精品解析：湖南长沙市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025年下半年九年级期末检测试卷数学科目 考生注意：本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 2026的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. “大国点名､没你不行”，第七次全国人口普查口号深入人心，统计数据真实可信，全国大约1411780000人．数“1411780000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，已知六个项目参与人数（单位：人）分别是：42，38，35，43，40，42．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 42，39 B. 42，40 C. 42，41 D. 42，42 6. 如图，直线，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分，交CD于点G，若，则的度数是（ ） A 60° B. 55° C. 50° D. 45° 7. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（ ） A. x≥4 B. x≤4 C. x≥1 D. x≤1 9. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，，点E是边上的动点，连接，过点A作于点F．设，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 12. 为了解某校1000名学生对长沙“我是接班人网络大课堂”的知晓情况，随机抽取了30名学生进行调查，结果显示有27名学生知晓，由此可估计该校知晓“我是接班人网络大课堂”的学生有____名． 13. 二次函数的顶点坐标是_____． 14. 若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是______． 15. 如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为______°． 16. 如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，对角线与反比例函数的图像相交于点，若点为的中点，则矩形的面积为_____． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 某校数学综合实践小组开展了测量某大厦楼体大屏广告牌高度的实活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告．报告的部分内容如下表． 综合实践活动报告 课题 利用直角三角形边角关系测量物体高度 测量工具 测倾器、皮尺等测量工具 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①该小组使用皮尺，测得 ②选择在点处安置测倾器，在点处测得广告牌顶部点的仰角．在点处测得广告牌底部点的仰角．（点，，在同一条直线上） … … 根据以上信息，请你帮助数学综合实践小组求出广告牌的高度．（结果精确到） （参考数据：，，） 20. 为了让学生体验民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：A．五谷画，B．彩陶， C．剪纸，D．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一门课程），根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统计图． 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生总人数为_____人，并补全条形统计图； （2）“D课程”在扇形图中的圆心角的度数为_____度； （3）甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一门，用树状图或列表法求两人恰好选到同一门课程的概率． 21. 如图，在中，，为的中点，点E在上，过A点作的平行线交的延长线于点F，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，且，求的长． 22. 排球是中考体育的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”．学校现决定购买A、B两种品牌的排球．据了解，购买2个A种品牌的排球和1个B种品牌的排球需210元，购买1个A种品牌的排球和2个B种品牌的排球需180元． （1）求A、B两种品牌排球的单价分别为多少元? （2）学校决定购买A，B两种品牌的排球共50个，且购买A种品牌排球的数量不少于购买B种品牌的排球数量的一半，问学校购买A种和B种品牌排球各多少个时花费最少? 23. 如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）若点E为中点，，求阴影部分的面积． 24. 定义：在平面直角坐标系中，如果点满足 （k是常数），我们称点P为“k级和值点”．例如：满足，则称为“2级和值点”． （1）请判断下列说法是否正确（在相应的横线处，正确的打“√”，错误的打“×”； ①函数的图象上存在“1级和值点”；______； ②函数的图象上存在两个“1级和值点”；_______； ③函数图象上有且只有一个“1级和值点”．______； （2）关于x的二次函数（m，n是常数）与反比例函数的图象在第二象限存在同一个“3级和值点”，且函数的图象与坐标轴只有2个交点，求m的值； （3）已知关于x的二次函数（a，b，c是常数且）的图象上存在两个不同的“1级和值点”M、N，若，，求线段的取值范围． 25. 如图1，四边形是的内接四边形，对角线交于点E． （1）若，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，若，求的值； （3）如图3，在（1）的条件下，已知P为四边形内一点（点P不与点E重合），，．当长度最小时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下半年九年级期末检测试卷数学科目 考生注意：本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 2026的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解：2026的相反数是 故选：B． 2. 如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从正面看的图形是主视图即可求解． 【详解】解：该几何体的主视图是 故选B． 【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键． 3. “大国点名､没你不行”，第七次全国人口普查口号深入人心，统计数据真实可信，全国大约1411780000人．数“1411780000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法，熟记定义是解题关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查指数运算、平方根运算和乘法公式． 选项A使用幂的乘方法则；选项B错误因为平方根的和不等于和的平方根；选项C错误因为完全平方公式展开后应有中间项；选项D错误因为立方运算中系数计算错误． 【详解】解：∵ 对于选项A，根据幂的乘方法则，， ∴ ，故A正确； 对于选项B，，， ∴ ，但 ，故B错误； 对于选项C，根据完全平方公式，，故C错误； 对于选项D，，故D错误． 故选：A． 5. 为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，已知六个项目参与人数（单位：人）分别是：42，38，35，43，40，42．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 42，39 B. 42，40 C. 42，41 D. 42，42 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查众数、中位数的计算，根据众数和中位数的定义求解，众数是出现次数最多的数据，中位数是将数据排序后中间位置的数或平均数． 【详解】解：∵数据为， ∴众数为42（出现2次）， 将数据排序：， ∵数据个数为6（偶数）， ∴中位数为第三和第四位的平均值,即， 故选：C． 6. 如图，直线，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分，交CD于点G，若，则的度数是（ ） A. 60° B. 55° C. 50° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质和角平分线定义求出,再根据三角形内角和求出 即可． 【详解】 ， ， ， ， ， ， ， 故选． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质的应用，角平分线的应用，证出是解题关键． 7. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，已知，球的半径为，可得的长度，结合勾股定理，可得的长度，最终得的长度． 【详解】解：连接，如下图： ∵，球的半径为， ∴，，由题意可得，结合垂径定理，点为的中点， 结合勾股定理得， 则， 故选：C． 8. 如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（ ） A. x≥4 B. x≤4 C. x≥1 D. x≤1 【答案】D 【解析】 【详解】根据函数图像可得：当时，，即.故选D 考点：一次函数与不等式 9. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里，然后根据时间 路程速度列出方程即可． 【详解】解：设学生步行的速度为每小时里，则孔子做牛车的速度为每小时里， 由题意得，， 故选A． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 10. 如图，在平行四边形中，，点E是边上的动点，连接，过点A作于点F．设，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、根据面积等式求函数关系式等知识与方法，作于点H，则，由，求得，由平行四边形的性质得，所以，由于点F，，得，则y，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点H，则， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点E到的距离等于， ∴， ∵于点F，， ∴， ∴y， 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是关键，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零． 【详解】解：若在实数范围内有意义， ∴， 解得，， 故答案为：． 12. 为了解某校1000名学生对长沙“我是接班人网络大课堂”的知晓情况，随机抽取了30名学生进行调查，结果显示有27名学生知晓，由此可估计该校知晓“我是接班人网络大课堂”的学生有____名． 【答案】900 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计，掌握样本百分比估算总体数量的计算是关键，利用样本知晓率估计总体知晓人数． 【详解】解：∵抽取的30名学生中知晓的有27人， ∴样本知晓率为， ∴， 故答案为：900． 13. 二次函数的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．直接根据二次函数的顶点式可得出顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数 是顶点形式 ， 其中 ，，， ∴顶点坐标是． 故答案为：． 14. 若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，这个多边形的边数为，根据多边形的内角和公式计算即可，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数是， 故答案为：． 15. 如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．先根据等腰三角形的性质求出，再根据线段垂直平分线的性质得出,根据角的和差关系即可得答案． 【详解】解：∵,, , 由作图可知：为垂直平分线， , , ． 故答案为：． 16. 如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，对角线与反比例函数的图像相交于点，若点为的中点，则矩形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，中点坐标公式，矩形面积的坐标表示，熟练掌握相关知识点和坐标代入法是解题的关键． 先设的坐标为，根据为的中点，表示出的坐标，代入反比例函数的表达式中可得，根据点的坐标可得出矩形的长和宽，进而表示出矩形的面积为，即可得解． 【详解】解：设矩形顶点的坐标为， 点为的中点， 点的坐标为， 对角线与反比例函数的图像相交于点， 将点代入函数得：， 化简得：， ， 点的坐标为， 点的坐标为， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查负整数指数幂，特殊角的三角函数，零指数幂，掌握以上知识的计算法则是关键，先计算负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的性质是关键，根据分式的性质化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 某校数学综合实践小组开展了测量某大厦楼体大屏广告牌高度实活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告．报告的部分内容如下表． 综合实践活动报告 课题 利用直角三角形的边角关系测量物体高度 测量工具 测倾器、皮尺等测量工具 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①该小组使用皮尺，测得 ②选择在点处安置测倾器，在点处测得广告牌顶部点的仰角．在点处测得广告牌底部点的仰角．（点，，在同一条直线上） … … 根据以上信息，请你帮助数学综合实践小组求出广告牌的高度．（结果精确到） （参考数据：，，） 【答案】广告牌的高度为 【解析】 【分析】根据题意在中，，在中，根据三角函数关系得出，根据，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中， ∴． 答：广告牌的高度为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 20. 为了让学生体验民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：A．五谷画，B．彩陶， C．剪纸，D．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一门课程），根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统计图． 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生总人数为_____人，并补全条形统计图； （2）“D课程”在扇形图中的圆心角的度数为_____度； （3）甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一门，用树状图或列表法求两人恰好选到同一门课程的概率． 【答案】（1）160；补全条形统计图见解析 （2）90 （3）两人恰好选到同一门课程的概率为 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得此次被调查的学生总人数；求出选择B课程的人数，补全条形统计图即可； （2）用条形统计图中D的人数除以此次被调查的学生总人数再乘以即可得到D课程在扇形图中的圆心角的度数； （3）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选到同一个课程的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：此次被调查学生总人数为（人）， 选择B课程的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示． 故答案为：160； 【小问2详解】 解：“D课程”在扇形图中的圆心角的度数为， 故答案为：90． 【小问3详解】 解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中两人恰好选到同一个课程的结果数有种， ∴两人恰好选到同一个课程的概率为． 21. 如图，在中，，为的中点，点E在上，过A点作的平行线交的延长线于点F，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，且，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． （1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理可得，再证出平行四边形为菱形，根据菱形的性质可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 证明：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴平行四边形为菱形， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴． 22. 排球是中考体育的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”．学校现决定购买A、B两种品牌的排球．据了解，购买2个A种品牌的排球和1个B种品牌的排球需210元，购买1个A种品牌的排球和2个B种品牌的排球需180元． （1）求A、B两种品牌排球单价分别为多少元? （2）学校决定购买A，B两种品牌的排球共50个，且购买A种品牌排球的数量不少于购买B种品牌的排球数量的一半，问学校购买A种和B种品牌排球各多少个时花费最少? 【答案】（1）A种品牌排球单价为80元，B种品牌排球单价为50元 （2）购买17个A种品牌排球，33个B种品牌排球时花费最少 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的综合运用，理解题意，找出数量关系正确列式是关键． （1）设A种品牌排球单价为x元，B种品牌排球单价为y元，结合题目中的数量关系列二元一次方程组求解即可； （2）设购买A种品牌排球m个，则购买B种品牌排球个，由此列不等式得到，设学校采购这两种排球所需总费用为w元，结合一次函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设A种品牌排球单价为x元，B种品牌排球单价为y元， ， 解得． 答：A种品牌排球单价为80元，B种品牌排球单价为50元； 【小问2详解】 解：设购买A种品牌排球m个，则购买B种品牌排球个， 由题意可知， 解得，， 设学校采购这两种排球所需总费用为w元，则， 即， ∵， ∵w随m的增大而增大， 又∵m为正整数， ∴m的最小值为17， ∴当时，w取得最小值，此时， ∴购买17个A种品牌排球，33个B种品牌排球时花费最少． 23. 如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）若点E为的中点，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）阴影部分的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，解直角三角形，切线的判定等，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，由角平分线的定义得到，再由等边对等角得到，则，据此可证明，得到，由此可证明是的切线； （2）根据线段之间的关系证明，解直角三角形可得，则可求出，再根据列式计算即可． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得， 在中，， ∴， ∴， ∴． 24. 定义：在平面直角坐标系中，如果点满足 （k是常数），我们称点P为“k级和值点”．例如：满足，则称为“2级和值点”． （1）请判断下列说法是否正确（在相应的横线处，正确的打“√”，错误的打“×”； ①函数的图象上存在“1级和值点”；______； ②函数的图象上存在两个“1级和值点”；_______； ③函数的图象上有且只有一个“1级和值点”．______； （2）关于x的二次函数（m，n是常数）与反比例函数的图象在第二象限存在同一个“3级和值点”，且函数的图象与坐标轴只有2个交点，求m的值； （3）已知关于x的二次函数（a，b，c是常数且）的图象上存在两个不同的“1级和值点”M、N，若，，求线段的取值范围． 【答案】（1）①√；②√；③× （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“k级和值点”的定义逐一判断即可； （2）根据“3级和值点”的定义，求得，再分两种情况讨论，当抛物线与x轴只有1个交点和有2个交点时，求解即可； （3）联立，整理得，利用根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴，令，解得， ∴点在直线上且满足， ∴函数的图象上存在“1级和值点”；√； ②联立得，， ∴方程组有两个实数解， ∴函数的图象上存在两个“1级和值点”；√； ③联立，得，， ∴方程组没有实数解， ∴函数的图象上有且只有一个“1级和值点”．×； 故答案为：①√；②√，③×； 【小问2详解】 解：设反比例的图象上的“3级和值点”为，则． ∴或， ∵二次函数 （m，n是常数且）与反比例函数的图象在第二象限存在同一个“3级和值点”， ∴该“3级和值点”为， 将代入得：， ∴， ∵二次函数的图象与坐标轴只有2个交点， ∴分两种情况讨论： ①当抛物线与x轴只有1个交点时， ∴，解得：， 此时抛物线为； ∴当时，， ∴与y轴交于． ∴当时，符合函数的图象与坐标轴只有2个交点； ②当抛物线与x轴有2个交点时，则必过， ∴，解得：， 此时抛物线为：； ∴时，符合函数的图象与坐标轴只有2个交点； 综上所述：或； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∵抛物线（a，b，c是常数且）上存在两个不同的“1级和值点”、， ∴联立， 整理得， ∴， ， ∴ ， 令，则， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，反比例函数．涉及待定系数法求函数解析式，一元二次方程根与系数的关系，两点之间距离公式，难度很大，熟练掌握知识点是解题的关键． 25. 如图1，四边形是的内接四边形，对角线交于点E． （1）若，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，若，求的值； （3）如图3，在（1）的条件下，已知P为四边形内一点（点P不与点E重合），，．当长度最小时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到，结合题意，等量代换即可求解； （2）过点O作于点F， 根据垂径定理得到，由圆周角定理得到，证明，得到，代入计算可得，再根据正弦的计算即可求解； （3）根据题意证明，得，设，则，由勾股定理得到，，结合题意，当时，有最小值，最小值，由此得到，则，再证明，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：过点O作于点F， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， 由得，， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∵，则， ∴当时，有最小值，最小值， ∴ （负值舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵． 【点睛】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $