微专题07 相似模型举例（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第四章 三角形 专题07 相似模型举例 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：A字模型 类型 A型模型 作平行线构造A型相似 条件 DE∥BC 点D在线段AB上 图示 结论 ∆ADE∽∆ABC 过点D作DE//BC交AC于点E，得“A字”相似模型，将转化为 如图2，过点B作BC//DE交AE的延长线于点C，得“A字”相似模型,将转化为 1．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，点D，E分别在，上，且，，若的面积为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，点E，D分别在的边，上．已知 ，且则的长为 ． 3．（2025·辽宁葫芦岛·二模）【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师提出如下问题：如图1，在正方形中，E是边上一点（不与点C，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接，求的度数： ①小明同学给出的解题思路是：如图2，在上截取，连接，……； ②小亮同学给出如下解题思路是：如图3，过点F作，交的延长线于点H，……： 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程： 【类比分析】 （2）王老师发现两名同学都是根据图形的特点运用了构造全等的方法，体现了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，王老师提出了下面的问题，请你解答．如图4，在菱形中，，E是边上一点（不与点C，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，作射线交的延长线于点G．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图5，在（2）的条件下，连接交于点M，若，，求的长． 考点二：8字模型 类型 X型模型 作平行线构造X型相似 条件 AB∥CD =k 图示 结论 ∆AOB∽∆COD 过点D作CD∥AB，交AO的延长线于点C，则可构造∆AOB∽∆COD，可得 1．（2025·四川内江·中考真题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 2．（2013·四川内江·中考真题）如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=（ ） A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2 3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，D、E分别是的边上的点，，若，则 ． 考点三：子母模型 类型 母子相似模型 构造母子相似模型 条件 点D在AC边上，∠1=∠2 ∠ABE=∠C 图示 结论 ∆ACD∽∆ABC， 延长BE交AC于点F ∆ABF∽∆ACB 过点C作CG∥BF交AB延长线于点G, ∆ABC∽∆ACG 1．（2025·河南·中考真题）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为 ． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在中，是线段上一点（不与端点重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点F，则线段长度的最大值为 ． 3．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 考点四：一线三等角模型 类型 一线三等角模型（同侧型） 一线三垂直模型（同侧型） 条件 ∠B=∠D=∠ACE=α ∠B=∠D=∠ACE=90° 图示 结论 ∆ABC∽∆CDE 或BC•CD=AB•DE ∆ABC∽∆CDE 或BC•CD=AB•DE 1．（2025·辽宁盘锦·三模）正方形的边长为，是射线上一点，连接，，过点作与直线交于点，连接，若的面积为，则的长为 ． 2．（2024·广西玉林·三模）如图1，在边长为4的正方形中，点H为上一动点，且，截取，且交线段于M，过M作的垂线交于N． (1)求证：； (2)如图2，若点M是的中点，求的周长； (3)在动点H逐渐向点A运动（HB逐渐增大）的过程中，的周长如何变化？请说明理由． 3．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 考点五：手拉手模型 条件：在∆ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE， 图示： 解题策略：连接BD，CE,根据已知条件可证明∆ABD∽∆ACE 结论：∆ABD∽∆ACE，∆ADE∽∆ABC 1．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在中，，为边上一点，，是的外接圆，为的直径，连接． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的直径． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）在和中，，，，，． (1)如图1，当点D、E分别恰好在、上时，求与四边形的面积比； (2)如图2，绕点A逆时针旋转角度连接，在上找一点F，使得，取中点G，连接，求的长； (3)如图3，经旋转得到以为长、为宽的矩形，矩形绕点A逆时针旋转一周，当B、M、E三点共线时，直接写出的长． 3．（24-25九年级下·江苏盐城·月考）【问题情境】 数学活动课上，同学们发现了以下结论：如图1，已知等腰和等腰，其中，射线与相交于点F，那么和数量关系是________，和位置关系是________； 【思考尝试】 如图2，已知四边形和四边形都是正方形，是等腰直角三角形，，连接、．同学们发现若能证明四边形为平行四边形，即可找出与的数量关系．请你根据以上思路，试猜想与的数量关系，并说明理由； 【实践探究】 如图3，四边形和四边形都是矩形，若，连接、．求出与的数量关系； 【拓展迁移】 如图3，在【实践探究】的基础上，若，，如果、所在直线相交于点H，请直接写出矩形绕点A旋转一周过程中长度的最小值为________． 考点六：其他模型 1．（2025·四川广元·中考真题）综合与实践 （1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数； （2）【深入探究】如图②，在矩形中，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值； （3）【学以致用】如图③，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长． 2．（2025·辽宁锦州·二模）图形的平移、旋转、轴对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解轴对称的本质，某校《几何原本》社团在一次活动中，以正方形折叠为素材从轴对称的角度进行了如下探究： 在正方形中，为边的中点，为上的两个动点（点在点的左侧），将沿折叠得到，使点的对应点落在线段上． 【初步探究】 （1）如图1，若点在边上， ①探究线段和线段之间的关系，并说明理由； ②连接，当时，求的长； 【拓展应用】 （2）如图2，若点，在射线上，连接，过点作交于点，连接，若，求的面积． 3．（2025·辽宁丹东·二模）已知，在中，，，将绕点逆时针方向旋转得到，使点的对应点落在边上，射线交于点，连接． 问题初探： （1）如图1，当时，求证：点是的中点； （2）小明在（1）问的条件下继续探究，发现所在直线是的垂直平分线，从而求出的度数，进而得到的度数，因此他说，请你写出小明结论的具体证明过程； 实践探究： （3）如图2，当时，判断，，之间的数量关系，并说明理由；小明认为在的条件下，，也可以写成，所以猜想当时，也成立；小丽在上截取，连接，如图3，通过证明，从而得到小明的结论是正确的． 请你帮助小丽完成证明过程； 问题解决：班级的数学活动小组对上述问题进行研究之后，在原有条件不变的情况下，提出了下面这个问题： （4）若，，直接写出的长．请你直接写出正确答案． 1．（2025·辽宁大连·二模）如图，小明用两根木棍，制成一个测量工具，测量化学实验器材锥形瓶内径的长．若与交于点，，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图,在中,,,以点为圆心,以适当长为半径作弧,分别交,于点,；分别以,为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧在内交于点,作射线,交于点,交延长线于点,则 ． 4．（2025·辽宁营口·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点在负半轴上，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，点恰好在反比例函数图象上，连接，线段与轴交于点，若，则的值是 ． 5．（2025·辽宁朝阳·一模）综合与实践 平行四边形是重要的几何图形，包括矩形、菱形、正方形，这些几何图形有共性，也有特性．数学课上，数学老师以正方形为基本图形，从折叠变换的角度开展数学活动． 【操作判断】同学们积极参与操作，其中小刚同学进行了如下操作，并进行了展示，如图1： 第1步：分别取、的中点E、F，连结，将正方形纸片沿折叠，这样点A与点B重合，点C与点D重合，然后展开铺平； 第2步：连结，再将沿翻折得到； 第3步：延长，的延长线与交于点H． 【探究发现】（1）同学们对小刚同学折叠后得到的图形进行了研究，通过测量猜测，得到了两个重要的结论． ①填空：的度数是__________； ②； 请帮助同学们验证②结论的正确性． 【深入研究】（2）因为（1）中②，所以我们把像点H这样把一条线段分成两段的点叫做这条线段的一个“三等分点”．数学老师为了让同学们对“三等分点”有更深层次的理解，出示如下试题：如图2，菱形，，，在对角线上取一个三等分点E，连结，以为对称轴，作点D的对称点，作射线，交菱形的边于点F，求的长． 1．（2025·辽宁营口·二模）给出如下定义：若以线段为边长能围成直角三角形，则称线段为“勾股线段”． (1)若线段，且为“勾股线段”，求线段的长； (2)如图1，点为线段上的两点，满足，以为斜边在上方作等腰直角，连接，若，求证：为“勾股线段”； (3)如图2，在（2）基础上，将等腰沿直线翻折得到，将以点为旋转中心逆时针旋转，点在线段上，点在线段延长线上，射线与交于点，与延长线交于点，射线与延长线交于点，若，，求的周长． 2．（2025·辽宁大连·二模）综合与实践 【了解定义】 如图1，在和中，，点在底的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做同位等腰三角形．在同位等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线．图1中和是腰角，线段是轴线． 【探究性质】 小明通过测量、折纸的方法猜想同位等腰三角形有以下性质：同位等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边． 小明利用图1给出已知、求证，请帮助小明完成证明． （1）已知：如图1，和是同位等腰三角形，连接．求证：，直线是线段的垂直平分线． 【辨析理解】 （2）如图2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与相交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是同位等腰三角形． 【拓展应用】 （3）如图3，和是同位等腰三角形，，点在的延长线上，且的延长线与分别交于点，点在上，．若，，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 专题07 相似模型举例 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：A字模型 类型 A型模型 作平行线构造A型相似 条件 DE∥BC 点D在线段AB上 图示 结论 ∆ADE∽∆ABC 过点D作DE//BC交AC于点E，得“A字”相似模型，将转化为 如图2，过点B作BC//DE交AE的延长线于点C，得“A字”相似模型,将转化为 1．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，点D，E分别在，上，且，，若的面积为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，得出，因为的面积为，所以，再结合面积和差关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵,， ∴， ∵， ∴， ∴， 则 ∵的面积为， ∴ 则四边形的面积为， 故选：C． 2．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，点E，D分别在的边，上．已知 ，且则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先由得再结合得，证明，故结合即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴． 故答案为：． 3．（2025·辽宁葫芦岛·二模）【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师提出如下问题：如图1，在正方形中，E是边上一点（不与点C，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接，求的度数： ①小明同学给出的解题思路是：如图2，在上截取，连接，……； ②小亮同学给出如下解题思路是：如图3，过点F作，交的延长线于点H，……： 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程： 【类比分析】 （2）王老师发现两名同学都是根据图形的特点运用了构造全等的方法，体现了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，王老师提出了下面的问题，请你解答．如图4，在菱形中，，E是边上一点（不与点C，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，作射线交的延长线于点G．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图5，在（2）的条件下，连接交于点M，若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）选择小明解题思路，如图，在上截取，使得，连接，证明，推出，据此可求解；选择小亮解题思路：过点F作交的延长线于点H，证明，推出，，据此可求解； （2）在上截取，使得，连接，证明，，得到，求得，利用直角三角形的性质即可证明结论成立； （3），结合直角三角形的性质求得，，得到，在上截取，使得，连接，过点B作，垂足为H，推出，据此求解即可． 【详解】（1）解：小明解题思路：如图，在上截取，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 小亮解题思路：如图，过点F作交的延长线于点H， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，在上截取，使得，连接， ∵四边形是菱形，， ， ， ， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是菱形， ， ， 在中， ， ， ； （3）解：∵四边形是菱形，， ，， ， ， 由（2）知，， ，， ， ， ∴， 在上截取，使得，连接，过点B作，垂足为H， 由（2）知， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是四边形综合、全等三角形的判定与性质、正方形性质、菱形性质、等腰三角形性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形或相似三角形． 考点二：8字模型 类型 X型模型 作平行线构造X型相似 条件 AB∥CD =k 图示 结论 ∆AOB∽∆COD 过点D作CD∥AB，交AO的延长线于点C，则可构造∆AOB∽∆COD，可得 1．（2025·四川内江·中考真题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 2．（2013·四川内江·中考真题）如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=（ ） A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2 【答案】B 【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF∶S△ABF=4∶25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE∶AB的值，由AB=CD即可得出结论． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD ∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE ∴△DEF∽△BAF ∴ ∵， ∴DE：AB=2：5 ∵AB=CD， ∴DE：EC=2：3 故选B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，D、E分别是的边上的点，，若，则 ． 【答案】/0.4 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，由，易得，，于是，进而得到，从而推出结果． 【详解】解：， ， ，即 ， ， ， 故答案为：． 考点三：子母模型 类型 母子相似模型 构造母子相似模型 条件 点D在AC边上，∠1=∠2 ∠ABE=∠C 图示 结论 ∆ACD∽∆ABC， 延长BE交AC于点F ∆ABF∽∆ACB 过点C作CG∥BF交AB延长线于点G, ∆ABC∽∆ACG 1．（2025·河南·中考真题）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为 ． 【答案】或 【分析】题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分情况讨论：①当时，过点作于点，由等腰三角形的性质得到，证明，得到，即可求出的长；②当时，过点作交于点，由等角对等边得到，再证明，设，进而得出，，根据求出的值，即可求出的长；③当时，利用锐角三角函数，得出，，即此种情况不存在；④当时，同③理可证，此种情况不存在；即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 若为“反直角三角形”， ①当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②当时，过点作交于点， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ， ，， ， ， ； ③当时， ，，且， ， ， 若，则，即， 此种情况不存在； ④当时， 当点与点重合时，最小，此时， 同③理可证，此种情况不存在； 综上可知，的长为或， 故答案为：或． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在中，是线段上一点（不与端点重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点F，则线段长度的最大值为 ． 【答案】/0.75 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，垂线段最短，过点作于，解得到，证明，可得，根据可知当有最小值时，有最大值，当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合，可求出的最小值为，则的最大值为． 【详解】解：如图所示，过点作于， 在中，， ∴； ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当有最小值时，有最大值， ∴当有最小值时，有最小值， ∴当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合， ∴的最小值为， ∴的最小值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 3．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】问题解决：①互相平行；②=；【方法应用】①见解析；②或或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 问题解决：①根据等腰三角形的性质得出，从而可得； ②证明得出，即，由可得结论； 方法应用：①根据双等四边形的定义进行证明；②分，或，或，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：[问题解决]①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ， ， ， ； 故答案为：①平行；②＝； 方法应用：①为旋转得到， ， 令，则，， ， 由旋转得，， 又， ∴， ， ， ， 四边形为双等四边形； ②作于点， ，， ，， 设，则： ， 在中，，即， 解得：， ，， 若，时，， 若，时， ， 作于点， ∴， ， ， 若，时，如图， ， ， ， ， ． 综上所述：满足条件时，或或． 考点四：一线三等角模型 类型 一线三等角模型（同侧型） 一线三垂直模型（同侧型） 条件 ∠B=∠D=∠ACE=α ∠B=∠D=∠ACE=90° 图示 结论 ∆ABC∽∆CDE 或BC•CD=AB•DE ∆ABC∽∆CDE 或BC•CD=AB•DE 1．（2025·辽宁盘锦·三模）正方形的边长为，是射线上一点，连接，，过点作与直线交于点，连接，若的面积为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，根据题意得出，证明，根据相似三角形的性质，列出比例式，进而即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵的面积为， ∴ ∴ ∴ 解得：， 故答案为：． 2．（2024·广西玉林·三模）如图1，在边长为4的正方形中，点H为上一动点，且，截取，且交线段于M，过M作的垂线交于N． (1)求证：； (2)如图2，若点M是的中点，求的周长； (3)在动点H逐渐向点A运动（HB逐渐增大）的过程中，的周长如何变化？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)的周长； (3)在点O的运动过程中，的周长P始终为8，是一个定值，理由见解析． 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）由正方形的性质以及垂直的定义可得、，进而得到，再结合即可证明结论； （2）由题意可得，设，则，由勾股定理可得，解得，即；再根据相似三角形的性质可得，进而得到、，最后根据三角形周长的定义即可解答； （3）设，则，在中运用勾股定理可得，即、；再根据相似三角形的周长比等于相似比可得的周长的周长，最后代入数据化简即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴； ∵ ∴， ∴，； ∴； 又∵； ∴． （2）解：∵点M是的中点，正方形边长为4， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得：， ∴ ∵； ∴，即 ∴，， ∴的周长． （3）解：在点H的运动过程中，的周长P始终为8，是一个定值，理由如下： 设，则， 在中， ∴，即， 又∵， ∵；且相似比为： ∴的周长的周长． ∴在点H的运动过程中，的周长始终为8，是一个定值． 3．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质． （1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：； （2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ． 考点五：手拉手模型 条件：在∆ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE， 图示： 解题策略：连接BD，CE,根据已知条件可证明∆ABD∽∆ACE 结论：∆ABD∽∆ACE，∆ADE∽∆ABC 1．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在中，，为边上一点，，是的外接圆，为的直径，连接． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定及其性质、勾股定理的应用，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握所学知识并正确作辅助线构造三角形． （1）根据等腰三角形的性质以及圆周角定理可得，即可求证； （2）作于点，根据等腰三角形的性质可得，．然后根据勾股定理可得，的长，然后根据，即可求解． 【详解】（1）证明：， ． ， ． ． ， ． 是的直径， ． ． ． 即， 又是的半径， 是的切线． （2）解：作于点， ，． ，， ， ∴，． 在中，， 根据勾股定理得：， ． ，， ． ． 即， ． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）在和中，，，，，． (1)如图1，当点D、E分别恰好在、上时，求与四边形的面积比； (2)如图2，绕点A逆时针旋转角度连接，在上找一点F，使得，取中点G，连接，求的长； (3)如图3，经旋转得到以为长、为宽的矩形，矩形绕点A逆时针旋转一周，当B、M、E三点共线时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)长为或 【分析】（1）利用正切函数，求的长，算出，的面积，得到四边形的面积，再求面积比； （2）如图2，连结并延长交于O，交于H，证明，，再得出，进一步推理得到和重合，是直角三角形斜边的中线，等于斜边的一半，用勾股定理求出即可； （3）如图3，图4，连结，当B、M、E三点共线时，有两种可能，先用勾股定理求出，，，即可求得答案． 【详解】（1）在中，，， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，连结并延长交于点O，交于点H， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，是重合的， ，D，F在一条直线上， 是直角三角形， 是的中点， ， 中，，，， ， ， ； （3）①如图3，B，M，E在一条直线上，连结， ， ， 矩形中，， ，， ， ， ， ， ， ， ； ②如图4，B，M，E在一条直线上，连结， ， ， ； 长为或 ． 【点睛】本题考查了图形的旋转，三角函数，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，矩形性质，关键是添加辅助线，构造相似三角形，找出线段的比例关系． 3．（24-25九年级下·江苏盐城·月考）【问题情境】 数学活动课上，同学们发现了以下结论：如图1，已知等腰和等腰，其中，射线与相交于点F，那么和数量关系是________，和位置关系是________； 【思考尝试】 如图2，已知四边形和四边形都是正方形，是等腰直角三角形，，连接、．同学们发现若能证明四边形为平行四边形，即可找出与的数量关系．请你根据以上思路，试猜想与的数量关系，并说明理由； 【实践探究】 如图3，四边形和四边形都是矩形，若，连接、．求出与的数量关系； 【拓展迁移】 如图3，在【实践探究】的基础上，若，，如果、所在直线相交于点H，请直接写出矩形绕点A旋转一周过程中长度的最小值为________． 【答案】问题情境：，；思考尝试：，理由见解析；实践探究：；拓展迁移： 【分析】问题情境：证明，得到，进而推导出，得到，即可得到； 思考尝试：证明四边形为平行四边形，得到，由勾股定理得到，即可得到， 实践探究：过点作，并使得，证明，得到，进而得到，即可得到，又由勾股定理得到，即得到， 拓展迁移：由作图可得，点的运动轨迹为以点为圆心的圆上，当时，和相切，点重合，此时最大，最小，即的长最小，由勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】解：问题情境：∵等腰和等腰， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 思考尝试：∵四边形是正方形，是等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， 又， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 故答案为：； 实践探究：如图3，过点作，并使得，则，连接， 四边形是矩形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ． 拓展迁移：∵， ∴如图，点的运动轨迹为以点为圆心的圆上，当时，和相切，，此时点重合，此时最大， ， ∴此时最小，即的长最小， ， ， ， ， ， ， ∴矩形绕点旋转一周过程中长度的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质，圆相关知识点，掌握以上知识点并正确作出辅助线是解题的关键． 考点六：其他模型 1．（2025·四川广元·中考真题）综合与实践 （1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数； （2）【深入探究】如图②，在矩形中，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值； （3）【学以致用】如图③，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；F到的距离的最大值为；（3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、矩形和梯形的面积计算及几何最值问题，解题的关键是通过角度关系和线段比例证明相似三角形，利用面积关系转化线段关系，结合图形性质求解． （1）初步感知：由推出，结合得比例式，证明，利用得出的度数． （2）深入探究：由矩形面积和面积关系得的定值，结合和矩形中，证明；得出，即可得出在以为直径的圆上运动，进而根据题意，即可求解． （3）学以致用：先计算梯形面积和面积，结合得的定值；根据（2）构造矩形，证明，得出，得出在为直径的圆上，进而求得出当的面积最小时，得出是等腰直角三角形，勾股定理即可得出长． 【详解】（1）解：∵ ∴，即． ． ∴（两边对应成比例且夹角相等）． ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴，即， ∴ ∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴在以为直径的圆上运动， ∴到的最大距离为； （3）解：∵梯形中，，，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵点E是线段的中点， ∴， 如图，取，作矩形，则，，连接， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴在为直径的圆上， ∴当的面积最小时，在过点且垂直于的直线上，则此时是等腰直角三角形， ∴． 2．（2025·辽宁锦州·二模）图形的平移、旋转、轴对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解轴对称的本质，某校《几何原本》社团在一次活动中，以正方形折叠为素材从轴对称的角度进行了如下探究： 在正方形中，为边的中点，为上的两个动点（点在点的左侧），将沿折叠得到，使点的对应点落在线段上． 【初步探究】 （1）如图1，若点在边上， ①探究线段和线段之间的关系，并说明理由； ②连接，当时，求的长； 【拓展应用】 （2）如图2，若点，在射线上，连接，过点作交于点，连接，若，求的面积． 【答案】（1）①线段和线段之间的关系为：，；理由见详解；②；（2）的面积为或 【分析】（1）①由折叠得到，，进而可证明，，根据平行线分线段成比例的性质可得，进而证明是的中位线，即可证明；②连接交于，连接交于点，证明四边形是正方形，进而可证明是的垂直平分线，根据， ， ，设，，在中，根据勾股定理建立方程即可求解； （2）分两种情况：①当点，在边上时，过点作于点，连接，证明，得，由，，得 ，，设，，则，，，，进而可得；，，证明，得，可求，即可求面积；② 点，在射线上时，过点作于点，连接，同法示求 ，即可求面积． 【详解】解：（1）①如图1， 沿折叠得到， ，， 为的中点， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， 是的中位线， ， 综上所述，线段和线段之间的关系为：，； ②如图2， 连接交于，连接交于点， 点，关于对称， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 在中，， 设，， 在中，， ， ，即； （2）①如图3， 当点，在边上时，过点作于点，连接， 由（1）知，，， ， ， ， ，， ， ， ， 由（1）知，， ， ， 设，， ，，，， ， 即， ； ， ， ，， ， ， ， ， ， ； ②如图4， 点，在射线上时，过点作于点，连接， 由（1）知，，， ， ， ， ，， ， ， ， 由（1）知，， ， ， 设，， ，，，， ，即， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，涉及轴对称的性质、正方形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、解直角三角形等知识，综合性强，难度较大，熟知相关性质，正确画出图形，结合图形分类讨论是正确解答此题的关键． 3．（2025·辽宁丹东·二模）已知，在中，，，将绕点逆时针方向旋转得到，使点的对应点落在边上，射线交于点，连接． 问题初探： （1）如图1，当时，求证：点是的中点； （2）小明在（1）问的条件下继续探究，发现所在直线是的垂直平分线，从而求出的度数，进而得到的度数，因此他说，请你写出小明结论的具体证明过程； 实践探究： （3）如图2，当时，判断，，之间的数量关系，并说明理由；小明认为在的条件下，，也可以写成，所以猜想当时，也成立；小丽在上截取，连接，如图3，通过证明，从而得到小明的结论是正确的． 请你帮助小丽完成证明过程； 问题解决：班级的数学活动小组对上述问题进行研究之后，在原有条件不变的情况下，提出了下面这个问题： （4）若，，直接写出的长．请你直接写出正确答案． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）的长为或． 【分析】（1）根据直角三角形的性质求得，再由旋转的性质求得，即，据此即可证明点是的中点； （2）先证明垂直平分线，求得，，在中，利用直角三角形的性质即可证明； （3）在上截取，连接，证明，推出，，再证明是等边三角形，得到，据此可证； （4）作于点，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，， ，分两种情况讨论，当是锐角时，可证明，推出，，结合（3）的结论，求解即可；当是钝角时，同理可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∵点落在边上， ∴点是的中点； （2）证明：∵旋转， ∴，，， ∴垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴； （3）证明：在上截取，连接， ∵旋转， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （4）解：作于点， 在中，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 当是锐角时， 则， ∵旋转， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴； 当是钝角时， 则， ∵旋转， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 1．（2025·辽宁大连·二模）如图，小明用两根木棍，制成一个测量工具，测量化学实验器材锥形瓶内径的长．若与交于点，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，证明两个三角形相似，即可求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解． 【详解】解：∵， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等， ∴，即， 故选：A． 3．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图,在中,,,以点为圆心,以适当长为半径作弧,分别交,于点,；分别以,为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧在内交于点,作射线,交于点,交延长线于点,则 ． 【答案】/0.25 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、尺规作图、相似三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质可知，，由尺规作图可知平分，根据角平分线的性质可得：，从而可知，，根据相似三角形的性质可知． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， ， 由作图可知平分， ， ， ， ， ， ， . 故答案为：． 4．（2025·辽宁营口·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点在负半轴上，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，点恰好在反比例函数图象上，连接，线段与轴交于点，若，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键． 先证得得出，，再证得求出，然后代入求解即可． 【详解】解：过点C作轴交于点E， 由旋转可得，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 由轴得， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∵点恰好在反比例函数图象上， ∴， 解得， 故答案为：2． 5．（2025·辽宁朝阳·一模）综合与实践 平行四边形是重要的几何图形，包括矩形、菱形、正方形，这些几何图形有共性，也有特性．数学课上，数学老师以正方形为基本图形，从折叠变换的角度开展数学活动． 【操作判断】同学们积极参与操作，其中小刚同学进行了如下操作，并进行了展示，如图1： 第1步：分别取、的中点E、F，连结，将正方形纸片沿折叠，这样点A与点B重合，点C与点D重合，然后展开铺平； 第2步：连结，再将沿翻折得到； 第3步：延长，的延长线与交于点H． 【探究发现】（1）同学们对小刚同学折叠后得到的图形进行了研究，通过测量猜测，得到了两个重要的结论． ①填空：的度数是__________； ②； 请帮助同学们验证②结论的正确性． 【深入研究】（2）因为（1）中②，所以我们把像点H这样把一条线段分成两段的点叫做这条线段的一个“三等分点”．数学老师为了让同学们对“三等分点”有更深层次的理解，出示如下试题：如图2，菱形，，，在对角线上取一个三等分点E，连结，以为对称轴，作点D的对称点，作射线，交菱形的边于点F，求的长． 【答案】（1）①；②见解析；（2）的长为或． 【分析】（1）①由折叠的性质结合菱形的性质求得，再证明，求得，据此求解即可； ②设正方形的边长为，则，设，则，，，在中，由勾股定理列式求得，据此计算即可得证； （2）由菱形的性质结合轴对称的性质知，，，分两种情况，当时，证明，设，，利用相似三角形的性质求得，再证明，利用相似三角形的性质结合图形可求解；当时，同理求得，解得，得到； 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②设正方形的边长为， ∴， 设，则，， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴，， ∴； （2）∵四边形是菱形， ∴， ∵点D关于的对称点为， ∴， ∴，，， ∵，点E是上的一个三等分点， ∴或， 分两种情况，当时，，，如图， ∵，， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，，，如图， 同理，可证， ∴， 设，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，折叠的性质，勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 1．（2025·辽宁营口·二模）给出如下定义：若以线段为边长能围成直角三角形，则称线段为“勾股线段”． (1)若线段，且为“勾股线段”，求线段的长； (2)如图1，点为线段上的两点，满足，以为斜边在上方作等腰直角，连接，若，求证：为“勾股线段”； (3)如图2，在（2）基础上，将等腰沿直线翻折得到，将以点为旋转中心逆时针旋转，点在线段上，点在线段延长线上，射线与交于点，与延长线交于点，射线与延长线交于点，若，，求的周长． 【答案】(1)线段的长为13或； (2)见解析 (3)的周长为． 【分析】（1）根据题意分和求解即可； （2）将绕点顺时针旋转至，求得，在中，由勾股定理得，证明，求得，据此即可证明结论成立； （3）过点作于点，求得四边形为正方形，将绕点顺时针旋转至，点落在上，连接，证明，推出，，，设，则，在和中，由勾股定理列式计算求得，证明，求得，，证明，求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵为“勾股线段”，且， ∴或， ∴线段的长为13或； （2）证明：在等腰中，，，， 将绕点顺时针旋转至， ∴， ∴，，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，即为“勾股线段”； （3）解：过点作于点， 同理， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵将等腰沿直线翻折得到， ∴四边形为正方形， 将绕点顺时针旋转至，点落在上，连接， 则， ∴，，，， ∴， 又，， ∴， ∴，，， 设，则， 在和中， 由勾股定理得，即， 解得， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 同理可得， ∴，即， ∴，， ∴的周长为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 2．（2025·辽宁大连·二模）综合与实践 【了解定义】 如图1，在和中，，点在底的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做同位等腰三角形．在同位等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线．图1中和是腰角，线段是轴线． 【探究性质】 小明通过测量、折纸的方法猜想同位等腰三角形有以下性质：同位等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边． 小明利用图1给出已知、求证，请帮助小明完成证明． （1）已知：如图1，和是同位等腰三角形，连接．求证：，直线是线段的垂直平分线． 【辨析理解】 （2）如图2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与相交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是同位等腰三角形． 【拓展应用】 （3）如图3，和是同位等腰三角形，，点在的延长线上，且的延长线与分别交于点，点在上，．若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）利用同位等腰三角形的性质得，得，从而有；再由，结合线段垂直平分线的判定即可证明； （2）作射线交于点．由已知，则．再证明得，即可得证； （3）作，垂足为，过点作的平行线与延长线于点．利用解直角三角形可求得，再利用勾股定理求得；再证明，从而求得；再证明，求得；再证明，由对应边成比例可求得，从而求得最后结果． 【详解】（1）证明：和是同位等腰三角形， ． ， 即． ， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上． 直线是线段的垂直平分线． （2）证明：如图，作射线交于点． ，垂足为， ． ． ， ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ， ． ． 和是同位等腰三角形． （3）解：如图，作，垂足为，过点作的平行线与延长线于点． ． 和是同位等腰三角形， 垂直平分． 由题意知． 在中，． 在Rt中，，， ． ． ， ． ， ． ， ， ． ． ． 垂直平分， ． ， ． ， ． ． ，， ． ． 即． 解得． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形；题目有一定的难度，构造辅助线并证明三角形全等与相似是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $