定观景拱桥的形状 分别以所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 求出该抛物线的解析式． 任务二 探究方案合理性 请问该“脚手架”的安装是否符合要求？ 如果符合， 请说明理由； 如果不符合， 求出脚手架至少应调低多少米？ 【答案】任务一：；任务二：不符合， 求出脚手架至少应调低0.15米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线特点得到二次函数解析式以及得出E点坐标是解决本题的关键． 任务一：根据所建直角坐标系得到顶点，设此函数解析式为，根据B点坐标为，结合待定系数法求解，即可解题； 任务二：假设出E点坐标为，再利用矩形的周长为27.5米，即可得出的长，进而得出的长，再结合“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全求解，即可解题． 【详解】解：任务一：由题意知，顶点C得坐标为， 故可设此函数解析式为， 由米，得出B点坐标为，代入解析式得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． 任务二：设E的坐标为，其中， 则，． 由已知得：， 即， 解得：（不合题意，舍去）， 把代入． ∴， 而， ∴该“脚手架”的安装不符合要求， 脚手架至少应调低（米）． 23. 如图，关于x的二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与轴交于点C，且顶点． （1）求二次函数图象的解析式； （2）连接，求的面积： （3）在上方抛物线上有一动点M，请直接写出的面积取到最大值时，点M的坐标． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数对称轴，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线利用分割思想进行求解是解题的关键． （1）根据解析式为顶点式结合顶点坐标即可求出对应的函数解析式； （2）如图所示，过点D作于E，交于F，求出直线的解析式为，则，再根据进行求解即可； （3）如图所示，过点M作于H，交于N，设，则，同（2）得到，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数解析式为，即； 【小问2详解】 解：如图所示，过点D作于E，交于F， 令，则， ∴点C的坐标为； 令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，则， ∴， ∴， ∴ ； 小问3详解】 解：如图所示，过点M作于H，交于N， 设，则， ∴， 同（2）可得， ∵， ∴当时，最大，此时点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期义务教育质量监测 九年级数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 抛物线，下列说法正确的是（ ） A 开口向下，顶点坐标 B. 开口向上，顶点坐标 C. 开口向上，顶点坐标 D. 开口向下，顶点坐标 3. 已知一元二次方程配方后可变形为，则的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 4. 下列事件为必然事件的是 A. 打开电视机，正在播放新闻 B. 掷一枚质地均匀的硬币，正面儿朝上 C. 买一张电影票，座位号是奇数号 D. 任意画一个三角形，其内角和是180度 5. 已知的半径是，点P是外一点，则的长可能是（　　） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 7. 如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆，销售量逐年增加，2024年预估销售量为万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 9. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数图象对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，则．其中正确的结论有（ ） A. ②③ B. ②③⑤ C. ②③④⑤ D. ②③④ 二、填空题（每题4分，共28分） 11. 关于的方程是一元二次方程，则的值为____. 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标为_____． 13. 从，，，，中随机任取一个实数，则取到无理数的概率是______________． 14. 如图，四边形内接于，若，则的度数为_____． 15. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，应邀请________个球队参加比赛 16. 如图，、分别切于A、B，并与切线分别相交于C、D，已知，则的周长等于______． 17. 如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为__________． 三、解答题（6小题，共62分） 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB1C1，并直接写出点B1、C1的坐标． （2）求线段AB所扫过的图形的面积． 20. “综合与实践”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中四大领域之一，武侯区某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习．设置了“A．制作视力表”“B．猜想、证明与拓广”“C．池塘里有多少条鱼”三个项目供九年级学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下表格： 项目 选择人数 频率 A．制作视力表 4 B．猜想、证明与拓广 C．池塘里有多少条鱼 20 0.5 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：___________，____________，____________； （2）该校共有500名九年级学生，请估计选择“B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数； （3）本次调查中，选择“A．制作视力表”项目学习的四人中有三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率． 21. 如图，已知⊙O的直径AB＝12，弦AC＝10，D是的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）求AE的长． 22. 探究观景拱桥中安装的“脚手架”是否符合要求 素材一 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥， 其横截面如图所示， 量得该拱桥占地面最宽处米， 最高处点C距地面5米 (即米) ． 素材二 桥洞两侧壁上各有一盏景观灯E、F， 两灯直射地面分别形成反光点H、G（E、F分别在抛物线上且关于对称， H、G在线段上) ， 量得矩形的周长为27.5米现公园管理人员对拱桥加固维修， 在点H、G处搭建一个高3.55米的矩形“脚手架”． 已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全． 问题解决 任务一 确定观景拱桥形状 分别以所在直线为x轴、y轴，建立如图所示平面直角坐标系， 求出该抛物线的解析式． 任务二 探究方案合理性 请问该“脚手架”的安装是否符合要求？ 如果符合， 请说明理由； 如果不符合， 求出脚手架至少应调低多少米？ 23. 如图，关于x的二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与轴交于点C，且顶点． （1）求二次函数图象的解析式； （2）连接，求的面积： （3）在上方抛物线上有一动点M，请直接写出的面积取到最大值时，点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $