分式的化简求值问题、以分式运算为背景的材料阅读类问题专项训练-2026年中考数学一轮复习

分式的化简求值问题、以分式运算为背景的材料阅读类问题专项训练 分式的化简求值问题、以分式运算为背景的材料阅读类问题专项训练 考点目录 分式的化简求值问题 以分式运算为背景的材料阅读类问题 考点一 分式的化简求值问题 例1．（2026·重庆大渡口·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 例2．（2025·陕西西安·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 例3．（2025·四川广元·一模）先化简、再求值：其中x为方程的根． 例4．（2026·陕西西安·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 变式1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 变式2．（2026·广东中山·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 变式3．（2025·黑龙江大庆·三模）先化简，再求值：，其中m满足． 变式4．（2026·江苏苏州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 考点二 以分式运算为背景的材料阅读类问题 例1．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值（此时x满足A，B均有意义），有或为定值，则称代数式A，B互为关于x的“关联代数式”．例如：，因为，所以A，B互为关于的“关联代数式”．根据该约定，解答下列问题． (1)判断下列各式是否互为关于的“关联代数式”．若是，则在横线中划“√”，若不是，则划“×”． ①与；___________ ②与；___________ ③与；___________ (2)若关于的代数式，，A，互为关于的“关联代数式”，求的值； (3)若关于的代数式，，A，B互为关于的“关联代数式”，且满足，求此时的值． 例2．（25-26八年级上·广东汕头·期末）（1）【观察】；； 【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明． （2）【拓展】 ①利用你发现的规律计算：； ②利用上述规律解答：若的值为，求n的值． 例3．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）不妨定义：如果两个代数式A，B的值满足，则称A，B具有和谐关系．当具有和谐关系的两个代数式A，B都是整式时，则称A，B互为和谐整式；当具有和谐关系的两个代数式A，B都是分式时，则称A，B互为和谐分式． (1)判断下列说法的正误，对的打“√”，错误的打“×”． ①整式与对任意x都具有和谐关系；（  ） ②分式 与 互为和谐分式；（  ） ③如果分式与互为和谐分式，则．（  ） (2)当时， 如果分式与始终互为和谐分式，求a和b的值； (3)已知x，y都是整数，当整式与互为和谐整式时，求x、y的值． 例4．（25-26八年级上·北京密云·期末）如果两个分式M与N的和为k（k为正整数），则称M与N互为“和整分式”，其中k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，求出k的值； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且． ①求G所代表的代数式； ②若x为整数，分式D的值为正整数，直接写出x的值． 变式1．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）由，得；如果，是两个正数，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．应用上面的结论解答下列问题： (1)当，式子的最小值为 ； (2)已知，求分式的最小值． (3)若m，n都为正数，且满足，若不等式恒成立，求实数x的取值范围． 变式2．（25-26八年级上·北京石景山·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 第1个等式； 第2个等式； 第3个等式； 第4个等式； 第5个等式_________（根据规律填空） (2)观察、归纳、得出猜想． 第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数） (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律． 若（a，b均为正整数），则的值为_________． 变式3．（25-26八年级上·广东韶关·期末）阅读以下材料，并解答相关问题． 【背景材料】一个容器装有水，按照以下规则倒水：第1次倒出水；第2次倒出的水量是的，即；第3次倒出的水量是的，即；第4次倒出的水量是的，即；；第次倒出的水量是的，即；按照这种倒水的方法，这水经过多少次可以倒完?为什么? 数学兴趣小组的同学们将上面的问题抽象成数学问题加以解决． 【规律探究】探索发现： （1）填空：；（n为正整数）； 【解决问题】 （2）按照背景材料中的方案，倒出10次后，总共倒出的水量是多少？ （3）若倒出次后，总共倒出的水量是多少？容器中的水能否被倒完？请说明理由； 【拓展运用】 （4）运用（1）中得到的规律解方程： 变式4．（25-26八年级上·贵州安顺·期末）我们定义：若两个分式与的和为一个分式，且分式的分子为常数，分母为关于的一次整式，则称与是“合分式”，这个常数称为与关于的“合值”．例如：分式，，，则与是“合分式”，与关于的“合值”为3． 解决下列问题： (1)已知分式，是“合分式”.求与关于的“合值”为_____； (2)已知分式（其中是常数，且），，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，求常数的值； (3)已知分式，，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，若分式的值为正整数，且为整数，求满足条件的的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $分式的化简求值问题、以分式运算为背景的材料阅读类问题专项训练 分式的化简求值问题、以分式运算为背景的材料阅读类问题专项训练 考点目录 分式的化简求值问题 以分式运算为背景的材料阅读类问题 考点一 分式的化简求值问题 例1．（2026·重庆大渡口·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解： ， 由题意得， ， ∴． 例2．（2025·陕西西安·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 例3．（2025·四川广元·一模）先化简、再求值：其中x为方程的根． 【答案】，当时，分式的值为 【详解】解：原式 ． 解方程，得或， ∵且， ∴且， ∴， 当时，原式． 例4．（2026·陕西西安·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【详解】解： ， 当时，原式． 变式1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时， 原式． 变式2．（2026·广东中山·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 当时， 原式＝． 变式3．（2025·黑龙江大庆·三模）先化简，再求值：，其中m满足． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当，即时， 原式 变式4．（2026·江苏苏州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ． 当时，原式． 考点二 以分式运算为背景的材料阅读类问题 例1．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值（此时x满足A，B均有意义），有或为定值，则称代数式A，B互为关于x的“关联代数式”．例如：，因为，所以A，B互为关于的“关联代数式”．根据该约定，解答下列问题． (1)判断下列各式是否互为关于的“关联代数式”．若是，则在横线中划“√”，若不是，则划“×”． ①与；___________ ②与；___________ ③与；___________ (2)若关于的代数式，，A，互为关于的“关联代数式”，求的值； (3)若关于的代数式，，A，B互为关于的“关联代数式”，且满足，求此时的值． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2)2090 (3) 【详解】（1）解：①∵，为定值 ∴与互为关于x的“关联代数式”． ②∵ ， 它们都不是定值， ∴与不是互为关于x的“关联代数式”． ③∵，为定值， ∴与互为关于x的“关联代数式”． 故答案为：①√；②×；③√． （2）解：∵，， ∴ ， ∵A，互为关于的“关联代数式”，且无论a，b取何值，都不为定值， ∴为定值， ∴， ∴ ∴ ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∵A，B互为关于的“关联代数式”， ∴为定值或为定值， ①当为定值时，，， ∴， 不合题意，舍去． ②当为定值时，，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的值为． 例2．（25-26八年级上·广东汕头·期末）（1）【观察】；； 【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明． （2）【拓展】 ①利用你发现的规律计算：； ②利用上述规律解答：若的值为，求n的值． 【答案】（1），证明见解析；（2）①；②25 【详解】（1）解：第n个等式为：； 证明如下： ． （2）解：① ． ②∵ ， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， 的值为25． 例3．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）不妨定义：如果两个代数式A，B的值满足，则称A，B具有和谐关系．当具有和谐关系的两个代数式A，B都是整式时，则称A，B互为和谐整式；当具有和谐关系的两个代数式A，B都是分式时，则称A，B互为和谐分式． (1)判断下列说法的正误，对的打“√”，错误的打“×”． ①整式与对任意x都具有和谐关系；（  ） ②分式 与 互为和谐分式；（  ） ③如果分式与互为和谐分式，则．（  ） (2)当时， 如果分式与始终互为和谐分式，求a和b的值； (3)已知x，y都是整数，当整式与互为和谐整式时，求x、y的值． 【答案】(1)① ×；②√；③ × (2) (3)或 或或 【详解】（1）解：①， ∵对于任意的x，的值不一定为1， ∴整式与对任意x不一定具有和谐关系，故错； ②， ∴分式 与 互为和谐分式，故对； ③当分式与互为和谐分式时，则， ∴， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，故错； （2）解：∵当时， 如果分式与始终互为和谐分式， ， ∴， ∴， ∵当时，等式恒成立， ∴， ∴； （3）解：∵与互为和谐整式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵都是整数， ∴都是整数， ∵， ∴或 或 或 解得或 或或． 例4．（25-26八年级上·北京密云·期末）如果两个分式M与N的和为k（k为正整数），则称M与N互为“和整分式”，其中k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，求出k的值； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且． ①求G所代表的代数式； ②若x为整数，分式D的值为正整数，直接写出x的值． 【答案】(1)是， (2)①②或0 【详解】（1）解：， 与互为“和整分式”，“和整值” ； （2）解：①，，与互为“和整分式”，且“和整值” ， ， ， ； ②， ． 分式的值为正整数， 或， 当时，， 当时，， 值为或0． 变式1．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）由，得；如果，是两个正数，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．应用上面的结论解答下列问题： (1)当，式子的最小值为 ； (2)已知，求分式的最小值． (3)若m，n都为正数，且满足，若不等式恒成立，求实数x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， 由结论，得   ， 当且仅当，即时等号成立， ∴式子的最小值为． 故答案为：； （2）解： ； ， ，， 由结论，得     ， 当且仅当时，等号成立， 即， ， ， 则当，有最小值，           ∴的最小值为； （3）解： ， （其中）， 当且仅当时，等号成立， 即， （m，n都为正数）， ∴当（m，n都为正数）时，有最小值8； ∵不等式恒成立     ∴，   即或                          解得或无解， 综上所述． 变式2．（25-26八年级上·北京石景山·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 第1个等式； 第2个等式； 第3个等式； 第4个等式； 第5个等式_________（根据规律填空） (2)观察、归纳、得出猜想． 第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数） (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律． 若（a，b均为正整数），则的值为_________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：第n个等式为， 故答案为：； （3）证明： ； （4）解：根据和，得 ， 解得， ∴， 故答案为：． 变式3．（25-26八年级上·广东韶关·期末）阅读以下材料，并解答相关问题． 【背景材料】一个容器装有水，按照以下规则倒水：第1次倒出水；第2次倒出的水量是的，即；第3次倒出的水量是的，即；第4次倒出的水量是的，即；；第次倒出的水量是的，即；按照这种倒水的方法，这水经过多少次可以倒完?为什么? 数学兴趣小组的同学们将上面的问题抽象成数学问题加以解决． 【规律探究】探索发现： （1）填空：；（n为正整数）； 【解决问题】 （2）按照背景材料中的方案，倒出10次后，总共倒出的水量是多少？ （3）若倒出次后，总共倒出的水量是多少？容器中的水能否被倒完？请说明理由； 【拓展运用】 （4）运用（1）中得到的规律解方程： 【答案】（1），；，； （2）； （3）总共倒出的水量是，水不能被倒完，因为； （4） 【详解】（1）解：根据已知规律，， 可得；(为正整数)； 故答案为：，；，． （2）解：倒出次后总水量为； （3）解：倒出次后总水量为． ∵(为正整数)，即总倒出水量始终小于， ∴容器中的水不能被倒完； （4）解：原方程左边=， 因此方程化为， 两边同时减去，得， 两边同乘()，得， 解得； 检验：将代入分母，，，…，， ∴是原方程的解； 故答案为：． 变式4．（25-26八年级上·贵州安顺·期末）我们定义：若两个分式与的和为一个分式，且分式的分子为常数，分母为关于的一次整式，则称与是“合分式”，这个常数称为与关于的“合值”．例如：分式，，，则与是“合分式”，与关于的“合值”为3． 解决下列问题： (1)已知分式，是“合分式”.求与关于的“合值”为_____； (2)已知分式（其中是常数，且），，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，求常数的值； (3)已知分式，，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，若分式的值为正整数，且为整数，求满足条件的的值． 【答案】(1)2 (2)常数 (3)的值为：3或7或 【详解】（1）解：根据题意可知，， 与关于的“合值”为：2； 故答案为：2； （2），， ， 与是“合分式”，且与关于的“合值”为1， 所以能与分母进行约分，且约分后分子为， 若与约分，则，解得， 时，，符合题意； 若与约分，则，解得（舍去）； ； （3），， ， 与是“合分式”，且与关于的“合值”为1， ， ， ， 分式的值为正整数，为整数， 是的整数倍， 取1或5或， 此时的值为：3或7或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $