微专题10 平移折叠旋转举例（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第七章 专题10 平移、折叠、旋转举例 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：图形的平移问题 1．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（  ） A．3 B．2 C．1 D． 2．（2025·江苏南通·中考真题）如图，将沿着射线平移到．若，则平移的距离为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是 ． 考点二：图形的折叠问题 1．（2025九年级·辽宁·专题练习）如图，在中，，M是边上一点，且，N是边上的一动点，将沿折叠得到，当点落在的一条边上时，的长为 ． 2．（2025·辽宁大连·一模）如图，点在矩形的边上，将矩形沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁·中考真题）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．    图1                图2                   图3 (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 4．（2025·辽宁鞍山·二模）如图1，矩形中，，点E是边上一点，连接，以为对称轴将翻折，若点B的对称点是对角线的中点. (1)求n的值； (2)将沿射线的方向平移到，以为对称轴，将四边形沿翻折，点A，B的对称点分别为，. ①如图2，若，点M是边中点，求的长； ②如图3，点N在延长线上，点M在边上，且，与交于点F，判断，的数量关系，并证明. 考点三：图形的旋转问题 1．（2025·辽宁·中考真题）（1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：； （2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积． 2．（2024·贵州遵义·三模）如图①，已知正方形和等腰直角，，连接，． (1)【问题发现】 如图①，线段与的数量关系为______，位置关系为______； (2)【问题探究】 如图②，将绕点A旋转，再将绕点F顺时针方向旋转至，连接，探究线段与线段的数量及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 将绕点A旋转至，延长交直线于、交于，若，，求出的长． 3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）（1）如图1，是直角三角形，，绕点逆时针旋转得到，的延长线交于点，求证：； （2）如图2，四边形是正方形，点在边上的一个动点，以为边在正方形的外侧作等边三角形，连接，，的延长线交于点． ①当时，求证：； ②当时，求的值． 4．（2025·宁夏·中考真题）如图，在和中，，，．连接，点是的中点，连接． (1)如图1，当点在上时，求证：是等边三角形； (2)将图1中的绕点顺时针旋转． ①当旋转角为时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由； ②当最长时，与的交点记作．若，则_________． 5．（2025九年级·辽宁·专题练习）如图，在中，，点在线段上(点不与点，重合)，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，于点，与交于点． (1)如图①，求证：； (2)如图②，连接，求证：； (3)如图③，设与交于点，与交于点，当时，求的面积． 1．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为E，D，连接，当点B在边上时，的值是 ． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，则的长为 ． 3．（2025九年级·辽宁·专题练习）如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 4．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，点是边上的一动点，，垂足为点，将沿翻折得到，连接．    (1)如图1，①求证：； ②求证：； (2)如图2，若，当点是中点时，求的面积． 5．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)线段的长为 ； (2)当时，求的长； (3)当点在边上时，求证：； (4)当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长． 1．（2025·内蒙古·中考真题）如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，．    (1)如图1，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点落在点处，交于点． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②求的面积； (2)如图2，点，分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，求的长． 2．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 专题10 平移、折叠、旋转举例 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：图形的平移问题 1．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（  ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质和平移的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合，得，由平移得到，根据平移对应线段相等，可知，进而得． 【详解】在中，，是中点， ∴， ∵， ∴， ∵沿方向向右平移至， ∴， 故选：B． 2．（2025·江苏南通·中考真题）如图，将沿着射线平移到．若，则平移的距离为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】利用平移性质，确定对应点，通过线段长度计算平移距离．本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移中对应点间的距离为平移距离是解题的关键． 【详解】解：∵沿射线平移得到， ∴点与点是对应点．平移的距离为的长度， 又∵，， ∴． 故选：． 3．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．根据平移的性质，结合已知点，的坐标，知点的横坐标加上了1，纵坐标加1，则的坐标的变化规律与点相同，即可得到答案． 【详解】解：平移后对应点C的坐标为， 点的横坐标加上了4，纵坐标加1， ， 点坐标为， 即， 故答案为：． 考点二：图形的折叠问题 1．（2025九年级·辽宁·专题练习）如图，在中，，M是边上一点，且，N是边上的一动点，将沿折叠得到，当点落在的一条边上时，的长为 ． 【答案】或 【分析】该题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理，解一元二次方程及解直角三角形，解题的关键是灵活运用勾股定理等知识进行解答．分两种情况：点在上，或者点在上，进行分类讨论． 【详解】在中，，， 过点作，垂足为D， 则， ，， ， ． 分两种情况： ①如图①，当点落在边上时，此时． 在中，． 由折叠可知， ， ； ②如图②，当点落在边上时，过点作于点P，交于点Q， ， ． 设，则， 则． 由折叠可知． 在中，根据勾股定理，得， 解得（舍去）， ． 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 2．（2025·辽宁大连·一模）如图，点在矩形的边上，将矩形沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，掌握矩形、折叠的性质是关键． 根据矩形的性质得到，由折叠的性质得到，，在中，，设，则，在中，由列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故选：B ． 3．（2024·辽宁·中考真题）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．    图1                图2                   图3 (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) (3)30 【分析】（1）利用“”即可证明； （2）可知，证明，则，可得，则，故； （3）①翻折得，根据等角的余角相等得到，故，则，即点F是中点； ②过点F作交于点M，连接，设，，则，由翻折得，故，因此，在中，由勾股定理得：，解得：或（舍，此时） ，在中，由勾股定理得：，解得：，则，由，得到，，因此，故． 【详解】（1）证明：如图，      由题意得，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）猜想： 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：①由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即点F是中点； ②过点F作交于点M，连接，    ∵， ∴， 设，， ∴， 由翻折得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 整理得，， 解得：或（舍，此时） ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∴点M为中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，翻折的性质，勾股定理解三角形，平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题的关键． 4．（2025·辽宁鞍山·二模）如图1，矩形中，，点E是边上一点，连接，以为对称轴将翻折，若点B的对称点是对角线的中点. (1)求n的值； (2)将沿射线的方向平移到，以为对称轴，将四边形沿翻折，点A，B的对称点分别为，. ①如图2，若，点M是边中点，求的长； ②如图3，点N在延长线上，点M在边上，且，与交于点F，判断，的数量关系，并证明. 【答案】(1) (2)①；②，证明见解析 【分析】（1）根据矩形的性质结合直角三角形斜边中线的性质可得，再根据折叠的性质得到，易证是等边三角形，推出，再利用正切的定义得到，即可解答； （2）①解：过点作交延长线于点H，由（1）知，解直角三角形求出，，由题意得，由平移的性质得：，求出，，，，由对称的性质得：，，解直角三角形求出，，再求出，利用勾股定理即可求解； ②延长至点，使得，连接，证明，推出，再证明，推出，进而证明，点三点共线，证是直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质即可得出结论. 【详解】（1）解：∵矩形中，， ∴是直角三角形， ∵点是的中点， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴； （2）①解：过点作交延长线于点H， 由（1）知， ∵， ∴，， ∵点M是边中点， ∴， 由平移的性质得：， ∴，， ∴，， 由对称的性质得：，， 在中，，， ∴， 在中，； ②，证明如下： 延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点三点共线， 由折叠的性质得：， ∴是直角三角形， ∵，即点是的中点， ∴. 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解直角三角形，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键. 考点三：图形的旋转问题 1．（2025·辽宁·中考真题）（1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：； （2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）利用等边对等角求得，再利用证明即可； （2）由题意得，得到，，，作于点，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，证明，推出，利用相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）设，由旋转的性质得，则，利用三角形内角和定理以及平角的性质求得，，推出，求得，作于点，求得，再求得，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， ∵，， ∴； （2）∵，即， ∴，，， 作于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）设， 由旋转的性质得，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，即， ∴． 2．（2024·贵州遵义·三模）如图①，已知正方形和等腰直角，，连接，． (1)【问题发现】 如图①，线段与的数量关系为______，位置关系为______； (2)【问题探究】 如图②，将绕点A旋转，再将绕点F顺时针方向旋转至，连接，探究线段与线段的数量及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 将绕点A旋转至，延长交直线于、交于，若，，求出的长． 【答案】(1)，； (2)，，理由见解析； (3)3或15． 【分析】（1）延长交于点，证明，，，，进而即可作答； （2）延长交于，交于，推出是等腰直角三角形，，，，，，则，推出四边形为平行四边形，即可作答； （3）分两种情况讨论，分别作答即可． 【详解】（1）解：延长交于点， 为等腰直角三角形，四边形为正方形， ，，， ， ，， ， ， ， ， 即， 故答案为：，； （2）解：，，理由如下： 如图，延长交于，交于， 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 四边形为平行四边形， ，； （3）解：分两种情况，情况一：如图， ，， ， 由（1）得， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ； 情况二：如图， 同理得，， ， 综上所述：的长为3或15． 【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，解题的关键是分类讨论画出相应的图形解决问题． 3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）（1）如图1，是直角三角形，，绕点逆时针旋转得到，的延长线交于点，求证：； （2）如图2，四边形是正方形，点在边上的一个动点，以为边在正方形的外侧作等边三角形，连接，，的延长线交于点． ①当时，求证：； ②当时，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，进而得出，根据，进而得出，即可得证； （2）①延长，交于点，证明，得出，根据为等边三角形，进而证明是等腰直角三角形，得出，进一步即可证明； ②设，，则，延长，交于点，过点作于点，交于点，过点作于点，证明，，，得出，根据，得出比例式，即可求解． 【详解】（1）由题意可知，， ， ， 又 ， ， ； （2）①证明：延长，交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； ②∵，四边形是正方形 设，，则 延长，交于点，过点作于点，交于点，过点作于点 ， ， ， ，是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．（2025·宁夏·中考真题）如图，在和中，，，．连接，点是的中点，连接． (1)如图1，当点在上时，求证：是等边三角形； (2)将图1中的绕点顺时针旋转． ①当旋转角为时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由； ②当最长时，与的交点记作．若，则_________． 【答案】(1)见解析 (2)①（1）中的结论还成立，理由见解析；②3 【分析】（1）由直角三角形斜边中线性质可得在中，，在中，，得出，，再证明即可得出结论； （2）①延长交于点，分别延长相交于点，先证明，可得，同理可得，，再利用中位线的性质可得结论； ②点E在以点A为圆心，3为半径的圆上，由是等边三角形，可得，可得最大时，即取得最大值时，当三点共线时，取得最大值，此时最大，再求解即可． 【详解】（1）证明：在中， ， 在中， ， 点是的中点， 在中，，在中，， ，， ， 是等边三角形； （2）①（1）中的结论还成立，理由如下： 如图，延长交于点，分别延长相交于点， 由旋转角为可得， ， 又， ， ， ， 是的中位线， ， ， 同理可得， ， ， 是的中位线， ， ， 是等边三角形； ②如图，点E在以点A为圆心，3为半径的圆上， ， 延长至点G，使，延长至点P．使，连接、、、， ，， ， ，， ， 同理， ，，， ， ， ，， ，F为中点， ∴，， ， 同理，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， 最大时，即取得最大值时， 当三点共线时，取得最大值，此时最大， 即绕点A顺时针旋转240度时，最大， 延长交于点，分别延长相交于点， 由①得是的中位线，是的中位线， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为：3 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造中位线解决问题，属于中考压轴题． 5．（2025九年级·辽宁·专题练习）如图，在中，，点在线段上(点不与点，重合)，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，于点，与交于点． (1)如图①，求证：； (2)如图②，连接，求证：； (3)如图③，设与交于点，与交于点，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）线段由顺时针旋转得到，故是等腰直角三角形，得，．根据同角的余角相等，得到，利用等腰得到，用判定； （2）构造辅助线拆分为，分别证明和．过作交于，则；因，故和均为等腰直角三角形，得，因此，证明，得，因，代入和，故； （3）利用前两问结论求基础线段长度，再通过相似三角形求关键线段(、)，最后用面积公式计算．由，得；又，故，是等腰直角三角形，然后求和的长度，用相似求的长度，最后计算的面积． 【详解】（1）证明：线段是由旋转得到的， 是等腰直角三角形， ． ， ， ． ， ． ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作，交于点，则． ， 和都是等腰直角三角形， ， ． ， ，即． ， ， ． ； （3）解：由（1）可知， ，∴， 是等腰直角三角形． ， ． 由（2）可知， ． ， ， ， ． ， ， ． ， ． ， ， ，即，解得， ． 【点睛】本题是等腰直角三角形与旋转结合的几何综合题，围绕“线段关系证明”和“面积计算”展开，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识． 1．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为E，D，连接，当点B在边上时，的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形成为解题的关键． 由勾股定理可得，再根据旋转的性质可得，由等边对等角以及等量代换可得，如图：过C作，即，易证可得，由等面积法可得，即；再运用勾股定理可得，然后由勾股定理和线段的和差可得、，最后代入计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为E，D，连接，当点B在边上， ∴， ∴， 如图：过C作，即， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，连接，根据旋转的性质推出，再根据勾股定理求出的长，最后在等腰直角三角形中解直角三角形求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025九年级·辽宁·专题练习）如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作直线于，设 ，构建辅助线和设定未知数，由线段旋转性质得出， ，通过角度关系证明 ，证明 ，得到对应边相等关系．根据矩形边长及全等三角形对应边相等，计算出、、、关于的表达式． 在中，依据勾股定理建立关于的表达式，再通过配方转化为顶点式，结合二次函数性质求出的最小值． 【详解】如图，过点作直线于， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， 设长为，在矩形中，，， ，， ，， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形性质、三角形全等判定及性质、勾股定理和二次函数求最值 ，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用相关性质建立线段长度表达式并求其最小值． 4．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，点是边上的一动点，，垂足为点，将沿翻折得到，连接．    (1)如图1，①求证：； ②求证：； (2)如图2，若，当点是中点时，求的面积． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)的面积为12 【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠性质等知识点，灵活运用相关知识成为结题的关键． （1）①由垂线的定义以及翻折的定义可得，然后根据四边形的内角和定理即可解答； ②如图，延长至点，使，结合①的结论可得，再证明可得、，进而证明是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质即可解答； （2）如图：过点A作于点G，先说明，再根据正切的定义可得，进而得到，设，则，根据勾股定理列方程可得，进而得到，再解直角三角形可得，最后根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：①，   ， 由翻折得到的， ， ，四边形的内角和是， ． ②如图，延长至点，使， 由①知，， 由， ， ，   （SAS）， ，， ，即， 是等腰直角三角形， ，， ． （2）解：如图：过点A作于点G， ，点是中点， ，， ，，   ， 在中，， 由勾股定理得， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ， ，即， 由， ， ， 由（2）得，是等腰直角三角形， 在中，， ， ． 答：的面积为12． 5．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)线段的长为 ； (2)当时，求的长； (3)当点在边上时，求证：； (4)当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 (4)的长为或. 【分析】（1）利用勾股定理计算即可； （2）如图，求解，，证明，结合，可得，再进一步求解即可； （3）证明，结合，，从而可得结论； （4）如图，当在的左边时，结合题意可得：，，，过作于，过作于，可得，结合（1）可得：，证明，可得，再进一步解得即可；如图，当在的右边时，过作于，过作于，同法可得答案. 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴； （2）解：如图，在中，，，点为边的中点， ∴，， ∵， ∴，而， ∴， ∴； （3）证明：∵旋转， ∴， 如图，∵，， ∴， ∵，， ∴； （4）解：如图，当在的左边时，结合题意可得：，，， 过作于，过作于， ∴四边形为矩形， ∴， 结合（1）可得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的右边时，过作于，过作于， 同理：， 四边形四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：，， ∴； 综上：的长为或. 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 1．（2025·内蒙古·中考真题）如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，．    (1)如图1，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点落在点处，交于点． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②求的面积； (2)如图2，点，分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，求的长． 【答案】(1)①，理由略；② (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理。熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）①由翻折得，，利用四边形是平行四边形，可证明，，再证明，即可求证； ②由，得，过点作于点，过点作于点，利用等腰三角形性质得，求出，可得，利用勾股定理求出，即可求解； （2）过点作于点，连接交于点，过点作于点，由翻折的性质得，同（2）可得，利用，求出，可得，证明，得出，求出，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：①由翻折得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ②由， ∴， 如图，过点作于点，过点作于点，    ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作于点，连接交于点，过点作于点，    由翻折的性质得， 同（2）可得， ∴， ∴， 即， 得， ∴， ∵平行四边形中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：． 2．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】问题解决：①互相平行；②=；【方法应用】①见解析；②或或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 问题解决：①根据等腰三角形的性质得出，从而可得； ②证明得出，即，由可得结论； 方法应用：①根据双等四边形的定义进行证明；②分，或，或，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：[问题解决]①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ， ， ， ； 故答案为：①平行；②＝； 方法应用：①为旋转得到， ， 令，则，， ， 由旋转得，， 又， ∴， ， ， ， 四边形为双等四边形； ②作于点， ，， ，， 设，则： ， 在中，，即， 解得：， ，， 若，时，， 若，时， ， 作于点， ∴， ， ， 若，时，如图， ， ， ， ， ． 综上所述：满足条件时，或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $