精品解析：内蒙古阿拉善盟额济纳旗2025-2026学年度第一学期期末教学质量监测高三数学试题

2025~2026学年度第一学期期末教学质量监测 高三数学试题 2026.1 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整､笔迹清晰. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸､试卷上答题无效. 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知，则可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集、元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题意，， 所以，则可能为， 不可能为. 故选：B 2. 已知复数，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，再用复数的除法运算可求. 【详解】，故， 故选：B 3. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】代入投影向量公式，结合数量积公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为， ，解得. 故选：A. 4. 已知等比数列满足，其前项积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可求公比，从而可求. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，解得， 又，得，解得， 所以. 故选：C. 5. 在锐角中，角的对边分别为，为的面积，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形面积公式及余弦定理得到，结合同角三角函数关系得到，，由正弦定理得到，且根据三角形为锐角三角形，得到，求出，利用对勾函数得到的最值，求出的取值范围. 【详解】由三角形面积公式可得：，故， ，故， 因为，所以， 解得：或0， 因为为锐角三角形，所以舍去， 故，， 由正弦定理得： ， 其中， 因为为锐角三角形 所以，故，所以，， ，， 令，则为对勾函数，在上单调递减，在上单调递增， 则， 又， 因为，所以， 则. 故选：C 【点睛】解三角形中求解取值范围问题，通常有两种思路，一是利用正弦定理将角转化为边，利用基本不等式进行求解，二是利用正弦定理将边转化为角，结合三角函数的图象，求出答案. 6. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面展开图是一个半圆和圆锥的表面积建立方程，解之即可得解. 【详解】设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l， 则由得， 而圆锥的表面积，即， 所以，则圆锥的底面直径为. 故选：A. 7. 将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则不可能的取值为（ ）． A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移得到，再根据奇偶性求参数即可. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到的图象，因为它是偶函数， 所以，，即． 当时，；当时，；当时，． 故选：C． 8. 已知函数的定义域为，且，为奇函数，，则 （ ） A. 2025 B. C. 4050 D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过条件可得是周期为4的函数，由为奇函数得，通过给赋值可计算出，利用函数的周期性可得结果. 【详解】因为①，所以， 所以，所以的周期为4， 因为为奇函数，所以② 令，由②得，所以， ①中令，得，所以， 令，得，所以， 综上，， ，， 所以 ， 由函数的周期性得，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题求出特殊值的函数值及周期后，关键在于发现为常数，据此4个相邻项和为一组，利用周期即可得解. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某单位在定点帮扶贫困村A村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高.村村民年这四年的人均年纯收入（单位：万元）与年份代号之间的一组数据如表所示.若与线性相关，且求得其线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ） 年份 2021 2022 2024 2025 年份代号 4 5 7 8 人均年纯收入 2.1 5.9 A. B. 2030年村人均年纯收入约为7万元 C. 预估从2025年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元 D. 2025年的人均年纯收入残差值为0.1 【答案】AC 【解析】 【分析】求出样本中心代入回归方程求参数判断A，将代入回归方程估计2030年村人均年纯收入判断B，由回归直线斜率的实际意义判断C，由残差的求法判断D. 【详解】由表中数据可知，， 线性回归方程为，则，解得，故A正确； 由2030年对应，故2030年村人均年纯收入约为万元，故B错误； 线性回归方程为，直线的斜率为1，则从2025年起，预估每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元，故C正确； 2025年的人均年纯收入残差值为，故D错误. 故选：AC 10. 如图，点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 若点满足，则动点的轨迹长度为 B. 当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质定理可得动点的轨迹为矩形，求其周长判断A；连接，以为圆心，为半径画弧，易知当在，上时直线与所成的角为，求其轨迹长判断B；取特殊位置排除C；取的中点分别为，根据面面平行的判定定理可求出点在底面上的轨迹为线段，进而求长度的最大值判断D. 【详解】选项A：因为在正方体中，平面，又平面， 所以动点的轨迹为矩形，动点的轨迹长度为矩形的周长，即为，A说法错误； 选项B：连接，以为圆心，为半径画弧，如图所示， 当点在弧上时，因为直角三角形中，所以与所成的角为， 则当点在线段和弧上时，直线与所成的角为， 又，，， 所以点的轨迹长度为，B说法正确； 选项C：当点在平面时，， 易知此时面积最大值为，所以此时三棱锥体积的最大值为，C说法错误； 选项D：取的中点分别为， 连接，如图所示， 因为，平面，平面，所以平面， ，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又因为，，， 所以平面和平面是同一个平面，则点的轨迹为线段， 在中，，， 则， 所以是以为直角的直角三角形， 所以，即线段长度最大值为，D说法正确； 故选：BD 【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹问题经常利用不动点的位置和动点位置关系，利用线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理，找出动点的轨迹进而计算出其轨迹长度. 11. 二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，由18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹发现.当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，数据在计算机中主要是以补码的形式存储的，我们用表示十进制数n在二进制下的各项数字之和，下列说法正确的是（ ） A. 十进制数25的二进制数为1101 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二进制转化判断A,B,再结合等比数列求和计算判断C,D. 【详解】根据题意：，所以十进制数25的二进制数为11001，故A错误； ，所以十进制数100的二进制数为1100100，，故B正确； 设，， 所以， ，所以，故C正确； ，所以，故D正确； 故选:BCD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某品牌袋装白砂糖的质量指标服从正态分布，则顾客甲随意买一包这种袋装白砂糖，其质量指标满足的概率为________． 附：若，则，，． 【答案】0.8186 【解析】 【分析】由正态分布的性质和对称性结合题意求解即可. 【详解】因为服从正态分布，且，， 所以， 即顾客甲随意买一包这种袋装白砂糖，其质量指标满足的概率为0.8186． 故答案为：0.8186. 13. 有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有________种． 【答案】144 【解析】 【分析】先利用捆绑法将3名女生看成一个整体，再将女生整体和3名男生一起排列. 【详解】先把3名女生捆绑到一起，有种排法， 再把她们与另外3名男生排列，有种排法， 则不同的坐法有种． 故答案为：144. 14. 在中，，，，P为边AB上的动点，沿CP将折起形成直二面角，当最短时，此时三棱锥的体积为______ ． 【答案】## 【解析】 【分析】作于点，连接，结合余弦定理表示出，即可得到当最短时的度数，再结合锥体的体积公式即可得到结果. 【详解】作于点，连接，设，则， 所以，在中，由余弦定理可得， ， 因为为直二面角，所以平面平面， 因为平面平面，，且平面， 所以平面， 因为平面，所以， 则， 当最短时，，所以， 即此时为的角平分线，， 且由角平分线定理可得，，即， 所以， 所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响． （1）求在一次猜谜活动中，有一方获胜的概率； （2）若有一方获胜则猜谜活动结束，否则猜谜继续，猜谜最多进行3次，求猜谜次数X的分布列和期望． 【答案】（1） （2）分布列为： 1 2 3 数学期望为 【解析】 【分析】（1）有一方获胜，意味着结果为一对一错，分情况用相互独立事件的乘法公式计算相加即可； （2）确定取每一个值对应时间的概率，即可求解. 【小问1详解】 设甲猜对为事件A，乙猜对为事件B， 事件表示在一次猜谜活动中只有1人猜对，且事件与互斥， 则，， ∴，即有一方获胜的概率为. 【小问2详解】 由题意的可能取值为1，2，3 表示第一次猜谜有人获胜，所以, 表示第一次猜谜没人获胜同时第二次猜谜有人获胜，所以 由分布列的性质，可得， 所以分布列为 1 2 3 所以 16. 已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）讨论在上的单调性. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义是切线斜率即可求解； （2）分类讨论参数，并结合端点值进行比较即可求解. 【小问1详解】 当时，， ∴， ∴在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 . ①时，，在为单调递增. 若，所以令得. ②若，即，则时，， ∴在上单调递增； ③若，即，则时，， ∴单调递减， 当时，，∴单调递增. ④若，即，则时，， ∴在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 17. 如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若空间中存在一点，满足，且直线平面，求的长. 【答案】（1）由，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面 ， 又平面 ，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）利用空间向量的坐标运算求出，再利用向量共线的坐标表示求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面 ，平面 ，则， 而， ，以点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 又， ， ，， 则，，，，，， ，，， 设平面 的法向量为，则，令，得， 设平面 的法向量为，则，令 ，得， 因此， 所以平面 与平面 夹角的正弦值为. 【小问3详解】 设，依题意，， 即，，， 即，则， 由平面 ，得是平面 的一个法向量，于是， 即，解得，， 因此，所以. 18. 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. （1）求双曲线的方程； （2）设直线与双曲线、圆相切，切点分别为，与渐近线相交于.两点. （i）证明：为定值； （ii）若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）（i）①当与轴垂直时，，解得． ②当与轴不垂直时，设． 设与联立可得：， 且有，故， 且． 将与联立可得：． ， 而，故． 综上所述，． （ii） 【解析】 【分析】（1）由条件得到求解即可； （2）（i）由与轴是否垂直两种情况讨论求解即可；（ii）求得两点坐标，结合即可求解； 【小问1详解】 由， 解得，故双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）由与圆相切可知：． 设直线为，与联立解得． 由（1）可知，则． 而． 消去可得：， 故． 19. 如果数列，，，…，（）是首项为1，各项均为整数的递增数列，且任意连续三项的和都能被3整除，那么称数列，，，…，是数列. （1）写出所有满足的数列； （2）证明：存在数列是等比数列，且有无穷个； （3）对任意给定的，都存在，，，使得数列，，，，是数列，求整数t的最小值. 【答案】（1）1，2，3，7；1，2，6，7；1，3，5，7；，1，5，6，7. （2）证明：设这样的数列对应的公比为， 则相应的四项，从小到大排列为. 要使任意连续三项的和都能被3整除， 则能被3整除，即被3整除即可. 考虑集合，当时， 一定能被3整除， 因中的元素有无穷多个， 则存在数列是等比数列，且有无穷个； （3）13. 【解析】 【分析】（1）由所给信息，找到满足题意的数列即可； （2）即证明存在无穷多个整数，使能被3整除； （3）将正整数集合按被3除余数分为3类，分类讨论所属集合，确定，，所属集合， 并写出相应的数列，后由可确定最小值，即可得答案. 【小问1详解】 由题可得， 令，为使任意连续三项的和都能被3整除，则或； 令，则；令，则不存在满足题意；，则. 综上，满足的数列为：1，2，3，7；1，2，6，7；1，3，5，7；，1，5，6，7； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设. 因都能被3整除，，则. 若，因都能被3整除，则； 则要使能被3整除，有. 令，为使最小，应让间的差值最小， 则， 又，则，即当时，最小值为5； 若，因都能被3整除，则； 结合，则要使能被3整除，有. 令，为使最小，应让间的差值最小， 则， 又，则，即当时，最小值为13； 若，因都能被3整除，则； 结合，则要使能被3整除，有. 令，为使最小，应让间的差值最小， 则， 又，则，即当时，最小值为9. 综上，当存在，，，使得数列，，，，是数列，整数t的最小值是13. 【点睛】关键点睛：本题关键为读懂题意，以及由题目中提及的“被3整除”想到将整数按照被3除的余数分为3类. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末教学质量监测 高三数学试题 2026.1 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整､笔迹清晰. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸､试卷上答题无效. 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知，则可能为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ）． A. B. C. D. 3. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知等比数列满足，其前项积为，则（ ） A. B. C. D. 5. 在锐角中，角的对边分别为，为的面积，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则不可能的取值为（ ）． A. B. C. 0 D. 8. 已知函数的定义域为，且，为奇函数，，则 （ ） A. 2025 B. C. 4050 D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某单位在定点帮扶贫困村A村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高.村村民年这四年的人均年纯收入（单位：万元）与年份代号之间的一组数据如表所示.若与线性相关，且求得其线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ） 年份 2021 2022 2024 2025 年份代号 4 5 7 8 人均年纯收入 2.1 5.9 A. B. 2030年村人均年纯收入约为7万元 C. 预估从2025年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元 D. 2025年的人均年纯收入残差值为0.1 10. 如图，点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 若点满足，则动点的轨迹长度为 B. 当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 11. 二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，由18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹发现.当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，数据在计算机中主要是以补码的形式存储的，我们用表示十进制数n在二进制下的各项数字之和，下列说法正确的是（ ） A. 十进制数25的二进制数为1101 B. C. D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某品牌袋装白砂糖的质量指标服从正态分布，则顾客甲随意买一包这种袋装白砂糖，其质量指标满足的概率为________． 附：若，则，，． 13. 有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有________种． 14. 在中，，，，P为边AB上的动点，沿CP将折起形成直二面角，当最短时，此时三棱锥的体积为______ ． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响． （1）求在一次猜谜活动中，有一方获胜的概率； （2）若有一方获胜则猜谜活动结束，否则猜谜继续，猜谜最多进行3次，求猜谜次数X的分布列和期望． 16. 已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）讨论在上的单调性. 17. 如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若空间中存在一点，满足，且直线平面，求的长. 18. 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. （1）求双曲线的方程； （2）设直线与双曲线、圆相切，切点分别为，与渐近线相交于.两点. （i）证明：为定值； （ii）若，求直线的方程. 19. 如果数列，，，…，（）是首项为1，各项均为整数的递增数列，且任意连续三项的和都能被3整除，那么称数列，，，…，是数列. （1）写出所有满足的数列； （2）证明：存在数列是等比数列，且有无穷个； （3）对任意给定的，都存在，，，使得数列，，，，是数列，求整数t的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $