精品解析：陕西省延安市2026届高三上学期普通高中模拟测试（一）数学试题

延安市2026年普通高中模拟测试（一） 数学试题 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算求得复数，即可写出其在复平面内对应的点坐标，得到答案. 【详解】， ∴复数在复平面内对应的点坐标为，位于第三象限. 故选：C. 2. 平面向量，，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量减法的坐标运算可得. 【详解】因为，，所以，所以，解得. 故选：B. 3. 公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则（ ） A. -22 B. -90 C. -3 D. -198 【答案】B 【解析】 【分析】根据是与的等比中项，及可得公差，再利用等差数列求和公式即可得到. 【详解】设等差数列的公差为且， 又是与的等比中项， ，即， 解得或（舍）， . 故选：. 【点睛】本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的通项和求和公式，考查学生的计算能力，是中档题. 4. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用圆柱的体积公式，求得四片瓦需要的粘土量，进而求得800片瓦需要的粘土量，得到答案. 【详解】由圆柱的体积公式，可得四片瓦需要的粘土量为， 所以800片瓦需要的粘土量为． 故选：D． 5. 已知定点A、B，且|AB|＝4，动点P满足||PA|﹣|PB||＝3，则|PA|的最小值是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，判断点的轨迹是双曲线，再根据双曲线的几何性质，即可求得. 【详解】由动点P满足||PA|﹣|PB||＝3，且 故可得点的轨迹为以为左右焦点的双曲线， 故可得，解得， 由双曲线的几何性质可得的最小值为. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的定义，以及其几何性质，属综合基础题. 6. 两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出和，再利用条件概率的计算公式计算即可. 【详解】两位游客从5个景点中任选，每人有5种选择，总事件数：种. 事件的对立事件为“两位游客都不选择葫芦古镇”，的事件数：种, 因此. 事件分为两种情况：甲选葫芦古镇，乙选其余4个景点，4种； 乙选葫芦古镇，甲选其余4个景点，4种；共种事件， 因此. 所以. 故选：C. 7. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图像关于点中心对称 D. 图像向右平移个单位长度后的函数为偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】化简得，求出函数的周期即可判断A；由，可得，结合正弦函数的性质可判断B；结合图像的平移及对称中心的定义可判断C；求出平移后的解析式，结合偶函数的定义判断D． 【详解】对于A，因为 ， 所以函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，当时，， 由正弦函数的性质可知在上先增后减，故B错误； 对于C，因为 是将函数的图象向上平移个单位得到的， 所以函数对称中心的纵坐标为，故C错误； 对于D，设图像向右平移个单位长度后所得函数为的解析式为 ， 则， 又因为， 所以不是偶函数，故D错误． 故选：A． 8. 设函数,若有四个不同的零点，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数的图象，结合直线与函数 图象的交点个数可得出的取值范围，再利用对称轴将所求式子消元处理，再整体换元令，转化为求的值域可得. 【详解】令， 由有四个不同的零点， 则与有四个不同的交点， 令，解得或， 故当或时，；当时，； 且当，； 解方程，得； 作函数的图象，对称轴为. 要使与有四个不同的交点，如图可得. 又满足， 则，可得. 因为图象关于对称，所以， 则， 则，令，则， 构造函数，， 由，函数在单调递增， 则，即. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 已知等差数列的前项和为，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据，通过得出，判断A，通过得出，进而推出，判断B的正误，等差数列中，由，结合等差数列性质可得的最大值为，判断C，借助等差数列性质，将转化为，结合，得出，判断D. 【详解】对于A选项，因为，所以，故，A正确， 对于B选项，因为，所以，即，又， 所以，B正确， 对于C选项，因为，，所以数列的公差小于0， 且当时，，当时，， 所以的最大值为，C正确， 对于D选项，，所以D错. 故选：ABC. 10. 陕西省某中学体能测试成绩服从正态分布，已知，则下列说法正确的是（ ）（参考数据：） A. B. C. 若随机抽取3名学生，则至少2人成绩超过75的概率为 D. 若随机抽取100名学生，则成绩超过85的人数期望为20 【答案】BD 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性判断B；结合正态分布的原则判断A；利用二项分布的概率公式判断C；利用二项分布的期望公式判断D即可. 【详解】对于B，由正态分布性质得， 则，故B正确， 对于A，当时，则，， 由正态分布性质得， 而由已知得，与题意不符，故A错误； 对于C，由正态分布性质得，， 设成绩超过75的人数为，则， 由二项分布概率公式得， 则至少2人成绩超过75的概率为，故C错误， 对于D，设成绩超过85的人数为，且， 由题意得，由二项分布的期望公式得， 则成绩超过85的人数期望为20，故D正确. 故选：BD 11. 已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于两点，为椭圆上一动点，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则到轴的距离为 B. 的最小值为6 C. 面积的最大值为 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A项，由向量关系得中点，设点坐标建立方程组求解可得；B项，设直线参数方程，代入椭圆方程，求弦长最值即可；C项，举特例，当位于长轴左顶点时，且轴时，面积大于可判断错误；D项，设直线方程联立直线与椭圆方程，取特殊点，再利用垂直关系建立方程求解参数，可得弦长不满足. 【详解】由椭圆方程，可得，则， 故右焦点， A项，由，可知三点共线，且为的中点， 设，则， 由都在椭圆上，则， 解得，则，则， 故轴，且点到轴的距离为，故A正确； B项，由椭圆方程，可得焦点， 设过焦点的直线参数方程为（为参数）， 代入椭圆方程，整理得关于的方程： ， 设分别对应参数， 则， 所以 ， 故当，即直线与轴垂直时，，故B错误； C项，当位于长轴左顶点时，即，且轴时， 由，， 则，故C错误； D项，当直线与轴重合时，则，不满足题意， 故可设直线， 联立消得， 则（）， 当位于短轴上顶点，即时，若， 则， 由代入上式化简得， ， 则将（）式代入得 整理得①； 解得或， 又由 ， 将或代入得或，故D错误； 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若直线是曲线的一条切线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设切点为，求出切线斜率，利用切点在切线上，代入方程，即可得出结论. 【详解】由曲线，得， 设直线与曲线相切于点， 所以，解得，. 故答案为： 13. 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先对已知条件两边平方，再利用三角函数的平方关系和二倍角公式，即可求解. 【详解】由已知，， 两边平方可得，， 又，所以， 所以. 故答案为： 14. 已知数列满足，且对于任意的，都有，则除以5的余数为________． 【答案】2 【解析】 【分析】先通过对递推关系式变形,通过计算前几项的余数找出周期,再根据周期计算除以5的余数. 【详解】由题目的条件可以知道,即， 所以有,且除以5的余数为2， ;除以5的余数为3， ;除以5的余数为1， ;除以5的余数为2， ;除以5的余数为3， 显然,余数呈现2,3,1的周期循环，所以，即除以5的余数与的相同为2. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若的周长为，面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角及正弦的和角公式得，即可求解； （2）利用三角形的面积公式及余弦定理，再结合条件得，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 又，所以，则，得到， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以，得， 又因为，又，得， 由的周长为， 所以，整理得到， 解得. 16. 如图，在三棱锥中，平面，，，，． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为 平面，平面，所以． 因为，所以． 又因为平面，故平面． 又因为平面，所以平面 平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）由 平面得到．由得到． 利用直线和平面垂直的判定定理得到平面，利用平面和平面的判定定理得到平面 平面； （2）由 得到以点为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，建系，写出点的坐标，求出和平面的法向量，设直线与平面所成角为， 利用数量积公式求出，从而得到直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为 ，所以以点为坐标原点， 以，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，， 设平面的法向量为， 则即，令得， 故平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知双曲线（）的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为 （1）求双曲线C的方程； （2）证明：直线AB的斜率k为定值； （3）O为坐标原点，若的面积为求直线AB的方程． 【答案】（1） （2） 设，，则, 两式相减并整理得，, 因为线段AB的中点为，则， 所以，因为，所以， 所以直线的斜率k为定值2． （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率以及右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离，求出，即得答案； （2）设，，利用点差法即可证明； （3）设出直线方程，联立双曲线方程，可得根与系数关系式，表示出弦长以及原点到直线的距离，结合三角形面积求出参数，即可求得答案. 【小问1详解】 双曲线（）右焦点的坐标为， 不妨取C的一条渐近线的方程为 即，所以 又，解得， 所以双曲线C的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设直线，联立，消去得， 因为，所以， 则， 故， 点O到直线AB的距离为 所以， 整理得，解得（舍去），则， 又因为，所以直线AB的方程为 18. 已知 （1）讨论的单调性 （2）对于恒成立；求的取值范围 （3）设，为函数的两个零点；证明． 【答案】（1）当时，在上为单调递增函数；当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. （2）； （3）证明：由（1）知，要使函数存在两个零点，则，且其最大值必须大于0， 的最大值为， 令，解得， 则存在两零点，可得， 设，为函数的两个零点，则，， 解得①，②， ①减去②得到， 解得，要证明，只需证明， 设， ， 则在上是单调递增函数，故， 设，，，， ，， ，，，. 【解析】 【分析】（1）求，讨论和这两种情况，解出的解为的单调递增区间，解出的解为的单调递减区间； （2）由（1）可知：当时，利用的单调性及特殊值可得不成立；当时，由的单调区间得到的最大值为，只需即可，解出这个不等式就是的取值范围； （3）由（1）及零点存在性定理由存在两零点可得，且，故可转化为证明，构造，利用导数法证明，由此证明. 【小问1详解】 定义域，； 当时，的解为，则在上为单调递增函数； ，的解为，的解为， 则在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. 综上可知，当时，在上为单调递增函数； 当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. 【小问2详解】 由（1）可知：当时，在上为单调递增函数，， 不满足，故不成立； 当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. 则当时，取最大值为，令，解得， 故对于恒成立的的取值范围为. 【小问3详解】 略 19. 甲乙两人进行若干局乒乓球训练赛，每局比赛必须决出胜负，且每局比赛结果相互独立．已知甲每局比赛获胜的概率为，规定先达到净胜3局者获得训练赛胜利并结束训练赛（某人的净胜局数某人胜的局数某人负的局数）． （1）记经过局比赛，甲获得训练赛胜利的概率为，求和； （2）经过若干局后，甲胜的局数与乙胜的局数的差为，记事件“时，甲最终获得训练赛胜利”发生的概率为，求证：是等比数列； （3）求甲获得训练赛胜利的概率． 【答案】（1）； （2） 由题意，​为事件“时，甲最终获得训练赛胜利”发生的概率， 由乙胜的局数即为甲负的局数，甲胜的局数与乙胜的局数的差为， 故即为甲的净胜局数，所以. 经过若干局后，假定当前， ①当时，即甲的净胜局数， 则此时甲获得训练赛胜利并结束训练赛，所以； ②当时，即甲的净胜局数，乙的净胜局数， 则此时乙获得训练赛胜利并结束训练赛，则； ③当时， 由甲的净胜局数，则乙的净胜局数为，且， 故根据比赛规则比赛并未结束，要继续下一局. 记事件“时，甲最终获得训练赛胜利”（），事件“下一局比赛甲获胜”， 下一局若甲赢（即事件发生），则；若乙赢（即事件发生），则； 因为，，，且， 所以由全概率公式得， ，即， 因此，整理得， 两边都减去，则可得， 又当时，， 故数列：是公比为2的等比数列． 即数列是公比为2的等比数列． （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知获胜条件，分析甲在不同局数下获得最终胜利的可能赛况，再结合相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算可得； （2）由题意易得与，再分析当时可进行下一局比赛，根据已知条件利用全概率公式建立递推关系，可得，经过变形证明等比数列即可； （3）利用第（2）问的等比数列结论，结合 “净胜3局（甲胜）、净胜局（乙胜）” 边界条件（即与），求解比赛初始状态下甲的最终获胜概率即可． 【小问1详解】 由题意，甲每局比赛获胜的概率为，则乙每局比赛获胜的概率为， 表示经过 3 局比赛甲获胜的概率， 由甲经过 3 局比赛获胜，又净胜局数为，则甲3局全胜， 故； 为经过5局甲获胜的概率， 某人的净胜局数=某人胜的局数-某人负的局数， 由经过5局甲才获胜，净胜局数为， 则5局中甲胜局负局，且负局必在前局中（若不在，则3 局甲全胜比赛结束），第、局均获胜， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意，甲最终获得训练赛胜利的概率即为. 记， 则， 由（2）知，数列是公比为2的等比数列， 则，解得， 所以， 又， 所以， 故甲最终获得训练赛胜利的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延安市2026年普通高中模拟测试（一） 数学试题 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 平面向量，，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 3. 公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则（ ） A. -22 B. -90 C. -3 D. -198 4. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定点A、B，且|AB|＝4，动点P满足||PA|﹣|PB||＝3，则|PA|的最小值是（ ） A. B. C. D. 5 6. 两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图像关于点中心对称 D. 图像向右平移个单位长度后的函数为偶函数 8. 设函数,若有四个不同的零点，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 已知等差数列的前项和为，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 10. 陕西省某中学体能测试成绩服从正态分布，已知，则下列说法正确的是（ ）（参考数据：） A. B. C. 若随机抽取3名学生，则至少2人成绩超过75的概率为 D. 若随机抽取100名学生，则成绩超过85的人数期望为20 11. 已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于两点，为椭圆上一动点，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则到轴的距离为 B. 的最小值为6 C. 面积的最大值为 D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若直线是曲线的一条切线，则________． 13. 已知，，则________． 14. 已知数列满足，且对于任意的，都有，则除以5的余数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若的周长为，面积为，求． 16. 如图，在三棱锥中，平面，，，，． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知双曲线（）的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为 （1）求双曲线C的方程； （2）证明：直线AB的斜率k为定值； （3）O为坐标原点，若的面积为求直线AB的方程． 18. 已知 （1）讨论的单调性 （2）对于恒成立；求的取值范围 （3）设，为函数的两个零点；证明． 19. 甲乙两人进行若干局乒乓球训练赛，每局比赛必须决出胜负，且每局比赛结果相互独立．已知甲每局比赛获胜的概率为，规定先达到净胜3局者获得训练赛胜利并结束训练赛（某人的净胜局数某人胜的局数某人负的局数）． （1）记经过局比赛，甲获得训练赛胜利的概率为，求和； （2）经过若干局后，甲胜的局数与乙胜的局数的差为，记事件“时，甲最终获得训练赛胜利”发生的概率为，求证：是等比数列； （3）求甲获得训练赛胜利的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $