甘肃省甘南藏族自治州临潭县第二中学2025-2026学年上学期1月份模拟卷高三数学

临潭县第二中学2025-2026学年上学期1月份模拟卷 高三 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={xlog:x<1},集合B={yy=√2-，则AUB=() A.(-0,2) B.（-∞，2] C.(0,2) D.[0,+∞) 2.若复数z满足：+i=, 2+则=() A.2+i B.2-i C.2√2 D.5 3.已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，P(X>0)=0.7,则P(X>2)=() A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 A 4.如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=3DC,若AD=AB+LAC, 则2() B D.3 D A. B C.2 3 7 A.22 3 B 3 D. 6.己知等比数列{a}的前n项和为Sn,且{a}满足2S=3a,+24,2S,-S。=8,则4，a,=() 1 A.16 B C.64 D.32 7.已知能圆C:+茶-1(a>b>0)的左，右货点分别为R,尺，以为圆公的圆过 椭圆C的中心，且与C在第一象限交于点P,若直线PF恰好与圆相切于点P,则C的离 心率为() A.√3-1 B.3-1 c.② D. V5-1 2 2 8.已知函数f(s)=(mx2-gdnx+9有三个零点，x,且x<x,<x3, 则a的取值范 围是() 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.某快递公司2020一2024年的快递业务量及其增长率如图所示，则() 亿件 2020-2024年快递业务量及其增长率 % 150 ☐快递业务量。-增长率 132.0 100 120 108.3 110.6 80 90 83.4 60 63.5 60 31 40 25.3 29.9 19.4 20 2.1 0 0 2020 2021 2022 2023 2024 A. 该公司2020一2024年快递业务量逐年上升 B.该公司2020-2024年快递业务量的极差为68.5亿件 C.该公司2020一2024年快递业务量的增长率的中位数为29.9% D.该公司2020一2024年快递业务量的增长率的平均数为21.58% 10.设抛物线C:y2=2Px(p>0)的焦点为F,抛物线C的准线过点A(-2,0).若点M满足 MA=√2MF,则下列结论正确的是() A.p=2 B.点M在以 3.0为圆心，5p为半径的图上 C.若点M在抛物线C上，则M=4 D.抛物线C上恰好存在两个满足题意的点M. 11.己知函数f(x)=(x-1)'e,则以下结论正确的是() A.f(x)在(-0，-2)上单调递增，在(-2，+∞)上单调递减 B.f(e3)<f(nπ)<f(2) C.函数y=f(x)只有1个零点 D.存在实数k,使得方程∫(x)=k(x-1)有4个实数解 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题。每小题5分，共15分 12.已知数列{a}为等差数列且41+a,+a3=4π，则tan(a2+a2)的值为 13.已知正实数a,b满足a2+b2=1, 则a+6+ 的最小值为 14.(（-1)的展开式中所有有理项的系数之和为 四、解答题：本题共5小题。共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分)已知数列{an}是等差数列，且4+4+4，=18,4=2a (1)求{a}的通项公式： (2)设b= 4 aa -,求数列地}的前n项和Sn E 16.(15分)已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形， AD=DE=4,AB=2,F为CD的中点. A (1)求证：AF∥平面BCE: (2)求证：平面BCE⊥平面CDE; (3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值. 17.(15分)某公司通过甲、乙两个团队销售一种产品，并在销售的过程中对该产品的单价 进行调整.现将两个团近100天的日均销售情况统计如下表所示： 天数 团队 甲团队 乙团队 日均销售量 超过3000件 30 50 不超过3000件 70 50 (1)是否有99%的把握认为产品的日均销售量是否超过3000件与团队的选择有关： (2)现对近5个月的月销售单价x,和月销售量y,(i=1,2,3,4,5)的数据进行了统计，得到如下 数表，求y关于x的回归直线方程 月销售单价约x(元/件) 10 10.5 11 11.5 12 月销售量y(万件) 13 12 10 8 7 (3)对日均销售量的多少，利用分层抽样的方法随机抽取5天调查，再从这5天中抽取2天 进行分析销售情况，求抽取的2天中日均销售量均超过3000件的概率. 参考公式：回归直线方程)=bx+a,其中参考公式数据： ∑xy-网 6= a=y-bx;K2= n(ad-be) ∑2-2 a+be+d)a+e)b+d图yF542,8:607.5 =1 P(K2) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 18.17分记知双前线C甚茶-1a0b>0的离心学为 ,焦点到渐近线的距离为√2. (1)求C的方程； 2C的下顶点为A,直线y=:+名与C的上支交于M,N两点（点M在靠近y轴的一侧）， 3 直线y直线AM,AN分别交于点P,9·记直线OP,AO的斜率分别为k,k,其 中O为原点. (i)求证：kk2=1: (ii)求AOAP外接圆的半径r的取值范围， 19.(17分)己知函数f(x)=x2-(2a+1)x+dlnx,a∈R (1)若a=0,求曲线y=∫(x)在点P(2,f(2)处的切线方程， (2)若f(x)在x=1处取得极值，求f(x)的极值 (3)若f(x)在1，e]上的最小值为-2a,求a的取值范围. 临潭县第二中学2025-2026学年上学期1月份模拟卷 高三 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解对数不等式，化简集合；求函数值域，化简集合，再由并集的概念，即可得出结果. 【详解】因为，， 因此.故选：D. 2．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数，所以，所以． 故选：C． 3．已知随机变量服从正态分布，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 【答案】B 【分析】利用正态分布的性质求解即可. 【详解】由题意得正态分布曲线关于对称， 因为，则． 故选：B 4．如图所示，在中，点在线段上，且，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由向量的运算法则，化简得,再由，即可求得 的值，即可求解. 【详解】由向量的运算法则， 可得, 因为，所以，从而求得，故选:B． 5．已知且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用两角和与差的三角公式，二倍角公式，可求得要求式子的值. 【详解】 ，又，∴.故选：A. 6．已知等比数列的前项和为，且满足，，则（    ） A． B． C．64 D．32 【答案】A 【分析】根据等比数列通项公式，前n项和公式求出首项和公比，再代入求值即可. 【详解】设等比数列的公比为，， ，即，． ，，， ，．故选：A. 7．已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与在第一象限交于点，若直线恰好与圆相切于点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可. 【详解】椭圆：（）的左，右焦点分别为，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与在第一象限交于点，若直线恰好与圆相切于点， 可得，可得 所以 解得.故选A 8．已知函数有三个零点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，将方程转化为，设，且，由导数得出的单调性与值域，并画出简图，设，则，得，分类讨论的范围，即可得出的范围． 【详解】令，得， 当时，，即或，只有2个零点，不合题意，故， 又， 所以， 设，且， 则，令，解得，且， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 则在的最小值为， 画出简图，如图所示，    所以当时，，当时，， 设，则， 变形为， 记，令，则， 画出简图，如图所示， ①当时，只有一个根， 则只有一个根，不合题意； ②当时，有两个根， 则有一个根，有两个根，符合题意； ③当时，有两个根， 则有一个根，有一个根，不合题意； 综上所述， ，即， 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某快递公司2020—2024年的快递业务量及其增长率如图所示，则（   ） A．该公司2020—2024年快递业务量逐年上升 B．该公司2020—2024年快递业务量的极差为68.5亿件 C．该公司2020—2024年快递业务量的增长率的中位数为29.9% D．该公司2020—2024年快递业务量的增长率的平均数为21.58% 【答案】ABD 【分析】根据图像和极差，中位数，平均数的计算公式依次判断每个选项即可. 【详解】对A：由图可知：2020—2024年快递业务量逐年上升，故A正确； 对B：2020—2024年快递业务量的极差为：（亿件），故B正确； 对C：因为增长率从小到大排序，即 则中位数为，故C错误； 对D：由，故D正确. 故选：ABD 10．设抛物线的焦点为，抛物线C的准线过点．若点M满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．点M在以为圆心，为半径的圆上 C．若点M在抛物线C上，则 D．抛物线C上恰好存在两个满足题意的点. 【答案】BCD 【分析】根据抛物线的定义、两点间距离公式等知识逐项计算即可. 【详解】对于A：因为抛物线的准线为，所以，A错误； 对于B：，设，则. 因为，所以， 化简得，即. 所以点在以为圆心，为半径的圆上，即点在以为圆心，为半径的圆上，B正确； 对于C：由，得，即，解得， 所以，所以，C正确； 对于D：根据C求出的点有两个，或，所以D正确. 故选：BCD. 11．已知函数，则以下结论正确的是（   ） A．在上单调递增，在上单调递减 B． C．函数只有1个零点 D．存在实数k，使得方程有4个实数解 【答案】BCD 【分析】对于A：求导，利用导数判断函数单调性；对于B：根据函数单调性分析判断；对于C：直接解方程即可；对于D：分和两种情况，构建，利用导数判断其单调性和极值，结合图象分析判断. 【详解】对于选项A：由题意可知：函数的定义域为， 因为， 当，则；当，则； 可知在上单调递减，在上单调递增，故A错误； 对于选项B：因为，且在上单调递增， 所以，故B正确； 对于选项C：令，解得， 所以函数只有1个零点，故C正确； 对于选项D：令，则， 若，，方程成立； 若，则， 构建，则， 当时，；当或时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，且， 当趋近于，趋近于0， 可得的图象如图所示： 当时，则与有3个交点， 即方程有3个根； 综上所述：存在实数k，使得方程有4个实数解，故D正确； 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列为等差数列且，则的值为 . 【答案】 【解析】先根据等差数列的等差中项的性质利用的值求得的值,进而利用等差中项的性质求得的值,代入答案可得. 【详解】，， ，故答案为：. 13．已知正实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】12 【分析】由条件可得，将展开并变形为，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】因为正实数，满足， 故，当且仅当时等号成立， 故 ， 当且仅当，即时取等号，符合题意， 故的最小值为12， 故答案为：12 14．的展开式中所有有理项的系数之和为 . 【答案】 【分析】先根据二项式展开式通项，找出有理项，再计算有理项的系数之和. 【详解】由二项式定理，可得的展开式通项为，当，即时，为有理项，所以所有有理项的系数之和为.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列是等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题可得，从而求出，，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得，采用裂项相消法求出. 【详解】（1）设等差数列的公差为，解得. ，可得，解得. 所以. （2）， 所以 16．（15分）已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点.      (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）添加辅助线构成平行四边形按线面平行的判定定理证明即可； （2）由题意先证明平面，再证明平面平面，即由线面垂直证明面面垂直； （3）添加辅助线，依题意找出为和平面所成的角，结合图形求出即可. 【详解】（1）    证明：如图取的中点，连接、.为的中点， 且， 由平面，平面， ，. 又，， 四边形为平行四边形，则， 平面，平面，平面. （2）证明：为等边三角形，为的中点， .平面，平面，， ，所以，， 又，、平面，平面， 平面，平面平面. （3）    如图：在平面内，过作于点，连接， 平面平面，平面平面，平面， 平面.为和平面所成的角， 因为，， 则，， 在中，， 直线和平面所成角的正弦值为. 17．（15分）某公司通过甲､乙两个团队销售一种产品，并在销售的过程中对该产品的单价进行调整．现将两个团近100天的日均销售情况统计如下表所示： (1)是否有的把握认为产品的日均销售量是否超过3000件与团队的选择有关； (2)现对近5个月的月销售单价，和月销售量的数据进行了统计，得到如下数表，求关于的回归直线方程． 月销售单价约元/件 10 11 12 月销售量万件 13 12 10 8 7 (3)对日均销售量的多少，利用分层抽样的方法随机抽取5天调查，再从这5天中抽取2天进行分析销售情况，求抽取的2天中日均销售量均超过3000件的概率． 参考公式：回归直线方程，其中参考公式数据： 【答案】(1)有 (2)； (3)． 【分析】（1）根据列联表，计算的值，结合附表，即可得到结论； （2）根据表格中的熟记，分别求得，利用公式求得，即可得到回归直线方程. （3）根据分层抽样得日均销售量超过3000的有天，日均销售量不超过3000的有天，再根据古典概率列举求解即可. 【详解】（1）解：依题意， 所以，有的把握认为产品的日均销售量是否超过件与团队的选择有关. （2）解：因为，， 所以， ， 所以，关于的回归直线方程为. （3）解：由表中数据可知，甲乙两个团队日均销售量超过3000件的有80天，不超过3000件的有120天， 所以，根据分层抽样的方法，抽取的5天中，日均销售量超过3000的有天，分别记为；日均销售量不超过3000的有天，分别记为， 所以，从这5天中抽取2天，可能的情况有：，共10种， 其中抽取的2天中日均销售量均超过3000件的只有一种情况， 所以，抽取的2天中日均销售量均超过3000件的概率为 18．（17分）已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)的下顶点为，直线与的上支交于，两点（点在靠近轴的一侧），直线与直线，分别交于点，，记直线，的斜率分别为，，其中为原点. （i）求证：； （ii）求外接圆的半径的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见详解；（ii）. 【分析】（1）根据已知条件建立方程求出得解； （2）（i）设，，将直线与双曲线方程联立，由根与系数的关系得，求出代入运算得证；（ii）设，求出的三边长，利用，表示出外接圆的半径的表达式，利用基本不等式求解. 【详解】（1）由题，设双曲线的上焦点为，渐近线方程为， 所以焦点到渐近线的距离为， 又离心率，即，得， 所以双曲线的方程为. （2）（i）由题得，设，， 联立，消去，整理得， 则，得或， ，， 因直线与上支交于两点，故，故或 直线的方程为，令，得，即， 所以， 同理，可得，即得， ， 又， 所以 ， 又，故. （ii）不妨设点均在第一象限，由（i）得， 则，故四点共圆，所以的外接圆即为四边形的外接圆， 设外接圆的圆心为，则，由（i）得，， 故 ， 故 因此，的外接圆的半径的取值范围为. 19．（17分）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若在处取得极值，求的极值. (3)若在上的最小值为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)极大值，极小值； (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求得答案； （2）根据在处取得极值，求出a的值，从而判断函数的单调性，求得极值； （3）分类讨论，讨论a与区间的位置关系，确定函数单调性，结合函数的最值，即可确定a的取值范围. 【详解】（1）若，则，则， 故， 故曲线在点处的切线方程为，即； （2）定义域为， 则， 由于在处取得极值，故， 则， 令，则或，函数在上均单调递增， 令，则，函数在上单调递减， 故当时，取到极大值， 当时，取到极小值； （3）由于， 当时，，仅在时等号取得，在上单调递增， 则，符合题意； 当时，则时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 故，不符合题意； 当时，，在上单调递减， 故，不符合题意； 综上，可知的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 临潭县第二中学2025-2026学年上学期1月份模拟卷 高三 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合，则（　　） A． B． C． D． 2．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知随机变量服从正态分布，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 4．如图所示，在中，点在线段上，且，若，则（    ） A． B． C．2 D． 5．已知且满足，则（    ） A． B． C． D． 6．已知等比数列的前项和为，且满足，，则（    ） A． B． C．64 D．32 7．已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与在第一象限交于点，若直线恰好与圆相切于点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数有三个零点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某快递公司2020—2024年的快递业务量及其增长率如图所示，则（   ） A．该公司2020—2024年快递业务量逐年上升 B．该公司2020—2024年快递业务量的极差为68.5亿件 C．该公司2020—2024年快递业务量的增长率的中位数为29.9% D．该公司2020—2024年快递业务量的增长率的平均数为21.58% 10．设抛物线的焦点为，抛物线C的准线过点．若点M满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．点M在以为圆心，为半径的圆上 C．若点M在抛物线C上，则 D．抛物线C上恰好存在两个满足题意的点. 11．已知函数，则以下结论正确的是（   ） A．在上单调递增，在上单调递减 B． C．函数只有1个零点 D．存在实数k，使得方程有4个实数解 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列为等差数列且，则的值为 . 13．已知正实数，满足，则的最小值为 ． 14．的展开式中所有有理项的系数之和为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列是等差数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．（15分）已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值. 17．（15分）某公司通过甲､乙两个团队销售一种产品，并在销售的过程中对该产品的单价进行调整．现将两个团近100天的日均销售情况统计如下表所示： (1)是否有的把握认为产品的日均销售量是否超过3000件与团队的选择有关； (2)现对近5个月的月销售单价，和月销售量的数据进行了统计，得到如下数表，求关于的回归直线方程． 月销售单价约元/件 10 11 12 月销售量万件 13 12 10 8 7 (3)对日均销售量的多少，利用分层抽样的方法随机抽取5天调查，再从这5天中抽取2天进行分析销售情况，求抽取的2天中日均销售量均超过3000件的概率． 参考公式：回归直线方程，其中参考公式数据： 18．（17分）已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)的下顶点为，直线与的上支交于，两点（点在靠近轴的一侧），直线与直线，分别交于点，，记直线，的斜率分别为，，其中为原点. （i）求证：； （ii）求外接圆的半径的取值范围. 19．（17分）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若在处取得极值，求的极值. (3)若在上的最小值为，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $临潭县第二中学2025-2026学年上学期1月份模拟卷 高三 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={lg,x<,集合B={yy=V2-},则AUB=( A.(-0,2) B.(-∞，2] C.(0,2) D.[0,+∞) 【答案】D 【分析】解对数不等式，化简集合A;求函数值域，化简集合B,再由并集的概念，即可得 出结果 【详解】因为A={og:<1={x0<x<2头，B={yy=V2-={yy≥0以， 因此AUB={yy≥0}.故选：D 5 2.若复数z满足：+i=2十行，则时（) A.2+i B.2-i C.2W2 D.5 【答案】C 【分析】根据复数的运算法则，化简得到二=2一2i,结合复数模的计算公式，即可求解 【详解】由复数z+i=。 55.(2-i) 2+i(2+i)(2-i) =2-i,所以：=2-2i,所以=2-2i=2W2 故选：C 3.已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，P(X>0)=0.7,则P(x>2)=() A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 【答案】B 【分析】利用正态分布的性质求解即可 【详解】由题意得正态分布曲线关于x=1对称， 因为P(X>0)=0.7,则P(X>2)=P(X<0)=1-0.7=0.3. 故选：B 4.如图所示，在&ABC中，点D在线段BC上，且BD=3DC,若AD=aB+uAC,则2 () B D A月 1 B. C.2 D. 3 2-3 【答案】B 【分析】由向量的运算法则，化简得AD=AB+3AC,再由AD=2AB+4C,即可求得元，u 3 4 的值，即可求解 【详解】由向量的运算法则， 可得40=西+D-=正+c=B+3(4C-AB)=4B+34C】 4 因为AD=九AB+LAC,所以元“=3 从而求得2」 1 u3,故选B > 5.已知x∈(0，π)且满足cos- + 18 则sina=() 4 A.22 2 B. 3 C. D. 3 3 【答案】A 【解析】利用两角和与差的三角公式，二倍角公式，可求得要求式子的值 √2 2 2 2 -号)-0-2a）g又acQ,ma-29放途：A 6.已知等比数列{a}的前n项和为Sm,且{a,}满足2S,=3g+24,2S,-S。=8,则a,4,=() 1 1 A.16 B 32 C.64 D.32 【答案】A 【分析】根据等比数列通项公式，前项和公式求出首项a,和公比9，再代入求值即可. 【详解】设等比数列{a}的公比为9，：2S=34+24, 2(4+a,+4,)=3a+2a,即4=2a,.q=2 2S2-S6=8,2× 1-2 2a=8,…1=4, 1 .an=4 故选：A 7.己知椭圆C: x2,y2 a =1（a>b>0)的左，右焦点分别为，F,以E,为圆心的圆过 椭圆C的中心，且与C在第一象限交于点P,若直线PF恰好与圆F,相切于点P,则C的离 心率为() A.√3-1 B.3-1 c.② D. V5-1 2 2 2 【答案】A 【分析】利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可。 【详解]图C:言+芬-1(a>b0)的左，右焦点分别为R,乃，以R为调心的圆过 椭圆C的中心，且与C在第一象限交于点P,若直线P耳恰好与圆耳，相切于点P, 可得(2a-c)2+c2=4c2,可得2a2+2ac=c2所以e2+2e-2=0,e∈(0,1) 解得e=2+2.V5-1故选A 2 8已知函数f(y=(m-号血x+r有三个零点喝，且<%<名，则a的取值范 围是() 【答案】D 【分折1令=0，将方程转化为。号点（点，设80=六x>0且x*, a 2 Inx e Inx 由导数得出g)的单调性与值域。并恒出简图，设1，则1em0)k+,得 1_1-上4，分类讨论的范围，即可得出a的范国。 a 2e 【详解】令f()=0,得v2_Cxhr+gx=0, e 当a=0时，山)=0，即x=1或x=,只有2个零点，不合题意，故a≠0， 又f0)=0≠0， e 所以y-xr+ax:=0e血-hx-￡一 11x1(x2, 2 e a21 e a 2 Inx e Inx 设g0-=x0且r1, 则8=血r-1 e-e, OnP,令g)=0,解得x=e,且g@= 当x∈(0,1)时，8'(x)<0,则g(x)单调递减， 当x∈1，e)时，g'(x)<0,则g(x)单调递减， 当x∈(e,+w)时，g'(x)>0,则g(x)单调递增， 则g(x)在(1，+o)的最小值为g(e)=e, 画出简图，如图所示， 所以当x∈(0,1)时，g(x)e(-o,0),当x∈(L,+o)时，g(x)∈[e,+o), 设x=t,则t∈（←o,0)U[e,+o), Inx 日变形为 记p=》令0，则4=04-号 画出简图，如图所示， ①当e(号0)时，-)11只有-个根1，<0. a a 2 e 则，= x只有一个根，不合题意： ②当2(m,-号时，1有两个根4<04>e, a 2e 则4=有-个银。占=六有两个银。符合短流： ®当日号时，日：有两个根<04=e a 则=有一个根，有一个根，不合题意： 综上所述， ae月即ae(20. 故选：D 二、多项选择题：本题关3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某快递公司2020一2024年的快递业务量及其增长率如图所示，则() 亿件 2020-2024年快递业务量及其增长率 % 150 100 ☐快递业务量。增长率 132.0 120 108.3 110.6 80 90 83.4 60 63.5 60 31.2 40 29.9 25.3 19.4 30 20 2.1 0 0 2020 2021 2022 2023 2024 A. 该公司2020一2024年快递业务量逐年上升 B.该公司2020一2024年快递业务量的极差为68.5亿件 C.该公司2020一2024年快递业务量的增长率的中位数为29.9% D.该公司2020一2024年快递业务量的增长率的平均数为21.58% 【答案】ABD 【分析】根据图像和极差，中位数，平均数的计算公式依次判断每个选项即可。 【详解】对A:由图可知：2020一2024年快递业务量逐年上升，故A正确： 对B:2020-2024年快递业务量的极差为：132.0-63.5=68.5（亿件），故B正确： 对C:因为增长率从小到大排序，即2.1%，19.4%，25.3%，29.9%，31.2%， 则中位数为25.3%，故C错误： 对D:由×(2.16+19496+25.3%+29.96+31.29%)=21.586，故D正确。 故选：ABD 10.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C的准线过点A(-2,0).若点M满足 MA=√②MF,则下列结论正确的是() A.p=2 B.点M在以 3.0为圆心，2p为半径的图上 C.若点M在抛物线C上，则MF=4 D.抛物线C上恰好存在两个满足题意的点M. 【答案】BCD 【分析】根据抛物线的定义、两点间距离公式等知识逐项计算即可. 【详解】对于A:因为抛物线C的准线为x=-?=-2,所以p=4,A错误： 对于B:F(2,0),设M(x,),则MA=V(x+2)+y2,MF=V(x-2)+y2 因为M4=V2MF,所以V+2+y2=V2Vx-2)+y2, 化简得x2-12x+4+y2=0,即(x-6)2+y2=32 所以点M在以(6,0)为圆心，42为半径的圆上，即点M在以 为圆心，√2p为半径 的圆上，B正确： y2=8x 对于C:由 (x-6°+=32得(x-6+8x=32,即x2-4+4=0,解得x=2, 所以M(2,±4)，所以M=4,C正确： 对于D:根据C求出的M点有两个，M(2,4)或M(2,-4),所以D正确 故选：BCD 11.己知函数f(x)=(x-1)e,则以下结论正确的是() A.∫(x)在(-0，-2)上单调递增，在(-2，+∞)上单调递减 B.f(e3)<f(ln)<f(2) C.函数y=f(x)只有1个零点 D.存在实数k,使得方程f(x)=k(x-1)有4个实数解 【答案】BCD 【分析】对于A:求导，利用导数判断函数单调性；对于B:根据函数单调性分析判断：对 于C:直接解方程即可；对于D:分x=1和x≠1两种情况，构建g(x)=(x-1)2e,x≠1，利 用导数判断其单调性和极值，结合图象分析判断. 【详解】对于选项A:由题意可知：函数∫(x)的定义域为R, 因为f'(x)=(x-1)3e*+3(x-1)e=(x-1)2(x+2)e*, 当x>-2,则f"(x)≥0：当x<-2,则f"(x)<0: 可知∫(x)在(-o,-2)上单调递减，在(-2，+∞)上单调递增，故A错误： 对于选项B:因为-2<e3<1<nπ<2，且f(x)在(-2，+∞)上单调递增， 所以f(e3)<f(nπ)<f(2),故B正确： 对于选项C:令f(x)=(x-1)e=0,解得x=1, 所以函数y=f(x)只有1个零点，故C正确： 对于选项D:令f(x)=k(x-1),则(x-1)3e=k(x-1), 若x=1,0=0,方程成立： 若x≠1，则(x-1)e*=k, 构建g(x)=(x-1)'e,x≠1，则g(x)=(x-1)2e+2(x-1)e=（x-1)(x+1)e, 当-1<x<1时，g'(x)<0:当x<-1或x>1时，g(x)>0: 可知g(x)在(1,1)内单调递减，在（←，-1,1，+∞）内单调递增，且8（←）=4，g)=0, 当x趋近于-o,g(x)趋近于0， 可得g(x)的图象如图所示： 4 f(x) -10 雪k0,1时，则y=k与y=g)有3个交点 即方程(x-1)2e=k,x≠1有3个根： 综上所述：存在实数k,使得方程f(x)=k(x-)有4个实数解，故D正确： 故选：BCD. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知数列{an}为等差数列且4+a+4=4π，则tan(a2+a2)的值为 【答案】-√ 【解析】先根据等差数列的等差中项的性质利用a+a,+a,的值求得α，的值，进而利用等差 中项的性质求得a+42的值，代入tan(a+a2)答案可得. 4π 【详解】a+a+43=3a=4π，.a,= 3 8 2 ∴.tan(a,+a2)=tan2a,=tan元=tan5元=√厂3，故答案为：-√5 13.已知正实数a,b满足a2+b2=1,则4a+ 4b+ 的最小值为 2a 2b 【答案】12 【分折1由条件可得0<心s分将a 1 4b+ 2a八 的 展开并变形为16b+1+ 2(a+b2） 4ab ab 利用基本不等式即可求得答案 【详解】因为正实数a,b满足a2+b2=1, 故0<b≤d+心-，当且仅当a=b时等号成立， 221 1 故4a+2a Ab* 1 =16ab+ 1,2a2b Aab'b a 1 =16ab+ 2(d+b）16ab+ b≥26ab. 9 -12, 4ab ab ab 当且仅当16b=9 4乃·即b三三时取等号，符合题意 8 4b+ 1 2b 的最小值为12， 故答案为：12 14.（-1)'的展开式中所有有理项的系数之和为 【答案】-16 【分析】先根据二项式展开式通项，找出有理项，再计算有理项的系数之和 【详解】由二项式定理，可得(-1的展开式通项为工1=C()”(1),r=0,1,23,4,5, 当5-r=0,2,4,即r=5,3,1时，T+为有理项，所以所有有理项的系数之和为 (1)°×C+(-1)×C+(1)×C=-(1+10+5)=-16.故答案为：-16 四、解答题：本题共5小题，共77分。解窖应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)己知数列{a}是等差数列，且4+4+4=18,4=24· (1)求{a}的通项公式： (2)设b= 4 ，求数列b}的前n项和Sa a.a2+ 【答案】(1)a.=2n: ②)S= n+1 【分析】(1)由题可得 4+4+a=3a=18 &-d=2(a-2d）,从而求出4，d,进而得到数列{a}的通项 公式： 2)由(1)得五=11 ,采用裂项相消法求出S nn+l 【详解】(1)设等差数列{a}的公差为d,4+4+4=3a=18,解得a=6 a2=2a,可得4-d=2(a-2d),解得d=2. 所以an=a+2(n-3)=2n. (2)b,=4 1 11 aa n(n+1)nn+l 所以8A16店日41网 16.(15分)已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形，AD=DE=4, AB到=2，F为CD的中点. B D (1)求证：AF∥平面BCE: (2)求证：平面BCE⊥平面CDE; (3)求直线BP和平面BCE所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 4 【分析】(1)添加辅助线构成平行四边形按线面平行的判定定理证明即可： (2)由题意先证明BG⊥平面CDE,再证明平面BCE⊥平面CDE,即由线面垂直证明面面 垂直： (3)添加辅助线，依题意找出∠FBH为BF和平面BCE所成的角，结合图形求出即可. 【详解】(1) B E D 证明：如图取CE的中点G,连接FG、BG.F为CD的中点， :GEIIDE且GN=2DE, 由AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD, .AB//DE,:.GF //AB