检测2集合与常用逻辑用语 能力卷-2025-2026学年高一上学期数学寒假作业之单元检测（人教A版）

检测2集合与常用逻辑用语-能力卷 1、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 4．“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 7．已知集合，且，则（　　） A．-1 B．1 C．±1 D．2 8．已知，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2、 多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列命题正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“，”的否定是“，” D．命题“，”是假命题 10．对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 11．已知全集，，则下列选项正确的为（ ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．已知集合，，若，则 . 13．已知集合，，则的所有非空子集的个数为 . 14．已知集合，，，若，则实数m的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．设集合，． (1)若，求； (2)若，求实数m的取值范围． 16．已知全集，集合，． (1)求； (2)求； (3)求． 17．已知函数的定义域为，的定义域为. (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围． 18．已知集合. (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 19．设非空数集，若，都有，则称是一个“乘法封闭集”；若，有，则称为的一个“完美元素”. (1)已知含有两个元素的集合是一个“乘法封闭集”，求集合； (2)已知集合. （i）判断集合是否是一个“乘法封闭集”，并说明理由； （ii）若是集合的一个“完美元素”，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 检测2集合与常用逻辑用语-能力卷 1、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 4．“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 7．已知集合，且，则（　　） A．-1 B．1 C．±1 D．2 8．已知，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2、 多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列命题正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“，”的否定是“，” D．命题“，”是假命题 10．对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 11．已知全集，，则下列选项正确的为（ ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．已知集合，，若，则 . 13．已知集合，，则的所有非空子集的个数为 . 14．已知集合，，，若，则实数m的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．设集合，． (1)若，求； (2)若，求实数m的取值范围． 16．已知全集，集合，． (1)求； (2)求； (3)求． 17．已知函数的定义域为，的定义域为. (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围． 18．已知集合. (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 19．设非空数集，若，都有，则称是一个“乘法封闭集”；若，有，则称为的一个“完美元素”. (1)已知含有两个元素的集合是一个“乘法封闭集”，求集合； (2)已知集合. （i）判断集合是否是一个“乘法封闭集”，并说明理由； （ii）若是集合的一个“完美元素”，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C A A D B C ABD ABD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】利用交集的概念计算即可． 【详解】，故． 故选：D． 2．B 【分析】分别化简集合，利用集合相等的概念、集合间的包含关系以及交集运算即可求解． 【详解】， ， 则，，故B正确；A、C错误； ，故D错误； 故选：B． 3．C 【分析】由集合间的子集运算性质求解． 【详解】由，得或， 得或， 经检验，不合题意，故实数的取值集合为， 故选：C 4．A 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，可直接写出答案. 【详解】存在量词命题“，”的否定为“，”. 故选：A 5．A 【分析】应用不等式求解结合充分必要条件的定义即可求解． 【详解】或， 因为或， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 6．D 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为，所以两边平方得，所以“”是“”的充分条件； 当时，去掉平方得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的充要条件； 故选：D. 7．B 【分析】根据给定条件判断出，然后对进行分类讨论，最后结合集合元素的互异性求解. 【详解】因为，所以，即中的所有元素都必须属于， 又因为，，，所以， 即，得出或， 当时，，则，，满足， 当时，，则，，不满足集合元素的互异性， 综上所述，. 故选：B. 8．C 【分析】直接判断和成立的充要条件，进而可得结果. 【详解】因为由，得，即. 而要使有意义，则且，所以，得. 所以成立必有成立，而成立不一定有成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 9．ABD 【分析】从充分性，必要性两个方面分析可判断AB；利用全称命题的否定规则可判断C；利用一元二次方程判别式以及存在命题的真假性可判断D. 【详解】对于A选项：若 ，则必有 ，充分性成立； 反之，若 ，不一定有 （例如 且 ），必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B选项：若 ，则 ，不等式两边同乘以，得，即，充分性成立； 反之，取 ，满足 ，但不满足 ，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，B正确； 对于C选项：全称命题“”的否定应为“”， 而选项给出“”，C错误； 对于D选项：方程 的判别式 ，无实数根， 故命题“”为假，D正确. 故选：ABD 10．ABD 【分析】根据差集定义计算可得AB正确，结合并集运算以及差集混合运算法则，可得C错误，D正确. 【详解】依题意可得且， 当时，可得，即A正确； 同时，所以B正确； 结合A选项可得，即C错误； 易知，又， 所以，即D正确. 故选：ABD 11．ABD 【分析】根据已知有，结合已知交补运算的结果确定、，进而判断各项的正误. 【详解】由题设，又， 所以，，，则的不同子集的个数为个，B对， 由，则，故， 所以，C错，A、D对. 故选：ABD 12． 【分析】利用子集的定义求解. 【详解】，，， 集合中所有的元素都在集合中， 集合中的元素在集合中， . 故答案为：. 13．3 【分析】根据交集运算求出集合中元素个数即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以的所有非空子集的个数为. 故答案为：3 14． 【分析】根据分类讨论，分别列不等式求得的取值范围，最后根据补集思想即得. 【详解】，. 由，可分为和两种情况讨论： 当时，得. 当时，或，解得：或. 综上所述：当时，实数的取值范围为，故当时，实数的取值范围为. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】(1)结合补集的性质求，再计算交集即可； (2)由 得出，根据范围求解即可. 【详解】（1）∵，∴， 所以或， ∴； （2）∵，∴， ∴ 解得，故实数m的取值范围为． 16．(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据并集的定义即可求出； （2）根据补集的定义和交集的定义即可求出； （3）根据补集的定义和并集的定义即可求出. 【详解】（1）集合，， 根据并集的定义，得. （2）根据补集的定义可得或， 根据交集的定义，得. （3）根据补集的定义可得或， 根据并集的定义，得或. 17．(1) (2) 【分析】（1）利用根式和分式有意义求出集合，再根据集合交集的概念求解即可； （2）根据集合的包含关系求解即可. 【详解】（1）要使函数有意义，则，即， 所以，解得， 要使函数有意义，则，即， 解得，即， 当时，， 所以. （2）由（1）可知，，， 因为，所以或， 解得或， 所以实数的取值范围是 18．(1) (2) 【分析】（1）“”是“”的必要不充分条件，得到集合是的真子集，求得实数的取值范围即可； （2）求出集合，由，得，再讨论、得到实数的取值范围即可． 【详解】（1），即， 等价于，解得， 则， 又“”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集， 则，解得 综上所述，实数的取值范围为； （2），， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得 综上所述，实数的取值范围为． 19．(1)，或 (2)（i）是，证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据“乘法封闭集”的定义求解即可； （2）（i）根据“乘法封闭集”的定义进行证明即可； （ii）根据“完美元素”的定义，得到和的关系，进行讨论排除即可. 【详解】（1）设集合， 因为集合是一个“乘法封闭集”，所以，，， 所以或， 解得或，解得或， 所以或， 若令，则，所以，解得（舍去），此时， 若令，则，所以，或，解得或（舍去），此时，或， 综上，，或； （2）（i）设，则， 所以， 因为，所以，， 所以，所以是一个“乘法封闭集”； （ii）因为是集合的一个“完美元素”， 所以， 所以，且不同时为0， ， 因为，所以或， 假设，则，即为3的倍数， 设，若，则，不是3的倍数， 若，则，不是3的倍数， 若，则，不是3的倍数， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $