检测8数列基础卷-2025-2026学年高二上学期数学寒假作业之单元检测（人教A版）

检测8数列-基础卷 1、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知数列为等差数列，首项，公差，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：一座七层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍．则该塔中间层（即第四层）悬挂灯的盏数为（   ） A． B． C． D． 3．等比数列中，，，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．1 4．设等差数列的前项和为，，则（   ） A． B．10 C．15 D．30 5．在数列中，，则（    ） A． B． C． D．3 6．在等差数列中，，，则（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 7．设等差数列的前项和为，公差，且，，则使的的最大值为（     ） A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 8．若等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A．12 B．10 C．5 D． 2、 多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列叙述不正确的有（　　） A．数列，，，与，，，是同一数列 B．数列，，，，的通项公式是 C．，，，，是常数列 D．，，，，是递增数列，也是无穷数列 10．已知数列的通项公式为，前项和为，则（   ） A． B． C． D． 11．已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A．若是等比数列，，则 B．记等差数列的前n项和分别为，若，则 C．若是等差数列，，则 D．若，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．设是等比数列，，，则的通项公式 ． 13．设为等差数列，若，则 ． 14．设数列的前项和，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．在数列中，，. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 16．已知等差数列满足：，，为其前项和，. (1)求数列的通项公式､前项和； (2)令，求的最大值 17．已知数列满足：，.若， (1)求证：为等差数列. (2)求数列的通项公式 18．为等比数列的前项和，且，． (1)求的通项公式； (2)保持的各项顺序不变，在和之间插入个1，使它们与数列中的项组成一个新的数列，记的前项和为，求． 19．已知等差数列的首项为1，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 检测8数列-基础卷 1、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知数列为等差数列，首项，公差，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：一座七层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍．则该塔中间层（即第四层）悬挂灯的盏数为（   ） A． B． C． D． 3．等比数列中，，，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．1 4．设等差数列的前项和为，，则（   ） A． B．10 C．15 D．30 5．在数列中，，则（    ） A． B． C． D．3 6．在等差数列中，，，则（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 7．设等差数列的前项和为，公差，且，，则使的的最大值为（     ） A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 8．若等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A．12 B．10 C．5 D． 2、 多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列叙述不正确的有（　　） A．数列，，，与，，，是同一数列 B．数列，，，，的通项公式是 C．，，，，是常数列 D．，，，，是递增数列，也是无穷数列 10．已知数列的通项公式为，前项和为，则（   ） A． B． C． D． 11．已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A．若是等比数列，，则 B．记等差数列的前n项和分别为，若，则 C．若是等差数列，，则 D．若，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．设是等比数列，，，则的通项公式 ． 13．设为等差数列，若，则 ． 14．设数列的前项和，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．在数列中，，. (1)求； (2)设，求数列的前项和. 16．已知等差数列满足：，，为其前项和，. (1)求数列的通项公式､前项和； (2)令，求的最大值 17．已知数列满足：，.若， (1)求证：为等差数列. (2)求数列的通项公式 18．为等比数列的前项和，且，． (1)求的通项公式； (2)保持的各项顺序不变，在和之间插入个1，使它们与数列中的项组成一个新的数列，记的前项和为，求． 19．已知等差数列的首项为1，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A A A C A B ABC ABD 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】利用等差数列通项公式计算即可； 【详解】因为数列为等差数列，首项，公差， 所以. 故选：D. 2．B 【分析】由题可知灯数构成等比数列，用等比数列的通项公式及前n项和公式解得. 【详解】设每层塔的灯数从上到下构成数列，则数列是公比的等比数列，且， 由等比数列的前n项和公式，得， 由等比数列的通项公式得. 故选：B. 3．A 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】由等比数列的性质可得，故. 故选：A. 4．A 【分析】根据等差数列性质和前n项和公式计算. 【详解】. 故选；A. 5．A 【分析】先由数列的递推公式求出数列的前几项，观察发现数列的周期性，由周期性转化求解即可. 【详解】因为， 所以，，， ，所以数列具有周期性，周期为，所以， 故选：A 6．C 【分析】等差数列的性质和基本量计算. 【详解】设等差数列的公差为. 由等差数列性质：， 已知，则，得， 已知，由， 代入得：，解得， ， 综上，. 故选：C 7．A 【分析】根据等差数列前项和公式，求出首项和公差之间的关系式，根据等差数列通项公式，求出结果. 【详解】由得，化简得， 因为，则 由得，化简得，即， 所以使成立的的最大值为1012. 故选：A. 8．B 【分析】根据等比数列下标和性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，又，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：B 9．ABC 【分析】利用数列的定义可判断A选项；利用观察法求出数列通项公式可判断B选项；利用常数列的定义可判断C选项；利用数列的单调性和无穷数列的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，数列是按一定顺序排成的一列数，即数列，，，与，，，是两个数列，故A错误； 对于B选项，数列，，，，的通项公式是，故B错误； 对于C选项，，，，，是摆动数列，故C错误； 对于D选项，，，，，是递增数列，也是无穷数列，故D正确. 故选：ABC. 10．ABD 【分析】根据数列的通项公式直接计算. 【详解】A选项：，A选项正确； B选项：，，则，B选项正确； C选项：，C选项错误； D选项：，，所以，D选项正确； 故选：ABD. 11．BCD 【分析】根据等比数列片段和性质判断A，根据等差数列求和公式判断B，求出公差，再由求和公式判断C，根据求出的通项，即可判断D. 【详解】对于A，因为是等比数列且，所以成等比数列， 所以，即，解得，故A错误； 对于B，因为等差数列的前项和分别为，且， 所以，故B正确； 对于C，设等差数列的公差为， 因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以， 又，所以是首项为，公差为的等差数列，所以， 所以，所以，故D正确． 故选：BCD． 12． 【分析】利用已知条件求出公比，再写出数列的通项公式. 【详解】，且，，又. ，. 故答案为： 13．4 【分析】根据等差数列的性质即可求解． 【详解】根据等差数列的性质，有，解得， 又． 故答案为：4． 14． 【分析】利用数列的通项与前n项和的关系求解. 【详解】数列的前项和， 当时，， 当时，， 因为适合上式，所以. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）利用累加法求出数列的通项公式; （2）由（1）可得,利用裂项相消法计求和即可. 【详解】（1）因为， 所以 （2）因为， 所以. 16．(1)，； (2) 【分析】（1）由已知求出等差数列公差，解出即可得通项公式以及前项和； （2）由（1）可得，，计算可得，进而可得出结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 所以，. 所以 （2） 得到 得到 合并得到 所以，，所以. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证； （2）根据等差数列，先求出的通项公式，进而根据得出的通项公式. 【详解】（1）因为，所以， 即，且因为，所以，， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2）由(1)知， 又，所以， 即数列的通项公式为. 18．(1) (2) 【分析】（1）设等比数列的公比为，首先判断，再由等比数列求和公式得到、的方程组，解得即可； （2）分析可得的前项包含的前项及个，再由分组求和法计算可得. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 若公比，则，显然无解，故； 所以， 两式相除可得，则，解得，所以， 所以； （2）设原数列有项时，插入的的个数如下： 在与间有个，在与间有个，…，在与间有个， 令，解得（负值已舍去）， 所以的前项包含的前项及个， 所以. 19．(1)； (2). 【分析】（1）根据题意列出方程，可解得数列的公差，即可得解； （2）运用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设的公差为，由已知， 即，解得， 故数列的通项公式为； （2）由（1）得，所以， 故. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $