山东省菏泽市2025-2026学年高二上学期期末复习数学试卷

山东省菏泽市2025-2026学年高二上学期期末复习数学试卷 一、单选题 1．已知向量，，若，则（   ） A． B．1 C． D． 2．已知椭圆，若圆心在坐标原点，直径为a的圆与该椭圆有四个交点，则称该椭圆为“圆椭圆”，则下列椭圆中是“圆椭圆”的是（    ） A． B． C． D． 3.若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，则不可能取（ ） A． B．5 C． D．6 4．若数列满足“对任意正整数都有”，则称数列具有“性质”. 则（   ） A．若数列具有“性质"，则数列为等比数列 B．存在等比数列具有“性质” C．若数列为等差数列，则数列具有“性质” D．若数列具有“性质”，则数列为等差数列 5．一束光自发出，被平面反射后到达点被吸收，则光线所走的路程（ ） A． B． C． D．3 6．已知双曲线的焦点为，，若点是双曲线上任意一点，且满足(其中为坐标原点) ，则双曲线的渐近线方程为(    ). A． B．y C． D． 7．已知数列满足，，，设其前项和为，则（    ） A．2400 B．2500 C．2600 D．2700 8．已知抛物线：的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，点为轴上一点（，，三点不共线），满足的面积是面积的2倍，则直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题 9．已知向量，，则下列说法不正确的是（    ） A．向量与向量共面 B．向量在向量上的投影向量为 C．若两个不同的平面的法向量分别是，则 D．若平面的法向量是，直线的方向向量是，则直线与平面所成角的余弦值为 10．（多选）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A．存在使得 B．的最小值为 C．，则的面积为 D．直线与直线斜率乘积为定值 11．对于给定的数列，对任意的，总存在，使得，则称为“数列”，则（    ） A．若，则数列是“数列” B．若，则数列是“数列” C．若数列是“数列”，则数列也是“数列” D．若项数有限的数列是“数列”，且各项互不相等，则项数的最大值为3 三、填空题 12．如图，已知正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上，则 . 13．在空间直角坐标系Oxyz中，P是坐标平面xOy内一动点，，，当最小时P的坐标为___________. 14．将数列与的所有项放在一起，按从小到大的顺序排列得到数列，其前n项的和为，则 ， ． 四、解答题 15．已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程. (2)若直线的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹. 16．已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，． (1)求，的通项公式； (2)已知数列的前n项和为，且． ①证明：数列是等比数列； ②设数列满足，求的前n项和． 17．如图，已知，点P在圆上运动，线段PQ的垂直平分线交线段PM于点N，设动点N的轨迹为曲线C．    (1)求C的方程； (2)过点且斜率为k的直线l与曲线C交于D，E两点，求面积的最大值（O为原点）． 18．如图，在平行六面体中，点在底面的射影为点，． (1)求证：平面平面； (2)已知点在线段上（不含端点），且平面与平面的夹角为，求与平面所成角的正弦值． 19．抛物线C：，点在C上.按如下方式依次构造点、3、：过点作斜率为的直线与C交于点令为关于x轴的对称点，的坐标为 (1)求弦长； (2)证明：数列是等差数列，并求和； (3)记为的面积，求 答案第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省菏泽市2025-2026学年高二上学期期末复习数学试卷参考答案 1．A 【分析】依题意可得存在实数使得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，且， 所以，即， 所以，解得， 即． 故选：A. 2．B 【分析】根据题意可得，依次判断各选项即可得出结果． 【详解】根据题意可得：，即， 对于A选项，椭圆方程为，则，不符合，故A错误； 对于B选项，椭圆方程为，则，符合，故B正确； 对于C选项，椭圆方程为，则，不符合，故C错误； 对于D选项，椭圆方程为，则，不符合，故D错误. 故选：B． 3．D 【分析】求出圆心到直线的距离，使得圆心到直线的距离与半径的差的绝对值小于1，即可满足题意，求出r的范围． 【详解】∵圆心到直线的距离， 圆上恰有相异两点到直线的距离等于1， ∴，即， ∴． 则不可能取值为6． 故选：D． 4．D 【分析】由“性质”的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于B，假设等比数列具有“性质”，设， ，， 若，则， ， 则，不存在使得等式成立，故B错误. 对于C，取，，， 但，故C错误； 对于A，D，若数列具有“性质”， 取，则，所以， 所以数列是公差为的等差数列，故A错误，D正确. 故选：D. 5．C 【分析】根据光的反射定律可知，入射光线必过点，代入两点间距离公式即可. 【详解】∵入射光线被平面反射后到达点且被吸收，根据光的反射定律可知入射光线必过点，故光经发射到吸收所走过的路程为. 故选：C. 6．D 【详解】设，则，由焦半径公式可知，，其中为双曲线的离心率. 易知，则由，有， 可得，则，故双曲线C的渐近线方程为. 故选：D. 7．B 【详解】， 当是奇数时，即， ， 当是偶数时，即， 偶数项是首相为，公差为的等差数列， 99项中有50个奇数项49个偶数项， . 故选：B. 8．D 【详解】 由题意知，点，设直线的方程为，， 联立，得， 所以， 因为点为轴上一点，的面积是面积的2倍， 所以， 又因为三点共线， 所以，即， 即， 所以， 即， 所以， 故选：D. 9．ACD 【详解】对于A中，设，可得， 此时，方程组无解，所以向量与向量不共面，所以A错误； 对于B中，由向量， 可得向量在向量上的投影向量为，所以B正确； 对于C中，若两个不同的平面的法向量分别是， 因为，所以与不垂直，所以平面与平面不垂直，所以C错误； 对于D中，若平面的法向量是，直线的方向向量是， 设直线与平面所成角为，其中，则， 所以，所以D错误. 故选：ACD. 10．BC 【分析】由椭圆方程得，，，利用向量的数量积得最大张角的余弦符号，可判断张角的大小，对焦点三角形使用余弦定理可得的最值，利用三角形公式可求得焦点三角形面积，设椭圆上一点，通过坐标运算可以得到的值. 【详解】设椭圆短轴上下顶点分别为，， 由题知椭圆：中，，，， 所以，，，，，， 对于A选项，由于，，， 所以的最大角为锐角，故不存在使得，A错误； 对于B选项，记，，则， 由余弦定理： ， 当且仅当时等号成立，B正确； 对于C选项，由于， 由焦点三角形面积公式得到，C正确； 对于D选项，设（），， 则，，， 于是，D错误. 故选：BC. 11．BCD【详解】对于A，若，则是等比数列，由，得，所以不是“数列”，A错误； 对于B，若，对任意，则，又，则存在，使得，所以数列是“数列”，B正确； 对于C，若是“数列”，则，由，得，所以是“数列”，C正确； 对于D，因为各项互不相等，若是“数列”中的一项， 可知是数列中的项，取，解得或，即0，1可能符合题意， 若，则，即也可能符合题意，对于数列是“数列”， 假设数列还有其他项是“数列”，取， 则存在，使得；取，则存在，使得，； 依此类推，可得到，此时数列不满足项数有限，即假设不成立， 可知数列不存在其他项，所以项数的最大值为3，故D正确. 故选：BCD. 12． 【分析】根据题意，不妨设在坐标原点，根据正方形和抛物线的对称性，得到点和点关于轴对称，求得点的坐标，代入计算，即可求解. 【详解】因为正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上， 根据抛物线和正方形的对称性，不妨设在坐标原点，则点和点关于轴对称， 由正方形的边长为2，所以，， 所以，解得. 故答案为：. 13． 【分析】先利用对称找出的位置，再结合三角形相似以及空间向量的运算即可求解 【详解】过点作平面xOy垂线，垂足为，延长到，使得， 过点作平面xOy垂线，垂足为， 则，，， 因为与关于平面xOy对称， 所以， 所以当最小时点P是连接与平面xOy的交点， 连接，易知共面，且与相似， 所以， 所以， 设，则， 所以，解得， 所以P的坐标为， 故答案为：    14． 6 15660 【分析】先求的前4项，确定数列的第108项大小为324，从而可根据数列的第8项与第9项的数值来确定的值. 【详解】数列中，， 数列的第108项为，而数列的第8项为，第9项， 数列其前n项的和为，等差数列算到是的第100项时，包含恰好的前8项， ∴． 故答案为：6；15660. 15．(1) (2)的轨迹是以为圆心，为半径的圆，轨迹方程是 【分析】（1）由于圆上的弦的垂直平分线经过圆心，从而利用两直线的交点求出圆心，进而求出半径；（2）设，进而利用是线段中点表示出的坐标，再利用在圆上求出满足的方程，进而判断点的轨迹. 【详解】（1） 线段AB的中点D的坐标为，直线AB的斜率为. 所以线段AB的垂直平分线的斜率为， 所以线段AB的垂直平分线的方程为，即. 圆心在线段的垂直平分线上，也在直线上，故 ，解得. 故圆心的坐标为. 圆的半径 所以圆C的标准方程为. （2）设，由于是线段的中点，且. 所以. 又由于点在圆上，故. 化简得M点的轨迹方程为： 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 16．(1)， (2)①证明见解析；② 【详解】（1）是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为d，公比为， 由，，，， 可得，，解得：（负的舍去）， 则，； （2）①当时，，即， 当时，联立， 作差可得，即， 所以，由可知，， 所以，即是以2为首项，2为公比的等比数列； ②由①可得，则，， 所以 ． 17．(1) (2) 【分析】（1）利用中垂线的性质，转化，再结合椭圆的定义，即可求椭圆方程； （2）首先直线方程与椭圆方程联立，利用韦达表示三角形的面积，再结合斜率的范围，以及基本不等式求最值. 【详解】（1） AI   如图，易知圆的圆心为，半径为4， 由题得，， 所以动点N的轨迹是以M、Q为焦点的椭圆， 不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距为，其中， 所以的方程为 （2）由题意得直线，由，， 令， 所以，即或． 设，则， 点到直线的距离 所以 ， 令，则， 则， 当且仅当即时，等号成立， 所以面积的最大值为．    18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由余弦定理得、勾股定理得，再由面面垂直的判定定理可得答案； （2）以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，求出平面、平面的一个法向量，由面面角的向量求法求出，再由线面角的向量求法可得答案. 【详解】（1）因为平面平面，故， 在中，，由余弦定理得： ， 得，故，则， 因为平面，所以平面， 而平面，所以平面平面； （2）由（1）知，两两垂直，如图所示，以为坐标原点， 所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 故，， 所以， 设，则， 即，所以； 设为平面的一个法向量， 则， 令，则，所以， 因为轴平面，则可取为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则，解得，故， ，， 设与平面所成角为，则. 19．(1) (2)证明见解析，， (3)【详解】（1）由点在抛物线C：上，可得，解得， 则抛物线的方程为，可得直线的方程为， 由，解得，即，可得， 则； （2）设过点且斜率为的直线为， 与抛物线的方程，联立可得， 由韦达定理可得，即， 则数列是首项和公差均为1的等差数列， 可得，； （3）    由（2）可得，同理可得，， ，， ， 直线的方程为，即， 设点到直线的距离为d， 则， 所以. 【点睛】关键点点睛：设出过点且斜率为的直线为，与抛物线方程联立后，结合韦达定理可得，从而利用等差数列的定义证明即可. 答案第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $