精品解析：江西南昌市2025一2026学年第一学期期末终结性测试 八年级数学试卷

南昌市2025—2026学年第一学期期末终结性测试 八年级（初二）数学试卷 说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：若代数式有意义，则，即， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件．注意：分式有意义的条件是分母不等于零，分式无意义的条件是分母等于零． 2. 下列各组数中，能够作为直角三角形的三边长的一组是（　　） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理“三角形三边满足（其中c为最大边），则该三角形为直角三角形”即可求解． 【详解】解：选项A：，， ， 故选项A不符合题意； 选项B：，， ， 故选项B不符合题意； 选项C：，， ， 故选项C不符合题意； 选项D：，， ， 故选项D符合题意． 故选：D． 3. 在《哪吒2》特效制作中，为呈现细腻的法术光芒，对单个粒子的渲染精度要求极高．其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，0.0000025用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．对于0.0000025，需将小数点向右移动6位得到2.5，故． 【详解】解：∵0.0000025的第一个非零数字为2，将小数点移至2后得2.5，此时小数点向右移动了6位， ∴， 故选：C． 4. 下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义和方法是解题的关键．先根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式分解为整式的乘积形式，然后计算分解是否正确即可． 【详解】解：A、右边为乘积加2，不是乘积形式，不符合因式分解定义； B、左边是乘积形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； C、右边是乘积的形式，但，原计算错误，不符合题意； D、右边是乘积的形式，且 ，原计算正确，符合题意． 故选：D． 5. 在中，的对边分别为，且．下列结论正确的是（   ） A. 为直角 B. 为直角 C. 为直角 D. 不是直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据三角形的三边关系判定三角形的形状是解题的关键．将给定等式化简得到，即，根据勾股定理的逆定理，可判断为直角． 【详解】， ， ， 是直角三角形，且a为斜边，为直角． 故选：A． 6. 已知，，是等腰三角形的三边，且满足．则等腰三角形的周长为（ ）． A. 12 B. 12或15 C. 9或12 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等腰三角形及其三边关系的应用．根据题目给出的已知条件采用适当的方法进行因式分解，并根据等腰三角形的定义进行分类讨论是解题的关键．根据已知条件，运用完全平方公式转化为一个多项式的平方和等于的等式，进而求出，的值．根据等腰三角形的定义，以及三角形的三边关系分两种情况讨论，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵等腰三角形的两边长分别为，， ∴当是腰时，则三边长为、、， ∵，不满足三角形三边关系， ∴不能构成三角形； 当是腰时，则三边长为、、， ∵，满足三角形三边关系， ∴能构成三角形， ∴的周长为； 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键． 先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 8. 约分：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简．通过约去分子和分母的公因式进行化简即可． 【详解】解： 故答案为：． 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，进一步求解即可． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴， 解得 ． 故答案为 ． 10. 计算的结果是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法法则，进行计算即可，属于基础题型． 【详解】解：； 故答案为：1． 11. 如图，，则数轴上点所表示的数为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟记定理并求出的长是解题的关键．先根据勾股定理列式求出的长，即为的长，再根据数轴上的点的表示解答．． 【详解】解：由勾股定理得， ， 点在数轴上表示的数为， 数轴上点所表示的数为， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，已知点，若点是轴正半轴上的一个动点，当是等腰三角形时，则点坐标是_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和勾股定理的应用．当为等腰三角形时，需分三种情况讨论：、或．分别计算每种情况下点的横坐标，并确保且能构成三角形，即可． 【详解】解：设点，且， ∵点，点， ∴，， 当时，， 解得：或（舍去，）， 此时 ； 当时：， 此时； 当时：此时， 解得：， 此时 综上，点坐标为或或． 故答案为：或或 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和正确化简二次根式． （1）先化简二次根式，再进行加减计算； （2）分别计算完全平方公式和二次根式的除法，再进行加减计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 先进行括号内分式的减法，再将除法化为乘法计算，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 15. 大自然中就充满了各种各样的神秘数字和规律．如，神秘的数字7，彩虹有7种颜色、音乐有7个基本音阶等；“勾股数”，能够构成直角三角形三条边．小明研究正整数时发现：有的正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，并把这类正整数称为“偶像数”．如，，则4，12称为“偶像数”． （1）试写出一个“偶像数”，并表示为两个连续偶数的平方差； （2）求证：任意的“偶像数”都能被4整除． 【答案】（1）20， （2）设两个连续偶数分别为和，其中n为自然数 为自然数 为整数 能够被4整除即任意的“偶像数”都能被4整除 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式，理解新定义，熟练掌握平方差公式的运用是解答的关键． （1）根据“偶像数”的定义写出一个“偶像数”即可； （2）根据题意用两个连续偶数的平方差表示出“偶像数”，利用平方差公式化简即可判断； 【小问1详解】 “偶像数”20 【小问2详解】 略 16. 请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图 （1）在图1中找一个格点C，以为腰，使为等腰三角形． （2）在图2中画出线段的中垂线． 【答案】（1）如图，点C即为所作； （2）如图所示，直线即为所作； 【解析】 【分析】此题考查格点作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定定理， （1）根据等腰三角形的性质作图即可； （2）根据线段垂直平分线的判定定理解答即可 【小问1详解】 解：∵， ∴为等腰三角形． 【小问2详解】 解：∵， ∴直线是线段的中垂线． 17. 为了鼓励在秋季运动会期间表现积极的学生，八年级某班决定购买甲、乙两种奖品作为奖励．已知购买一件甲种奖品与一件乙种奖品共需80元，用120元购买甲种奖品与用200元购买乙种奖品的数量相同．求甲、乙两种奖品的单价分别为多少元每件． 【答案】甲种奖品每件30元，乙种奖品每件50元 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；设甲种奖品的单价为x元每件，则乙种奖品的单价为元每件，由题意得，进而求解即可． 【详解】解：设甲种奖品的单价为x元每件，则乙种奖品的单价为元每件，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴； 答：甲种奖品每件30元，乙种奖品每件50元． 四、（本大题3小题，每小题8分，共24分） 18. 先阅读下面的内容，然后再解答问题． 例：已知．求和的值． 解：∵， ∴． ∴． ∴． 解这个方程组，得：． 解答下面的问题： （1）如果成立．求的值； （2）已知为的三边长，若，试判断的形状，并证明． 【答案】（1）1 （2） 是等边三角形，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，等边三角形的判定，熟练掌握完全平方公式法进行因式分解是解题的关键： （1）将等式左边转化为两个完全平方公式的和的形式，利用非负性求出的值，再进行计算即可； （2）等式两边同时乘以2，移项后化为三个完全平方公式的和等于0的形式，进行判断即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 19. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）8米 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 20. 小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． （1）用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． （2）判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 【答案】（1） ，，， （2） 小慧的爸爸的加油方式比较合算． 【解析】 【分析】本题考查分式的实际应用，熟练掌握并利用题意列出代数式以及利用作差法进行分析比较是解题的关键； （1）由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可； （2）根据题意利用作差法进行分析比较即可． 【小问1详解】 解：小军爸爸白天加油花费元，夜间加油花费， ∴小军爸爸一天加2次油共花费元， 小慧爸爸一天加2次油共花费元， 小军的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）， 小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）． 故答案为：，，，． 【小问2详解】 解：， 而，，，所以 从而，即． 因此，小慧的爸爸的加油方式比较合算． 五、（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 对于正数x，规定：．例如：． （1）求值：______；=______；______． （2）猜想：______，并证明你的结论； （3）求：的值． 【答案】（1），1，1 （2） 1， 证明：， ； 故答案为：1； （3）2024 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键． （1）分别算出，，，的值，再求和即可； （2）将代入所给式子，求和即可得出结论； （3）按照定义式发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间项，最后再求和即可． 【小问1详解】 解：；； ； ；； ； 故答案为：，1，1； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ． 22. 阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知，求代数式的值． （2）已知，对x进行分母有理化． （3）结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值． 【答案】（1）8 （2）； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由分母有理化得； （3）由（2）得，再两边平方并利用完全平方公式展开，得到；再整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，即1， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 六、（本大题共12分） 23. 如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点． 【概念理解】 （1）如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，则、、这三个点中是关于点的勾股点的有______（填“、、”）； 【问题探究】 （2）如图3，为等腰直角三角形，是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角（点、、顺时针排列），，连接，，求证：点为关于点的勾股点； 【拓展应用】 （3）是长方形内一点，且点是关于点的勾股点， ①如图4，若，，则的度数为______． ②若，，当是以为腰的等腰三角形时，此时的长为______． 【答案】（1）； （2）证明：∵和为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P为关于点D的勾股点． （3）①，②， 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理进行计算，再判断即可． （2）证明，得出，，证明，则结论得证． （3）①由长方形性质得，可得；根据勾股数得，又因为，即得．设，根据和，结合，可用α表示的三个内角，利用三角形内角和为等量关系列方程，即求出α进而求出． ②由条件“点C是关于点A的勾股点”仍可得，作为条件使用．结合是以为腰的等腰三角形，需分2种情况讨论，把每种情况画图再根据矩形性质和勾股定理计算，即能求的长． 【详解】解：（1）如图，连接， ∴，，， ∴， 连接， ∵，， ∴， 连接， ∴，，， ∴， ∴、、这三个点中是关于点的勾股点的有． （2）略 （3）①∵点C是关于点A的勾股点， ∴， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． ②∵长方形中，，， ∴，， ∵点C是关于点A的勾股点， ∴， ∵是以为腰的等腰三角形， 如图，若，则， 过点E作于点M，交于点N ∴， ∴四边形是长方形， ∴，， 设，则， ∵中，；中，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴中，． 如图，若，则E在的垂直平分线上， 过点E作于点P，交于点Q， ∴，， ∴四边形是长方形， ∴，， ∴中，， ∴， ∴中，． 综上所述，是以为腰的等腰三角形，的值为或． 【点睛】本题考查了对新概念的理解，首先根据题干理解勾股点的定义，同时考查了长方形的判定与性质、三角形内角和定理，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的定义与性质等知识点，是综合性很强的一道题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市2025—2026学年第一学期期末终结性测试 八年级（初二）数学试卷 说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能够作为直角三角形的三边长的一组是（　　） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 3，4，5 3. 在《哪吒2》特效制作中，为呈现细腻的法术光芒，对单个粒子的渲染精度要求极高．其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，0.0000025用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，的对边分别为，且．下列结论正确的是（   ） A. 为直角 B. 为直角 C. 为直角 D. 不是直角三角形 6. 已知，，是等腰三角形的三边，且满足．则等腰三角形的周长为（ ）． A. 12 B. 12或15 C. 9或12 D. 15 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：_________． 8. 约分：________． 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 10. 计算的结果是__________． 11. 如图，，则数轴上点所表示的数为_________． 12. 在平面直角坐标系中，已知点，若点是轴正半轴上的一个动点，当是等腰三角形时，则点坐标是_____． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 大自然中就充满了各种各样的神秘数字和规律．如，神秘的数字7，彩虹有7种颜色、音乐有7个基本音阶等；“勾股数”，能够构成直角三角形三条边．小明研究正整数时发现：有的正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，并把这类正整数称为“偶像数”．如，，则4，12称为“偶像数”． （1）试写出一个“偶像数”，并表示为两个连续偶数的平方差； （2）求证：任意的“偶像数”都能被4整除． 16. 请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图 （1）在图1中找一个格点C，以为腰，使为等腰三角形． （2）在图2中画出线段的中垂线． 17. 为了鼓励在秋季运动会期间表现积极的学生，八年级某班决定购买甲、乙两种奖品作为奖励．已知购买一件甲种奖品与一件乙种奖品共需80元，用120元购买甲种奖品与用200元购买乙种奖品的数量相同．求甲、乙两种奖品的单价分别为多少元每件． 四、（本大题3小题，每小题8分，共24分） 18. 先阅读下面的内容，然后再解答问题． 例：已知．求和的值． 解：∵， ∴． ∴． ∴． 解这个方程组，得：． 解答下面的问题： （1）如果成立．求的值； （2）已知为的三边长，若，试判断的形状，并证明． 19. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 20. 小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． （1）用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． （2）判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 五、（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 对于正数x，规定：．例如：． （1）求值：______；=______；______． （2）猜想：______，并证明你的结论； （3）求：的值． 22. 阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知，求代数式的值． （2）已知，对x进行分母有理化． （3）结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值． 六、（本大题共12分） 23. 如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点． 【概念理解】 （1）如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，则、、这三个点中是关于点的勾股点的有______（填“、、”）； 【问题探究】 （2）如图3，为等腰直角三角形，是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角（点、、顺时针排列），，连接，，求证：点为关于点的勾股点； 【拓展应用】 （3）是长方形内一点，且点是关于点的勾股点， ①如图4，若，，则的度数为______． ②若，，当是以为腰的等腰三角形时，此时的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $