精品解析：河北保定市2025-2026学年高三上学期期末考试数学试题

高三期末调研考试数学试题 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用列举法分别求得集合和，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由集合， 又由方程，可得，解得或或， 所以集合，则. 故选：A. 2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点的坐标是，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合复数的运算法则，即可求解. 【详解】因为复数的共轭复数对应的点的坐标是，可得， 所以，所以. 故选：C 3. 在等差数列中，若，则此数列的前7项和（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列性质得到，再利用前项和公式化简得到. 【详解】在等差数列中，. 故选：B. 4. 已知圆柱的上，下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的体积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，母线长为，根据题意求出，进而利用圆柱的体积公式即可求解. 【详解】设圆柱的底面半径为，母线长为，由题意得：， 因为过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形， 所以，即，所以， 所以该圆柱的体积为， 故选：D. 5. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题先利用二倍角公式得到，再利用诱导公式得到. 【详解】因为， 所以； 利用诱导公式； 故选：D. 6. 已知，点在函数的图象上，则的面积（　　） A. 既有最大值，也有最小值 B. 没有最大值，但有最小值 C. 有最大值，但没有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】设，由题得到三角形面积公式为，因为，所以. 所以面积有最大值1，无最小值. 【详解】已知，得到直线的方程为， 设，因为， 点C到直线AB的距离为； 三角形面积公式为， 因为 ，所以，所以. 所以面积有最大值1，无最小值. 故选：C. 7. 函数，则导函数的展开式中的系数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合二项展开式的通项，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 对于展开式中最高次数为，所以的系数为； 对于的展开式中的系数为 对于的展开式中的系数为， 所以的展开式中的系数为. 故选：B. 8. 已知椭圆的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为为椭圆与抛物线的公共点，满足表示直线的斜率，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，由结合椭圆的定义得， 由两点间距离公式得，解得，代入抛物线方程求出点坐标， 再代入椭圆求出离心率，利用斜率公式即可求解. 【详解】设点，由题意得：， 因为，又， 所以， 所以，解得， 又点在抛物线上，所以， 又点在椭圆上，所以， 所以，即，又， 所以，即， 所以，解得， 又， 所以， 所以， 故选：A. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，平面，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】使用空间中直线与平面、直线与直线的平行、垂直判定定理与性质判断选项即可. 【详解】对于选项A：反例：若，，则，此时符合条件但不符合结论，故A选项错误； 对于选项B：已知，则设所在的平面与的交线为，由线面平行性质可得， 因为，所以有，因为是内的一条直线，故，故B选项正确； 对于选项C：若，且，则，若，则，故C选项正确； 对于选项D：反例：若两两垂直，则有它们的交线，此时符合条件但不符合结论，故D选项错误； 故选：BC. 10. 是关于的方程，则（　　） A. 方程可以表示半径为的圆 B. 当时方程表示焦点在轴上的椭圆 C. 是方程表示焦点在轴上的椭圆的必要不充分条件 D. 是方程表示双曲线的充要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合圆的方程及椭圆的方程、双曲线的方程的特征，逐项分析判断即可求解. 【详解】方程表示圆的条件是，即， 此时方程为，即，半径为，故A正确； 当时，，则，所以， 表示焦点在轴上的椭圆，故B正确； 方程表示焦点在x轴上的椭圆的条件是， 得到，所以是表示焦点在轴上的椭圆的充分不必要条件，故C错误； 方程表示双曲线的条件是，即， 所以，所以是方程表示双曲线的充要条件，故D正确. 故选：ABD. 11. 将函数图象向左平移个单位长度得到函数的图象．在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，则（　　） A. 且 B. 且 C. 且 D. 若在的最大值与最小值的差为2，则的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题目信息求出，通过举例判断AC；假设，证明可判断B；分为和两种情况求的范围可判断D. 【详解】， 则， 令，解得，由题意可知，作出的图像如下图： 假设，则，解得， 因为时不等式无解，所以， 取，在区间上单调递减， 此时函数的最大值， 在区间上单调递减，此时函数的最大值， 所以且，故A正确； 取，在区间上单调递减，在上单调递增， 根据函数对称性可知此时函数的最大值， 在区间上单调递增，此时函数的最大值， 所以且，故C正确； 假设，所以，解得， 因为时不等式无解，所以， 此时由图可知，当时，，所以在区间上的最大值， 所以不且，故B错误； 对于D，当时，由图象易知， 当时，不妨设，，则， 即， 所以， 因为，所以，所以， 即，又，则， 所以， 综上，的值域为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 圆与圆的公共弦的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先找出两个圆的圆心和半径，判断两圆相交，得出两个圆公共弦所在直线方程，计算圆心到直线的距离，利用几何法求出弦长即可. 【详解】由圆，圆心，半径为， 圆，圆心，半径为， 所以圆心距为：， 由， 即， 所以圆与圆相交，联立， 相减得两个圆公共弦所在直线方程为：， 由圆心到直线的距离为：， 所以所求弦长为：， 故答案为：. 13. 在中，内角的对边分别是．已知，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】因为，化简得到，由余弦定理，得到，所以三角形面积为. 【详解】因为， 由余弦定理得到，化简得到， 由余弦定理，得到； 得到； 所以三角形面积为. 故答案为：. 14. 为深入开展宪法宣传工作，提升公民法治素养，某市教育局举办了宪法普法知识答题活动．现有甲、乙两所学校晋级决赛，本次决赛计分规则：参赛学校抢到答题权且作答正确的，每题计1分；未抢到答题权，或抢到答题权但作答错误，均不计分．终止规则：任一参赛学校得分比另一校多2分或五道比赛题目全部答完．已知两校每道题抢到答题权的概率均为，且每所学校答对每道题的概率均为．答完两题后，甲校得2分的概率为___________；设活动结束时，两校一共答了道题，则的数学期望为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意第一空转化为两个相互独立事件同时发生的概率可得；第二空将“两校一共答了道题”根据得分情况分类，分别求出随机变量的所有可能取值，每一取值分别对应转化为互斥事件的和事件求解概率即可，利用数学期望的公式求解即可. 【详解】甲校在每题中得1分的概率为， 记事件“答完两题后，甲校得2分”， 所以； 依题意，每道题的答题结果有以下3种： 甲校抢到且答对得1分，此时乙校得0分，概率为； 乙校抢到且答对得1分，此时甲校得0分，概率为； 不论哪校抢到都答错，即甲乙两校都得0分，概率为； 两校一共答的题目数的可能取值为， 表示某校前2道得2分，对方得0分； 表示某校第3道得1分，前2道只得1分，且对方得0分； 表示第4道得1分，前3道只得1分，且对方得0分，或者第3道和第4道共得2分，前2道只得1分，且对方得1分； ， ， ，； 故的分布列列表如下： 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列的前项和为，其公比，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，化简得到，再利用化简得到 ，所以. （2）由（1）得，所以，利用裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，即 化简得到，因为，所以， 因为，所以，即，所以， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得，所以， 所以； . 所以数列的前项和. 16. 某公司研发的图像识别模型用于检测工业零件是否为次品，此模型正确识别次品的概率为0.9，将正品误判为次品的概率为0.025，每次检测相互独立．现有一大批零件，其中次品零件占20%，正品零件占80%． （1）求某个零件经过该模型检测后被判断为次品的概率； （2）若用该模型检测10个零件，记被判断为次品的零件数量为，求的均值和方差． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式直接求解即可； （2）由题意X服从二项分布，所以均值，方差. 【小问1详解】 设事件 A为 “零件是次品”，事件 B 为 “零件被判断为次品”， 由题意：，，； 根据全概率公式； 所以某个零件经过该模型检测后被判断为次品的概率为. 【小问2详解】 由题意，检测 10 个零件，每次判断相互独立，且每次被判断为次品的概率为 ， 因此X服从二项分布. 所以均值，方差. 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，，． （1）求三棱锥的体积； （2）点分别在线段上移动，且，． （i）求点之间的距离（用表示）； （ii）当最小时，求二面角的余弦值． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）证明为三棱锥的高，再利用三棱锥体积公式即可求解； （2）（i）建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用两点间距离公式即可求解；（ii）求出最小时的值，再求出平面和平面的法向量，利用向量法即可求出答案. 【小问1详解】 因为平面平面，，平面平面， 又平面，所以平面， 所以三棱锥的体积. 【小问2详解】 （i）以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，所以， ，则， 所以. （ii）， 则当最小时，，此时，， 则，，设平面的法向量为， 则，令，则，，则， 平面的一个法向量为，则， 又二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 18. 设双曲线的两条渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为1． （1）求双曲线的方程： （2）已知，过的直线交该双曲线右支于两点． （i）若，求直线的方程； （ii）当的外接圆圆心位于轴正半轴时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）（i）或；（ii） 【解析】 【分析】（1）由双曲线的渐近线方程得到，再由右焦点到渐近线的距离为，求得，结合，求得的值，即可求得双曲线的方程； （2）（i）设直线的方程为，联立方程组，可得，由，得到，列出方程，求得的值，即可求得直线的方程； （ii）设，结合双曲线的方程，分别化简和，得到是方程的两个实数根，得到，再由（i）中的韦达定理，列出方程，求得，进而求得点的坐标. 【小问1详解】 解：由双曲线的两条渐近线方程为，即，可得， 且右焦点到渐近线的距离为，可得，解得， 又因为且，可得，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 解：（i）由（1）知：双曲线的方程为，可得右焦点 由题意知，直线的斜率不为0，可设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，所以， 因为直线与双曲线的右支有两个交点，则满足，即，可得， 因为，可得， 又因为，可得，所以， 又由， 所以，整理得，解得或， 因为，所以，可得， 所以直线的方程为或. （ii）设，则， 因为，可得， 且在双曲线上，可得 由，可得， 将代入上式，整理得， 同理可得：若，可得， 所以是方程的两个实数根，可得， 由（i）知， 所以，即，解得，所以， 所以，因为，所以，可得， 所以，因为，所以，即点的坐标为. 19. 已知函数. （1）讨论函数极值点的个数，并说明理由； （2）当时，过点存在三条直线与曲线相切，切点横坐标分别为，证明： （i）若，则； （ii）若，则． （注：e是自然对数的底数） 【答案】（1）当时，函数无极值点；当时，函数有一个极值点.理由见解析. （2）当时，，. 因为过点存在三条直线与曲线相切，切点横坐标分别为， 所以其切线的斜率为. 所以其切线方程分别是，即方程有三个不同的根， 即有三个不同的根. 令，则有三个零点. . （i）若，则. 当或时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. ，即. 令，恒成立，所以是增函数. 所以，即. 所以. （ii）若， 由（i）在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 所以. 令，则，即为，即. 记，则为方程的三个不同实数根. 设. 要证，只需证. 即证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证. 因为，且， 所以， 所以， 故即证：. 即证. 即证. 令，则. 令，则， 所以单调递增，所以，所以，所以是增函数. 因为，所以， 即， 即. 令. 令， 则，而，故, 所以在上单调递减，所以. 因为恒成立，所以，即. 所以是增函数，所以， 即，即，即. 即得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，从而确定其极值点的个数； （2）将过点存在三条直线与曲线相切，转化为即方程有三个不同的根，化简并构造新函数，转化为有三个零点，利用导数分析函数单调性及极值证明.令，则，即为，即.记，则为方程的三个不同实数根.设，通过构造函数，利用导数分析函数的单调性、最值，进行证明. 【小问1详解】 函数的定义域为. . 当时，恒成立，所以单调递增，所以无极值点； 当时，令，则；令，则. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以有一个极小值点，即，无极大值点. 综上所述，当时，函数无极值点；当时，函数有一个极值点. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三期末调研考试数学试题 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点的坐标是，则（　　） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，若，则此数列的前7项和（　　） A. B. C. D. 4. 已知圆柱的上，下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的体积为（　　） A. B. C. D. 5. 已知，则（　　） A. B. C. D. 6. 已知，点在函数的图象上，则的面积（　　） A. 既有最大值，也有最小值 B. 没有最大值，但有最小值 C. 有最大值，但没有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值 7. 函数，则导函数的展开式中的系数为（　　） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为为椭圆与抛物线的公共点，满足表示直线的斜率，则（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，平面，则（　　） A. B. C. D. 10. 是关于的方程，则（　　） A. 方程可以表示半径为的圆 B. 当时方程表示焦点在轴上的椭圆 C. 是方程表示焦点在轴上的椭圆的必要不充分条件 D. 是方程表示双曲线的充要条件 11. 将函数图象向左平移个单位长度得到函数的图象．在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，则（　　） A. 且 B. 且 C. 且 D. 若在的最大值与最小值的差为2，则的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 圆与圆的公共弦的长为___________． 13. 在中，内角的对边分别是．已知，则的面积为___________． 14. 为深入开展宪法宣传工作，提升公民法治素养，某市教育局举办了宪法普法知识答题活动．现有甲、乙两所学校晋级决赛，本次决赛计分规则：参赛学校抢到答题权且作答正确的，每题计1分；未抢到答题权，或抢到答题权但作答错误，均不计分．终止规则：任一参赛学校得分比另一校多2分或五道比赛题目全部答完．已知两校每道题抢到答题权的概率均为，且每所学校答对每道题的概率均为．答完两题后，甲校得2分的概率为___________；设活动结束时，两校一共答了道题，则的数学期望为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列的前项和为，其公比，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 某公司研发的图像识别模型用于检测工业零件是否为次品，此模型正确识别次品的概率为0.9，将正品误判为次品的概率为0.025，每次检测相互独立．现有一大批零件，其中次品零件占20%，正品零件占80%． （1）求某个零件经过该模型检测后被判断为次品的概率； （2）若用该模型检测10个零件，记被判断为次品的零件数量为，求的均值和方差． 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，，． （1）求三棱锥的体积； （2）点分别在线段上移动，且，． （i）求点之间的距离（用表示）； （ii）当最小时，求二面角的余弦值． 18. 设双曲线的两条渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为1． （1）求双曲线的方程： （2）已知，过的直线交该双曲线右支于两点． （i）若，求直线的方程； （ii）当的外接圆圆心位于轴正半轴时，求点的坐标． 19. 已知函数. （1）讨论函数极值点的个数，并说明理由； （2）当时，过点存在三条直线与曲线相切，切点横坐标分别为，证明： （i）若，则； （ii）若，则． （注：e是自然对数的底数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $