微专题08 解直角三角形的实际应用（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第四章 三角形 专题08 解直角三角形的实际应用 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：俯角、仰角问题 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为 （结果精确到．参考数据：，）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确使用三角函数是解题的关键． 在中，由即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴在中，， 故答案为：． 2．（2025·辽宁辽阳·一模）一座辽阳城，半部东北史．在辽阳城中，巍峨耸立着一座千年辽塔——辽阳白塔．辽阳白塔因其塔檐间立壁和塔腰八面涂有白垩而得名白塔．某校九年级“综合与实践”小组开展“辽阳白塔高度的测量”实践活动，如图2，在距离白塔底部中心92米的点A 处有一坡角为的斜坡，斜坡长为10米，在斜坡上点B 处用测角仪测得白塔最高点M的仰角为，点A，B，M，N在同一平面内，测角仪高度忽略不计． (1)求点 B 到水平地面 的距离； (2)求辽阳白塔的高度．（结果精确到）（参考数据：， 【答案】(1)点到水平地面的距离为5米 (2)辽阳白塔的高度约为70.4米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先过点作于点，再结合在中，，把数值代入计算，即可作答． （2）先过点作于点，证明四边形是矩形，先算出米，米，再根据在中，，，代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：过点作于点， 根据题意，米，， 在中，， ∴（米）， 答：点到水平地面的距离为5米． （2）解：过点作于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 在中，，， ∴（米）， ∴（米） 答：辽阳白塔的高度约为70.4米． 3．（2025·辽宁营口·二模）某学校明正楼前矗立一尊孔子雕像，小刚和小强想知道孔子雕像的高度，于是两人利用一些测量工具进行了测量．小刚站在雕像前，自处测得雕像顶点的仰角为，小强站在明正楼门前的斜坡处，自处测得雕像顶点的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知明正楼门前斜坡的坡角． (1)计算斜坡处的高度的长； (2)求孔子雕像的高度． （参考数据：） 【答案】(1)斜坡处的高度约为． (2)孔子雕像的高度约为． 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用； （1）由可得，再进一步计算即可； （2）过点作于点，则四边形为矩形，可得，，结合，可得，设，，建立方程，进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，，， 在中，， ∴ 答：斜坡处的高度约为． （2）解：过点作于点，则四边形为矩形， ∴，， ∵，， 在中，， ， ∴设，， ，， ， ， ， ∴， ， ， 则， 答：孔子雕像的高度约为． 考点二：方向角问题 1．（2025·辽宁抚顺·一模）“浪漫月牙岛，福顺中国年”．抚顺市月牙岛新春夜游季是近年来我市打造的规模最大的冰雪旅游项目，每天吸引着大量市民前来观赏游玩．如图，小澎同学想用无人机测量月牙岛造型景观舞台的高度，将无人机垂直上升到距地面的点处，测得造型景观舞台底端点的俯角为，再将无人机沿造型景观舞台的方向水平飞行至点处，测得造型景观舞台顶端点的俯角为，点，，，均在同一竖直平面内，求造型景观舞台的高度约为多少米．（结果稍确到，参考数据：，，） 【答案】造型景观舞台的高度约为14米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，延长，相交于点，则，先求出，再根据计算即可得解． 【详解】解：如图，延长，相交于点，则， ， 由题意知，，，，． 在中，， ． 在中， ． 答：造型景观舞台的高度约为14米． 2．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 【答案】(1)30；75；5 (2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区 【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理： （1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度； （2）设海里，先解得到，再解得到海里，海里，据此可得，解得海里；证明，则海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点P作于D， 由题意得， ， ∴； ∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B， ∴海里． （2）解：设海里， 在中，海里， 在中，海里，海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∵， ∴， ∴海里； 上午9时时，船距离A的距离为海里， ∵， ∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区． 3．（2024·重庆·中考真题）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，） (1)求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）； (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 【答案】(1)，两港之间的距离海里； (2)甲货轮先到达港． 【分析】（）过作于点，由题意可知：，，求出，即可求解； （）通过三角函数求出甲行驶路程为：，乙行驶路程为：，然后比较即可； 本题考查了方位角视角下的解直角三角形，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 【详解】（1）如图，过作于点， ∴， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴，两港之间的距离海里； （2）由（）得：，，， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴，（海里）， ∴甲行驶路程为：（海里），乙行驶路程为：（海里）， ∵，且甲、乙速度相同， ∴甲货轮先到达港． 考点三：坡度问题 1．（2025·山东济南·中考真题）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上） (1)求两滑梯的高度差； (2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用． （1）通过解，求出，再通过即可求出两滑梯的高度差． （2）通过解，求出，通过解，求出，再通过 ，代入数值计算即可得出答案． 【详解】（1）解：在中， ，， ∴， ∴， 答：两滑梯高度差为 （2）解：在中 ， ，， ∴， 在中， ，， ∴， ∴ 答：长． 2．（2024·河南周口·一模）2024年春节前夕，哈尔滨旅游市场的火热带动了全国“冰雪旅游”的繁荣，某地准备依山建设一个滑雪场带动本地旅游的发展．如图，小山的山腰上有一个平台长为45m，从点C看山顶A的仰角为，山坡的坡度为，该地准备利用斜坡建设一个滑雪场，且的长度为，若点D到地面的垂线段与构成的四边形恰好为正方形时，且图中各点均在一个平面内，求小山的高度．（精确到整数，参考数据：，，） 【答案】小山的高度约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正方形的性质，先解直角三角形得到，设，则，由勾股定理得到，解方程求出，再由正方形的性质推出，解直角三角形求出，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵山坡的坡度为， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理， ∴ 解得或（舍去）， ∴， 四边形为正方形， ， ∴， 在中，， ， ， 答：小山的高度约为． 3．（2025·辽宁鞍山·二模）某景区要在其辖区内的山峰修建索道，经了解，索道夹角在到之间符合工程规范，更为合理和安全．如图，已知该山峰海拔高度为850米，从山脚A测量到山顶B的仰角，距其山顶高度为150米处有平坦的空地适合修建索道终点，且，为了符合工程要求，在距离山脚A高度为100米的点M处修建休闲平台，使得，试求出：的长度是多少时索道符合要求？（结果精确到1米，参考数据：，，，） 【答案】的长度约在629米到1321米之间符合要求 【分析】该题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 延长交于点，延长交于点，过点作于点，根据，得出，由已知得米，米，求出米，证明四边形为矩形，得出米，在中，当时，，求出，当时，，求出，在中，，求出，求出即可即可解答， 【详解】解：延长交于点，延长交于点，过点作于点， ∵， ， 由已知得米，米， ∴米， ∵， ， ∴四边形为矩形， ∴米， 在中， 当时，， 米， 当时，， 米， 在中，， 米， 米， 或米， ∴的长度约在629米到1321米之间符合要求． 考点四：实物模型问题 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图1是一种淋浴喷头，淋浴喷头固定器装在墙面上，手柄与固定器的连接处记为点A（点A与墙之间的距离忽略不计）．如图2视作淋浴喷头喷水后的截面示意图，线段为手柄，射线为水流，与的夹角为，手柄与墙的夹角可以改变角度．已知长为． (1)已知小明身高为，站在淋浴喷头正前方与墙面相距的点D处，当为，此时水流刚好经过小明的头顶点C，求固定器A与地面的距离； (2)为了遮挡水流，防止水花喷溅过远，方便清理，准备在墙面正前方处安装浴帘，手柄与墙的夹角的范围为，固定器A与地面的距离保持不变，如图3，水流在碰到浴帘之前近似看作沿射线运动，．求浴帘的长度至少为多少时可以有效遮挡住水流？ （精确到，参考数据：，，，．） 【答案】(1)固定器与地面的距离约为 (2)浴帘的长度至少为时可以有效遮挡住水流 【分析】本题考查了解直角三角形，含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作于点，延长交于点，则，解直角三角形得，，，进而求得，，所以，最后根据即可得解； （2）由题意可知，当需要浴帘长度最大，此时，再结合，得，，进而求得，，再根据解直角三角形知识求得，最后根据即可得解． 【详解】（1）解：作于点，延长交于点，则， ∵小明身高是，即：， ∵，， 在中，， ∴，， ∴， ， ， 由题意可知，，， ，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：固定器与地面的距离约为； （2）解：由题意可知，当需要浴帘长度最大， 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 答：浴帘的长度至少为时可以有效遮挡住水流． 2．（2025·辽宁锦州·二模）图1是某种固定式遮阳棚的结构图，某校数学兴趣小组对其进行实际测量，绘制了如图2所示的横截面示意图，并得到以下数据：遮阳篷的长度为，与墙面的夹角，遮阳棚前端自然下垂边的长度，且靠墙端离地面的高度． (1)求遮阳棚外端点到地面的距离； (2)如图3，若在某一时刻，太阳光线与地面的夹角，求该时刻地面上阴影部分的宽度．（结果精确到．参考数据：， 【答案】(1) (2)约 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定和性质等知识点，将实际问题转化为几何问题成为解题的关键． （1）如图2，延长，交于，作于，于，在中，求出，根据线段和差计算即可； （2）如图3，作于，于，延长交于，则，解直角三角形求出，然后在作于，于，延长交于，则，中，解直角三角形求出，进而可得的长． 【详解】（1）解：延长，交于，作于，于， 由题意可得， ， 四边形是矩形， 同理可证明四边形，四边形是矩形是矩形， ，， 中，，的长度为， ， ，， ， ； （2）解：如图3，作于，于，延长交于，则， 同（1），四边形，四边形是矩形， ， 中，， 由（1）得，， 在中，， ． 答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为． 3．（2025·辽宁丹东·二模）图1是某城建部门正在维修路灯的实物图片，可抽象为如图2所示的几何图形，经测量，路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点到地面距离是．（参考数据：） (1)求下折臂的长； (2)求路灯的高．（结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，先求出，求出，然后在中，利用勾股定理即可求解； （2）过点作，垂足为．先求出，在中，求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点， 则， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ∴为等腰直角三角形，， ， 在中，； （2）解：过点作，垂足为． 则， ． ， ． ，， ， 同理可得四边形是矩形， ，， 在中，， ． ． 答：路灯的高约为． 考点五：新情境、新考法 1．（2024·辽宁·中考真题）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)求物体上升的高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）解即可求解； （2）在中，由勾股定理得，，解求得，由题意得，，故，则． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，， ∴在中，由， 得：， ∴, 答：； （2）解：在中，由勾股定理得，， 在中，， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 答：物体上升的高度约为． 2．（2025·山东济南·一模）根据以下材料，完成项目任务： 项目 测量光线入射点的距离及水池的深度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角．为法线．入射光线和折射光线，及法线都在同一平面内，点到直线的距离为3米． 参考数据 ，，，，，， 项目任务 任务一 （1）求的长；（结果保留根号） 任务二 （2）若米，求水池的深（精确到0.01米）． 【答案】任务一：的长为米；任务二：水池的深约为2.44米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 任务一：根据题意和锐角三角函数，可以求得和的值，然后即可计算出的值； 任务二：根据任务一中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深． 【详解】解：任务一：作，交的延长线于点F，则， ∴，， ∵，， ∴，， ∵米， ∴（米），（米）， ∴（米）， 即的长为米； 任务二：设水池的深为x米，则米， 由题意可知：，，米， ∴（米），（米）， ∵， ∴， 解得， 即水池的深约为2.44米． 3．（2025·山西·中考真题）项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据： ，，，，，）． 【答案】内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，由题意得，四边形为矩形，则，，所以，，设米，则米，米，然后通过， ，  列出方程，  解出方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，四边形为矩形， ∴，， ∴，， 设米，则米，米， 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，解得， ∴（米）， 答：内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 考点六：其他问题 1．（2025·广东·中考真题）综合与实践 【阅读材料】 如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离． （参考数据：，，） 【评价反思】 （2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用三角形内角和定理求出，根据题意可得，代入数据求出的长，即可解答； （2）运用解直角三角形、勾股定理等数学知识设计方案即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 由题意得，， 又∵， ∴， 答：，两岛间的距离为． （2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点，使得是锐角三角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 计算过程： 过点作，则， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴． 答：，两岛间的距离为． 2．（2025·辽宁本溪·模拟预测）平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图． 把上述实物图抽象成如示意图．已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一直线上，当窗户关闭时，点E与点A重合，和均落在上；当点O向点B滑动时，四边形始终为平行四边形，其中，，．窗户打开一定角度后，与形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）． (1)求滑动轨道的长度． (2)为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，当点O滑动到点P时，则限位器P应装在离点A多远的位置？（结果保留根号） 【答案】(1)； (2)限位器P应装在离A点的位置． 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，解直角三角形的计算，勾股定理的运用，理解题意，掌握锐角三角形的计算是关键． （1）根据平行四边形的性质得到，根据当窗户关闭时，点E与点A重合，和均落在上，得到即可求解； （2）过点C作交于点，依题意得，在中，，，则，，所以限位器P的位置离A点，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形始终为平行四边形，， ∴， ∵当窗户关闭时，点E与点A重合，和均落在上， ∴； （2）解：过点C作交于点， 依题意得， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴在中，，， ∴， 又∵，， ∴根据勾股定理可得， ∴， ∴限位器P的位置离A点， 答：限位器P应装在离A点的位置． 3．（2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】世纪钟建筑的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长与相交于点，在Rt和中，分别求得和，再根据，列式计算求解即可． 【详解】解：如图，延长与相交于点， 根据题意，可得， 有，，，，， 在Rt中，， ， 在中，， ． ， ． ． ． 答：世纪钟建筑的高度约为． 1．（17-18九年级下·全国·单元测试）如图，从与旗杆AB相距27m的点C处，用测角仪CD测得旗杆顶端A的仰角为30°，已知测角仪CD的高为1.5米，则旗杆AB的高约为 m（精确到0.1m，参考数据 ≈1.73） 【答案】17.1 【分析】根据题意：过点D作DE⊥AB，交AB与E；可得Rt△ADE，解之可得AE的大小；进而根据AB=BE+AE可得旗杆AB的高． 【详解】过点D作DE⊥AB,垂足为E. 在直角△ADE中,有 那么旗杆AB的高为 故答案为：17.1 【点睛】考查解直角三角形—仰角俯角问题，关键是构造直角三角形，结合三角函数解三角形即可. 2．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，小红同学用仪器测量一棵大树的高度，在C处知，在E处测得，，仪器高度，这棵树的高度为 ．    【答案】米 【分析】根据直角三角形的边角间关系，可用含的代数式表示出、，由于，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：由题意，四边形、四边形、四边形均为矩形， 、均为直角三角形， 所以米，米． 在中，， 即， 在中，， 即， 又， ， 即， ， （米）， 故答案为：米．    【点睛】本题考查了解直角三角形．掌握直角三角形的边角关系是解决本题的关键． 3．（2025·辽宁抚顺·一模）按照中央、省市关于城市燃气管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇燃气管网老化更新改造工程．图1是改造现场一辆伸缩臂高空作业车的实物图，图2是其工作示意图（点A，B，C，D，E，F，G，H都在同一平面内）． 如图2，伸缩臂高空作业车固定不动，转轴固定不动，转动点B离地面的高度为，起重臂长为，，楼高为，操作平台A在上． （结果精确到，参考数据：，，） (1)求此时操作平台A离地面的高度； (2)若起重臂可以绕点B上下转动，且长度可伸缩，最长可伸长为，则操作平台A能到达楼顶F吗？为什么？ 【答案】(1)操作平台离地面的高度约为 (2)能，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． （1）如图：过点作，垂足为点，则四边形为矩形，，，，进而得到，再解直角三角形可得，然后根据线段的和差即可解答； （2）如图：连接，由题意可知，，最长为，再解直角三角形可得，即，再根据勾股定理可得，则即可判断． 【详解】（1）解：如图：过点作，垂足为点，则四边形为矩形，，，， ，，， ， 在中，， ， ． 答：操作平台A离地面的高度约为． （2）解：能，理由如下： 如图：连接，由题意可知，，最长为， 在中，， ， ， 在中，根据勾股定理得：，   ， ，   操作平台能到达楼顶． 4．（2026九年级·辽宁·专题练习）如图，某气象小组正在测算一座垂直发射的探空气球的高度．在观测点A处测得气球底端C的仰角为，随后向气球方向水平移动到达观测点B，测得仰角变为．已知垂直于地面，点D与共线，求探空气球的高度．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】探空气球的高度约为 【分析】本题考查解直角三角形的应用——仰角俯角问题．解直角三角形得到，，由得到 ，求解即可． 【详解】解：由题意，得． ∵在中，， ． ∵在中，， ． ， ， 即 解得． 答：探空气球的高度约为． 5．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【答案】(1)见解析； (2)纪念碑的高度为． (3)小红的结果误差较大，理由见解析 【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论； （2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可； （3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可． 【详解】（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ； （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：纪念碑的高度为． （3）解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为， 则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果． 1．（2025·青海·中考真题）数学实践 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷． 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成夹角？ 【模型建立】 环节一：数据收集 两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为． 环节二：数学抽象 如图：已知线段与交于点，，与直线分别交于点，，，，，，求的长度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【模型求解】 【问题总结】 交叉点距顶端的长度即为______时，支架与地面形成夹角，这样更贴合作物的生长规律． 【答案】， 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过作于，根据等腰三角形的性质可得，结合可得答案；最后由即可得到答案. 【详解】解：数学抽象：如图，过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 问题总结：∵，， ∴. 2．（2025·新疆·中考真题）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角． 实验图示 测量数据 1． 2． 3． 4． 5． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直． 参考数据：，，； ，，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度的值． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确找到直角三角形进行解直角三角形是解题的关键． 由题意得，四边形，四边形为矩形，则，，然后分别解求出，解求出，再由即可求解． 【详解】解：由题意得，四边形，四边形为矩形， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：校徽的高度为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 专题08 解直角三角形的实际应用 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：俯角、仰角问题 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为 （结果精确到．参考数据：，）． 2．（2025·辽宁辽阳·一模）一座辽阳城，半部东北史．在辽阳城中，巍峨耸立着一座千年辽塔——辽阳白塔．辽阳白塔因其塔檐间立壁和塔腰八面涂有白垩而得名白塔．某校九年级“综合与实践”小组开展“辽阳白塔高度的测量”实践活动，如图2，在距离白塔底部中心92米的点A 处有一坡角为的斜坡，斜坡长为10米，在斜坡上点B 处用测角仪测得白塔最高点M的仰角为，点A，B，M，N在同一平面内，测角仪高度忽略不计． (1)求点 B 到水平地面 的距离； (2)求辽阳白塔的高度．（结果精确到）（参考数据：， 3．（2025·辽宁营口·二模）某学校明正楼前矗立一尊孔子雕像，小刚和小强想知道孔子雕像的高度，于是两人利用一些测量工具进行了测量．小刚站在雕像前，自处测得雕像顶点的仰角为，小强站在明正楼门前的斜坡处，自处测得雕像顶点的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知明正楼门前斜坡的坡角． (1)计算斜坡处的高度的长； (2)求孔子雕像的高度． （参考数据：） 考点二：方向角问题 1．（2025·辽宁抚顺·一模）“浪漫月牙岛，福顺中国年”．抚顺市月牙岛新春夜游季是近年来我市打造的规模最大的冰雪旅游项目，每天吸引着大量市民前来观赏游玩．如图，小澎同学想用无人机测量月牙岛造型景观舞台的高度，将无人机垂直上升到距地面的点处，测得造型景观舞台底端点的俯角为，再将无人机沿造型景观舞台的方向水平飞行至点处，测得造型景观舞台顶端点的俯角为，点，，，均在同一竖直平面内，求造型景观舞台的高度约为多少米．（结果稍确到，参考数据：，，） 2．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 3．（2024·重庆·中考真题）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，） (1)求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）； (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 考点三：坡度问题 1．（2025·山东济南·中考真题）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上） (1)求两滑梯的高度差； (2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 2．（2024·河南周口·一模）2024年春节前夕，哈尔滨旅游市场的火热带动了全国“冰雪旅游”的繁荣，某地准备依山建设一个滑雪场带动本地旅游的发展．如图，小山的山腰上有一个平台长为45m，从点C看山顶A的仰角为，山坡的坡度为，该地准备利用斜坡建设一个滑雪场，且的长度为，若点D到地面的垂线段与构成的四边形恰好为正方形时，且图中各点均在一个平面内，求小山的高度．（精确到整数，参考数据：，，） 3．（2025·辽宁鞍山·二模）某景区要在其辖区内的山峰修建索道，经了解，索道夹角在到之间符合工程规范，更为合理和安全．如图，已知该山峰海拔高度为850米，从山脚A测量到山顶B的仰角，距其山顶高度为150米处有平坦的空地适合修建索道终点，且，为了符合工程要求，在距离山脚A高度为100米的点M处修建休闲平台，使得，试求出：的长度是多少时索道符合要求？（结果精确到1米，参考数据：，，，） 考点四：实物模型问题 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图1是一种淋浴喷头，淋浴喷头固定器装在墙面上，手柄与固定器的连接处记为点A（点A与墙之间的距离忽略不计）．如图2视作淋浴喷头喷水后的截面示意图，线段为手柄，射线为水流，与的夹角为，手柄与墙的夹角可以改变角度．已知长为． (1)已知小明身高为，站在淋浴喷头正前方与墙面相距的点D处，当为，此时水流刚好经过小明的头顶点C，求固定器A与地面的距离； (2)为了遮挡水流，防止水花喷溅过远，方便清理，准备在墙面正前方处安装浴帘，手柄与墙的夹角的范围为，固定器A与地面的距离保持不变，如图3，水流在碰到浴帘之前近似看作沿射线运动，．求浴帘的长度至少为多少时可以有效遮挡住水流？ （精确到，参考数据：，，，．） 2．（2025·辽宁锦州·二模）图1是某种固定式遮阳棚的结构图，某校数学兴趣小组对其进行实际测量，绘制了如图2所示的横截面示意图，并得到以下数据：遮阳篷的长度为，与墙面的夹角，遮阳棚前端自然下垂边的长度，且靠墙端离地面的高度． (1)求遮阳棚外端点到地面的距离； (2)如图3，若在某一时刻，太阳光线与地面的夹角，求该时刻地面上阴影部分的宽度．（结果精确到．参考数据：， 3．（2025·辽宁丹东·二模）图1是某城建部门正在维修路灯的实物图片，可抽象为如图2所示的几何图形，经测量，路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点到地面距离是．（参考数据：） (1)求下折臂的长； (2)求路灯的高．（结果精确到） 考点五：新情境、新考法 1．（2024·辽宁·中考真题）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)求物体上升的高度（结果精确到）． 2．（2025·山东济南·一模）根据以下材料，完成项目任务： 项目 测量光线入射点的距离及水池的深度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角．为法线．入射光线和折射光线，及法线都在同一平面内，点到直线的距离为3米． 参考数据 ，，，，，， 项目任务 任务一 （1）求的长；（结果保留根号） 任务二 （2）若米，求水池的深（精确到0.01米）． 3．（2025·山西·中考真题）项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据： ，，，，，）． 考点六：其他问题 1．（2025·广东·中考真题）综合与实践 【阅读材料】 如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离． （参考数据：，，） 【评价反思】 （2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 2．（2025·辽宁本溪·模拟预测）平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图． 把上述实物图抽象成如示意图．已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一直线上，当窗户关闭时，点E与点A重合，和均落在上；当点O向点B滑动时，四边形始终为平行四边形，其中，，．窗户打开一定角度后，与形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）． (1)求滑动轨道的长度． (2)为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，当点O滑动到点P时，则限位器P应装在离点A多远的位置？（结果保留根号） 3．（2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 1．（17-18九年级下·全国·单元测试）如图，从与旗杆AB相距27m的点C处，用测角仪CD测得旗杆顶端A的仰角为30°，已知测角仪CD的高为1.5米，则旗杆AB的高约为 m（精确到0.1m，参考数据 ≈1.73） 2．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，小红同学用仪器测量一棵大树的高度，在C处知，在E处测得，，仪器高度，这棵树的高度为 ．    3．（2025·辽宁抚顺·一模）按照中央、省市关于城市燃气管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇燃气管网老化更新改造工程．图1是改造现场一辆伸缩臂高空作业车的实物图，图2是其工作示意图（点A，B，C，D，E，F，G，H都在同一平面内）． 如图2，伸缩臂高空作业车固定不动，转轴固定不动，转动点B离地面的高度为，起重臂长为，，楼高为，操作平台A在上． （结果精确到，参考数据：，，） (1)求此时操作平台A离地面的高度； (2)若起重臂可以绕点B上下转动，且长度可伸缩，最长可伸长为，则操作平台A能到达楼顶F吗？为什么？ 4．（2026九年级·辽宁·专题练习）如图，某气象小组正在测算一座垂直发射的探空气球的高度．在观测点A处测得气球底端C的仰角为，随后向气球方向水平移动到达观测点B，测得仰角变为．已知垂直于地面，点D与共线，求探空气球的高度．（结果保留整数，参考数据：） 5．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 1．（2025·青海·中考真题）数学实践 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷． 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成夹角？ 【模型建立】 环节一：数据收集 两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为． 环节二：数学抽象 如图：已知线段与交于点，，与直线分别交于点，，，，，，求的长度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【模型求解】 【问题总结】 交叉点距顶端的长度即为______时，支架与地面形成夹角，这样更贴合作物的生长规律． 2．（2025·新疆·中考真题）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角． 实验图示 测量数据 1． 2． 3． 4． 5． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直． 参考数据：，，； ，，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $