精品解析：河北秦皇岛市山海关第一中学2025-2026学年第一学期高三期末考试数学试卷

山海关区第一中学2025-2026学年第一学期高三年级期末考试 数学试卷 注意事项： 1.本试题共两部分，满分150分，时间150分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂然.如要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设复数 ，则 的虚部为（　） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法法则化简，即可根据虚部的定义求解. 【详解】，故其虚部为， 故选：A 2. 已知集合x是20以内的质数，，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 512 D. 1024 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集定义求出，再据此求其子集个数即可． 【详解】由题意可知，， 又，即，也即，解得，所以， 所以，则的子集个数为． 故选：B． 3. 设点 为双曲线 的右焦点，点 为坐标原点，过点 作双曲线其中一条渐近线 的垂线，交渐近线 于点 ，再过点 作 轴的垂线，交渐近线 于点 ，若则双曲线的离心率为（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件分别求出，，计算得到，的值，代入求解即可. 【详解】设双曲线右焦点为，渐近线取， 则直线方程为，联立，解得， 则直线方程为，联立，解得； 所以，； 所以，所以离心率. 故选：D. 4. 2025 年 8 月 4 日，在 2025 全国锦标赛的男子三级跳远决赛上，广东选手吴瑞庭以 17.68 米的成绩夺得冠军，打破尘封近 16 年之久的亚洲纪录（原纪录为 17.5 米）.假如决赛时，另一名运动员甲每次试跳成绩在 17 米以上的概率均为 ，有三次试跳机会，以最好的一次成绩作为最终成绩，每次试跳的成绩相互独立，则甲的最终成绩超过 17 米的概率为（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解三次成绩都不超过17的概率，进而根据对立事件的概率公式求解. 【详解】该名运动员三次成绩均未超过17米的概率为， 则其最终成绩超过 17 米的概率为， 故选：D 5. 已知函数 在 上有意义，满足 ，且 是 的一条对称轴，当 时，，其中 ，则 （　） A. 3 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用函数的对称关系推导其变换规律，再根据对数函数的定义域约束确定参数 ，最后结合函数性质计算目标值即可. 【详解】当 时，， 因为对数的真数必须大于0，因此 即 对所有 恒成立， 因为 时，，所以，解得 . 因为已知 ，令 ，得 ， 由 是对称轴，有 ，令 ，得 ， 联立得 ，又 ， 因此 ，即 . 故选：B. 6. 已知圆 与 轴和 轴都相切，且半径为 1；圆 也与 轴和 轴都相切，并且与圆 外切.若圆 的半径小于 1，则圆 的半径为（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两圆外切，结合两点距离公式即可求解. 【详解】根据对称性，不妨设此时的圆心位于第一象限， 由于圆 的半径小于1，且与 外切，故圆的圆心也位于第一象限， 则，，且的半径为，且， 根据两圆外切，则，解得， 故选：C 7. 函数 的递增区间可能是（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角公式化简，即可将选项逐一代入，结合辅助角公式，以及正弦函数的性质求解. 【详解】， 对于A, 时，，故， 由于，而在上不是单调递增的，故不是的单调递增区间，故A错误， 对于B,时，，故， 由于，而在上是单调递减的，故不是的单调递增区间，故B错误， 对于C,时，，故， 由于，而在上是单调递增的，故是的单调递增区间，故C正确， 对于D,由A可知不是函数的单调递增区间，而，故在不单调，故D错误， 故选：C 8. 若 满足，则 的大小关系不可能为（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出的图象，分别取，，时，即可结合函数图象求解. 【详解】令，则 记 则分别为直线与函数交点的纵坐标， 如图：当时，，时，， 当时，此时， 当时，， 当时，， 当时，, 故选：B 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.） 9. 如图，在棱长相等的正六棱柱 中，棱长为 ，下列说法正确的是（　） A. 是直角三角形 B. 展开式的第三项为 C. D. 点 在侧棱 上运动（包含端点），则 取得最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正六棱柱和正六边形的性质，可证明线面垂直来判断A，利用二项式展开式定理可判断B，利用证明线线平行来判断C，利用侧面展开图，利用几何法求两线段之和的最小值来判断D. 【详解】 在正六边形中，由多边形内角和公式可得每个内角为：， 再由等腰三角形可知：， 即，即， 又因为正六棱柱的侧面底面，侧面底面，底面， 所以侧面，又因为侧面， 所以，即 是直角三角形，故A正确； 展开式的第三项为，故B正确； 由正六边形的性质，可知 所以即四边形是平行四边形， 即，而显然是不共线，故C错误； 利用侧面展开与平面共面，如图， 即可得，故D正确； 故选：ABD. 10. 设抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于 两点，过 分别作准线 的垂线交于 两点， 为线段 的中点，则（　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先由准线求出，再设过焦点的直线方程并联立抛物线，利用韦达定理得到点的坐标关系，进而验证垂直关系、线段长度比例和三角形面积的最值. 【详解】抛物线的准线为，由题干的已知条件可知，则抛物线为，焦点，依据题干可得下图： 通过上述分析可知选项A错误； 设过的直线方程为，代入抛物线得，设，，则，，，，中点，向量，向量，，选项B正确； ，，故，即，选项C错误； ，，且，三角形的面积，当时，三角形的面积，所以三角形的面积，选项D正确. 故选：BD 11. 在锐角 中，角 的对边分别为 ，若 则下列说法正确的是（　） A. B. 设 边上的高为 ，则 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由代入化简即可判断A正确，由面积公式化简得到，结合正弦定理化简得到可以判断B错误；由余弦定理，化简得到，利用三角函数性质得到，最大值为可以判断C正确，由，所以，设，则，利用基本不等式得到最小值为 20可以判断D 错误. 【详解】因为，所以, 化简得到， 即，故A正确， 因为边上的高为 ，所以，化简得到， 即，即, 所以, 所以，故B错误； ，由余弦定理， 所以， 由正弦定理. 所以， 最大值为，故C正确 由于， 因为，所以， 设，则， 所以，令， 所以， 当且仅当（即 ）时取等号，故最小值为 20，选项 D 错误. 故选：AC. 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 若直线 与 在处的切线垂直，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】求导得，代入得到切线斜率，再根据直线垂直于斜率关系即可得到答案. 【详解】，，则，解得. 故答案为：. 13. 已知等比数列 的前 项和为 ，公比 ，若 ，，则 ______. 【答案】155 【解析】 【分析】根据等比数列的性质即可求解公比，即可得解. 【详解】由，故， ，故，由于，故 ， 故， 故答案为：155 14. 光滑平整的桌面上放有三个大小相同的小球，将底面半径为6，高为 的圆锥形的生日帽（帽子的曲面厚度忽略不计）扣在桌面上，使它恰好能完全遮盖住三个小球，三个小球均与桌面接触，则小球的半径为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过几何截面找到比例关系求解即可. 【详解】 取一个过圆锥轴线和其中一个小球球心的竖直平面作截面，如图所示. 圆锥截面是一个等边三角形，边长为12，高. 小球截面是一个圆，半径为，圆心距离底边高度为. 由于三球对称分布，每个球在水平面上投影位于以圆锥底面中心为中心、半径为的圆周上，且三球彼此相切. 三球心构成边长为的正三角形，该正三角形外接圆半径为：，因此在截面中，小球圆心到圆锥轴线的水平距离为，而竖直高度是. 建立坐标系：可得,,,. 利用点到直线的距离等于,易得直线方程为：，点到直线的距离公式 可得：，满足题意. 故答案为：. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，，，， 平面 . （1）求直线 与平面 所成的角的正切值； （2）求点 到平面 的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可得直线与平面 所成的角为即可求解； （2）利用即可求解. 【小问1详解】 连接， 因为底面为矩形，，， 所以， 因为平面， 所以，且直线与平面所成的角为， 则 【小问2详解】 因为平面，平面 ， 所以，， 则 因为底面 为矩形，所以， 因为，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以， 又因为， 所以， 设点到平面的距离为， 所以， 所以， 解得：， 所以点到平面的距离为. 16. 为研究浙江省小微企业发展状况，某研究机构从“雏鹰计划”项目库中随机抽取 100 家企业进行调研，统计数据显示，这些企业上年度的营业收入增幅（单位：%）分布情况如下： 增幅分组 企业数量 5 20 30 25 20 注：规定营业收入增幅不低于 30% 的企业为“高成长型企业”. （1）根据以上数据，估计这 100 家企业营业收入增幅的平均值（计算时取各组的组中值代表该组数据）； （2）为进一步研究高成长型企业，现采用分层抽样的方式，从“高成长型企业”中选取 9 家，再从 9 家企业中不放回地抽取 2 家进行实地调研，设抽中 的数量为 ，写出 的概率分布列，并求其数学期望 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平均数公式计算即可； （2）利用超几何分布求出 的概率分布列，结合数学期望即可求出. 【小问1详解】 根据以上数据，估计这 100 家企业营业收入增幅的平均值为 【小问2详解】 营业收入增幅不低于 30% 的企业为“高成长型企业”中，占家，占家， 所以“高成长型企业”中选取 9 家中，抽取：家， 抽取：家； 从 9 家企业中不放回地抽取 2 家进行实地调研，设抽中 的数量为 ， 所以可能取值为：， 所以， ， ， 则 的概率分布列为： 17. 设数列 满足 ，且 . （1）证明：为等差数列； （2）设，求的值. 【答案】（1） 因为，所以， 则， 所以为常数列，且各项为， 故是首项，公差的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）在左右两侧同时乘以即可； （2）先求出，再求出，最后利用裂项相消求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，则， 所以， 则 18. 已知椭圆 的上顶点与右顶点分别为点 和点 ，点 为坐标原点， 的面积 ，且点 到直线 的距离为 . （1）求椭圆 的标准方程. （2）设点 是直线 上的任意一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 、. (ⅰ) 求证：直线 恒过定点. (ⅱ) 求 的正切值的最大值. 【答案】（1） （2） (ⅰ) 先证明：椭圆上一点,的切线方程为． 由可得，两边同时求导可得， 当时，过,的切线方程为， 即， 由于,在椭圆上，故， 故， 两边同时除以得：． 当时，也满足， 设,则处的切线方程分别为，， 由于切线均经过点， 故，， 因此均在直线上，故直线的方程为， 故直线恒过点. (ⅱ) 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质，结合面积公式即可求解的值. （2）先求解椭圆上一点处的切线方程为，即可根据均在直线上求解定点，联立直线与椭圆方程，根据相切得判别式为0，可得是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理，结合正切的差角公式，代入化简得,利用换元法和基本不等式即可求解最值. 【小问1详解】 由题意可知, 由，即且， 解得, 故椭圆方程为. 【小问2详解】 (ⅰ)略 (ⅱ)由题意可知切线的斜率均存在， 设，与椭圆方程联立可得， 故， 化简得， 设的斜率分别为，倾斜角分别为，不妨设， 则是方程的两个不相等的实数根， 因此， ，则 ， 令， 则，当且仅当时等号成立， 故的正切值的最大值为. 19. 已知双曲正弦函数的定义为. （1）证明：当时，； （2）若，讨论方程的实数解的个数； （3）已知，是方程在上的一个零点，证明：. 【答案】（1） 设，， ，当且仅当即时等号成立， ，在上单调递增， 又，所以当时，，即； （2）时，方程有1个实数解；时，方程有3个实数解； （3） 证明：已知是方程在上的一个零点， 即，即，， 要证，即证，即证， 由，可得，所以需证， 即证，即证， 设，， ， 因为，所以，， 所以，在上单调递增， 又，而， 所以，即， 故得证． 【解析】 【分析】（1）设，，再利用导数确定函数的单调性即可证明； （2）分和两种情况，结合导数分析零点个数即可； （3）根据题意，得，要证的不等式可等价转化为，设，求导确定函数的单调性，得到最值即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，， ，为上的奇函数， ， 若：，在上单调递增， 又，所以方程有1个实数解； 若：令，即， 设，则，即，解得， 即， 又，， ，即， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ， ， 又时，，，时，， 所以此时方程有3个实数解； 综上，时，方程有1个实数解；时，方程有3个实数解； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山海关区第一中学2025-2026学年第一学期高三年级期末考试 数学试卷 注意事项： 1.本试题共两部分，满分150分，时间150分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂然.如要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设复数 ，则 的虚部为（　） A. B. C. 3 D. 2. 已知集合x是20以内的质数，，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 512 D. 1024 3. 设点 为双曲线 的右焦点，点 为坐标原点，过点 作双曲线其中一条渐近线 的垂线，交渐近线 于点 ，再过点 作 轴的垂线，交渐近线 于点 ，若则双曲线的离心率为（　） A. B. C. D. 4. 2025 年 8 月 4 日，在 2025 全国锦标赛的男子三级跳远决赛上，广东选手吴瑞庭以 17.68 米的成绩夺得冠军，打破尘封近 16 年之久的亚洲纪录（原纪录为 17.5 米）.假如决赛时，另一名运动员甲每次试跳成绩在 17 米以上的概率均为 ，有三次试跳机会，以最好的一次成绩作为最终成绩，每次试跳的成绩相互独立，则甲的最终成绩超过 17 米的概率为（　） A. B. C. D. 5. 已知函数 在 上有意义，满足 ，且 是 的一条对称轴，当 时，，其中 ，则 （　） A. 3 B. C. 8 D. 6. 已知圆 与 轴和 轴都相切，且半径为 1；圆 也与 轴和 轴都相切，并且与圆 外切.若圆 的半径小于 1，则圆 的半径为（　） A. B. C. D. 7. 函数 的递增区间可能是（　） A. B. C. D. 8. 若 满足，则 的大小关系不可能为（　） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.） 9. 如图，在棱长相等的正六棱柱 中，棱长为 ，下列说法正确的是（　） A. 是直角三角形 B. 展开式的第三项为 C. D. 点 在侧棱 上运动（包含端点），则 取得最小值为 10. 设抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于 两点，过 分别作准线 的垂线交于 两点， 为线段 的中点，则（　） A. B. C. D. 11. 在锐角 中，角 的对边分别为 ，若 则下列说法正确的是（　） A. B. 设 边上的高为 ，则 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 若直线 与 在处的切线垂直，则 ______. 13. 已知等比数列 的前 项和为 ，公比 ，若 ，，则 ______. 14. 光滑平整的桌面上放有三个大小相同的小球，将底面半径为6，高为 的圆锥形的生日帽（帽子的曲面厚度忽略不计）扣在桌面上，使它恰好能完全遮盖住三个小球，三个小球均与桌面接触，则小球的半径为______. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，，，， 平面 . （1）求直线 与平面 所成的角的正切值； （2）求点 到平面 的距离. 16. 为研究浙江省小微企业发展状况，某研究机构从“雏鹰计划”项目库中随机抽取 100 家企业进行调研，统计数据显示，这些企业上年度的营业收入增幅（单位：%）分布情况如下： 增幅分组 企业数量 5 20 30 25 20 注：规定营业收入增幅不低于 30% 的企业为“高成长型企业”. （1）根据以上数据，估计这 100 家企业营业收入增幅的平均值（计算时取各组的组中值代表该组数据）； （2）为进一步研究高成长型企业，现采用分层抽样的方式，从“高成长型企业”中选取 9 家，再从 9 家企业中不放回地抽取 2 家进行实地调研，设抽中 的数量为 ，写出 的概率分布列，并求其数学期望 . 17. 设数列 满足 ，且 . （1）证明：为等差数列； （2）设，求的值. 18. 已知椭圆 的上顶点与右顶点分别为点 和点 ，点 为坐标原点， 的面积 ，且点 到直线 的距离为 . （1）求椭圆 的标准方程. （2）设点 是直线 上的任意一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 、. (ⅰ) 求证：直线 恒过定点. (ⅱ) 求 的正切值的最大值. 19. 已知双曲正弦函数的定义为. （1）证明：当时，； （2）若，讨论方程的实数解的个数； （3）已知，是方程在上的一个零点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $