第一章 勾股定理3 勾股定理的应用 寒假巩固2025-2026学年北师大版数学八年级上册

北师大版（2024）八年级上册 第一章 勾股定理3 勾股定理的应用 寒假巩固 【题型1】勾股定理与生活实际问题 【典型例题】为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温，当身高为1.7米的小明正对门缓慢走到高门1.2米处时（即米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离等于　　 A.0.5米 B.1.2米 C.1.3米 D.1.7米 【举一反三1】某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为　　 A. B. C. D. 【举一反三2】为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温，当身高为1.7米的小明正对门缓慢走到高门1.2米处时（即米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离等于　　 A.0.5米 B.1.2米 C.1.3米 D.1.7米 【举一反三3】如图，原来从村到村，需要沿路绕过两地间的一片湖，在，间建好桥后，就可直接从村到村．若，，那么，建好桥后从村到村比原来减少的路程为　　 A. B. C. D. 【举一反三4】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是2.2米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端与地面点距离是2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端与地面点距离是2米．求此时梯子底端到右墙角点的距离是多少米． 【举一反三5】图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【题型2】勾股定理与路径最短 【典型例题】如图，在底面周长约为6米的石柱上，刻有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方(从点A到点C，B为AC的中点)，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为(　　) A.20米 B.25米 C.30米 D.15米 【举一反三1】某3D打印社团制作了一个圆柱体，如图，它的底面周长是15 cm，一根铁丝沿最短路径绕圆柱体盘旋1圈升高8 cm，则铁丝的长为(　　) A.10 cm B.13 cm C.14 cm D.17 cm 【举一反三2】如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上底面3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是　　　　cm. 【举一反三3】如图，某风景区的沿湖公路AB=3 km，BC=4 km，CD=12 km，AD=13 km，其中AB⊥BC，图中阴影部分是草地，其余是水面.那么乘游艇由点C出发，行进速度为11 km/h，到达对岸AD最少要用　　h. 【举一反三4】有一圆柱形油罐，油罐底的周长是12 m，高AB是5 m，如图所示，要以点A环绕油罐建梯子，正好到A的正上方点B处，问梯子最短需要多长？ 【举一反三5】如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为、、，台阶左下角处有一只蚂蚁要爬到右上角处搬运食物，则它爬行的最短路程为 　　． 【题型3】数学典籍中的勾股定理 【典型例题】《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为　　 A.10尺 B.12尺 C.13尺 D.14尺 【举一反三1】在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面　　尺． A.4 B.3.6 C.4.5 D.4.55 【举一反三2】在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 　        　尺． 【举一反三3】我国古代数学专著《九章算术》有这样一段文字“今有木长一丈，围之四尺，葛生其下，缠木六周，上与木齐，问葛几何？”题目大意为：现有一棵大树，高为1丈，底面周长为4尺，葛就生长在树下，缠绕了大树6周，顶端与树一样齐，问葛有多长？葛为 　　尺（1丈=10尺）． 北师大版（2024）八年级上册 第一章 勾股定理3 勾股定理的应用 寒假巩固（参考答案） 【题型1】勾股定理与生活实际问题 【典型例题】为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温，当身高为1.7米的小明正对门缓慢走到高门1.2米处时（即米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离等于　　 A.0.5米 B.1.2米 C.1.3米 D.1.7米 【答案】C 【解析】解：如图，过点作于点， 米，米，米， （米． 在中，由勾股定理得到：（米， 故选：． 【举一反三1】某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：依题意，，， 在中，， ，， 在中，， 故选：． 【举一反三2】为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温，当身高为1.7米的小明正对门缓慢走到高门1.2米处时（即米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离等于　　 A.0.5米 B.1.2米 C.1.3米 D.1.7米 【答案】C 【解析】解：如图，过点作于点， 米，米，米， （米． 在中，由勾股定理得到：（米， 故选：． 【举一反三3】如图，原来从村到村，需要沿路绕过两地间的一片湖，在，间建好桥后，就可直接从村到村．若，，那么，建好桥后从村到村比原来减少的路程为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：由勾股定理得， ， 建好桥后从村到村比原来减少的路程为， 故选：． 【举一反三4】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是2.2米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端与地面点距离是2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端与地面点距离是2米．求此时梯子底端到右墙角点的距离是多少米． 【答案】1.5米． 【解析】解：设此时梯子底端到右墙角点的距离是米，则为米， 由题意可知，米，米，， 在和中，由勾股定理得：，， ， 即， 解得：， 答：此时梯子底端到右墙角点的距离是1.5米． 【举一反三5】图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】解：在中，， 在中，， ， ， ． 故该车符合安全标准． 【题型2】勾股定理与路径最短 【典型例题】如图，在底面周长约为6米的石柱上，刻有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方(从点A到点C，B为AC的中点)，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为(　　) A.20米 B.25米 C.30米 D.15米 【答案】A 【解析】如图，根据题意可知，底面周长约为6米，柱身高约16米， 所以AF=6米，AB=AC=×16=8(米)， 所以BF2=AF2+AB2=62+82=100， 所以BF=10米， 所以雕刻在石柱上的巨龙至少为2×10=20(米). 【举一反三1】某3D打印社团制作了一个圆柱体，如图，它的底面周长是15 cm，一根铁丝沿最短路径绕圆柱体盘旋1圈升高8 cm，则铁丝的长为(　　) A.10 cm B.13 cm C.14 cm D.17 cm 【答案】D 【解析】如图，由题意得AC=15 cm，BC=8 cm， 则根据勾股定理得AB2=152+82=172， 所以AB=17 cm. 【举一反三2】如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上底面3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是　　　　cm. 【答案】13 【解析】如图， 因为高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上底面3 cm的点A处， 所以A'D=5 cm，BD=12-3+AE=12 cm， 所以将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A'， 连接A'B，则A'B即为最短距离，根据勾股定理得 A'B2=A'D2+BD2=52+122=132. A'B=13 cm. 【举一反三3】如图，某风景区的沿湖公路AB=3 km，BC=4 km，CD=12 km，AD=13 km，其中AB⊥BC，图中阴影部分是草地，其余是水面.那么乘游艇由点C出发，行进速度为11 km/h，到达对岸AD最少要用　　h. 【答案】0.4 【解析】如图，连接AC， 在Rt△ABC中，AB=3 km，BC=4 km，根据勾股定理得AC2=32+42=25，则AC=5 km， 因为CD=12 km，AD=13 km，故存在AD2=AC2+CD2， 所以△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°， 所以△ACD的面积为S=AC·CD=30(km2)， 因为AD=13 km， 所以AD边上的高，即点C到AD的最短距离为=(km)， 因为游艇的速度为11= km/h， 所以需要时间为×=0.4(h). 【举一反三4】有一圆柱形油罐，油罐底的周长是12 m，高AB是5 m，如图所示，要以点A环绕油罐建梯子，正好到A的正上方点B处，问梯子最短需要多长？ 【答案】解　如图，因为油罐底的周长是12 m，高是5 m，即展开图中BB'=12 m，AB=5 m. 由勾股定理得AB'2=BB'2+AB2=122+52=169， 所以AB'=13 m. 故梯子最短需要13 m. 【举一反三5】如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为、、，台阶左下角处有一只蚂蚁要爬到右上角处搬运食物，则它爬行的最短路程为 　　． 【答案】． 【解析】解：将三级台阶展开为平面图形如图所示， 则的长即为它爬行的最短路程， 由勾股定理得，， 它爬行的最短路程为． 故答案为：． 【题型3】数学典籍中的勾股定理 【典型例题】《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为　　 A.10尺 B.12尺 C.13尺 D.14尺 【答案】C 【解析】解：设这根芦苇的长度为尺， 由题意知，尺，尺，尺， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， 这根芦苇的长度为13尺， 故选：． 【举一反三1】在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面　　尺． A.4 B.3.6 C.4.5 D.4.55 【答案】D 【解析】解：如图，由题意得：，尺，尺， 设折断处离地面尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即折断处离地面4.55尺． 故选：． 【举一反三2】在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 　        　尺． 【答案】14.5． 【解析】解：设秋千的绳索长为尺， 由题意知：尺，尺，尺， 在中，， ， 解得：， 答：绳索长为14.5尺． 故答案为：14.5． 【举一反三3】我国古代数学专著《九章算术》有这样一段文字“今有木长一丈，围之四尺，葛生其下，缠木六周，上与木齐，问葛几何？”题目大意为：现有一棵大树，高为1丈，底面周长为4尺，葛就生长在树下，缠绕了大树6周，顶端与树一样齐，问葛有多长？葛为 　　尺（1丈=10尺）． 【答案】26． 【解析】解：如图， 由题意可知，（即大树的高）长10尺，的长为（尺， 在中，由勾股定理得：（尺， 即葛为26尺， 故答案为：26． 学科网（北京）股份有限公司 $