精品解析：山东省济南市长清区2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试题

九年级阶段检测 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. “斗”是古代常用的粮食度量用具，如图是它的几何示意图，则下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图解答即可． 【详解】解：由俯视图的定义可知，“斗”的俯视图，如下图所示： 2. 如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则 的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和余弦函数的定义．过点A作于点D，根据勾股定理求出的长度，再根据余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：如图：过点A作于点D， 在中，， ∴， 故选：D． 3. 如图1，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，投放点落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：C． 4. 如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，由相似三角形的判断方法，即可判断．关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：A、， ，故该选项不符合题意； B、， ，故该选项不符合题意； C、， ，故该选项不符合题意； D、由可得， ，，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的表达式为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律．根据函数图象平移的规律：“左加右减，上加下减”，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∴， ∴平移后所得抛物线的表达式为， 故选：A 6. 如图，点A，B，C均在上，当时，的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟知圆周角定理是解题的关键． 由圆周角定理即可得，再根据三角形内角和、等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵, ∴， ∵， ∴． 故选D． 7. 下列关于反比例函数，说法不正确的是（　　） A. 点、 均在其图象上 B. 双曲线分布在第一、三象限 C. 该函数图象上有两点 ，B ，若，则 D. 当时，x的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，将点代入解析式求解即可判断A选项，根据图象在一三象限即可判断B，根据性质在一三象限上随增大而减小即可判断C，根据增减性即可判断D． 【详解】解：由题意可得， 当时，，当时，，故A正确，不符合题意， ∵，∴图像在一三象限，故B正确，不符合题意， ∵没确定，的正负，故无法判断函数值的大小，故C错误，符合题意， ∵当时，即，解得，∴当时，，故D正确，不符合题意， 故选：C． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，根据反比例函数图象与系数关系、一次函数图象与系数的关系、二次函数图象与系数的关系进行解答即可，熟练掌握相关函数图象与其系数的关系是关键． 【详解】解：一次函数图象经过第一、二、四象限， ，， 反比例函数的图象在第二四象限， ， ，， ， 函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，与轴交点在负半轴，选项A符合． 故选：A． 9. 如图，已知． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P． （3）作射线交于点D． （4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点． （5）作直线，交 分别于点E，F． 依据以上作图，若 ， ，，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据作法得平分，垂直平分，所以， ， ，再证明四边形 为菱形得到，然后利用平行线分线段成比例定理计算的长即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由作法得平分，垂直平分， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形 为平行四边形， 又∵ ， ∴四边形 为菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图、角平分线的定义，线段垂直平分线的性质、菱形的性质与判定、平行线分线段成比例定理，等边对等角，证明四边形 为菱形是解题的关键． 10. 已知抛物线（a，b，c是常数），开口向上，过，两点，且．下列四个结论中正确的结论有（ ） ①； ②若时，则； ③若点，在抛物线上，且，则； ④ 时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根． A. ①③④ B. ①③ C. ①②③ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象的对称性，增减性，二次函数与轴的交点，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象开口向上，即，对称轴直线为，且可判定①；根据二次函数对称轴直线的计算方法，图象过点的知识结合可判定②；根据题意可得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，图象开口向上，由离对称轴越远值越大可判定③；根据二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系可判定④；由此即可求解． 【详解】解：抛物线（，，是常数）开口向上， ∴， ∵二次函数图象过两点， ∴对称轴直线为， ∵， ∴， ∴，故①正确； 若，则， ∴， 把代入抛物线解析式得，， ∴， ∴，故②错误； ∵对称轴直线为，且， ∴， 已知点，在抛物线上，，且， ∴， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，故③正确； 已知抛物线过两点， ∴设抛物线解析式为：， 令，整理得，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故④正确． 综上所述，正确的有①③④， 故选：A． 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．） 11. 抛物线的顶点坐标是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】直接由抛物线解析式即可求得答案． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为直线． 12. 若关于x的一元二次方程x2＋kx＋1＝0有两个相等的实数根，则k的值为_____． 【答案】±2 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程x2＋kx＋1＝0有两个相等的实数根，则 再列方程，解方程可得答案. 【详解】解： 关于x的一元二次方程x2＋kx＋1＝0有两个相等的实数根， 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握“一元二次方程有两个相等的实数根，则”是解题的关键. 13. 如图，已知正六边形 的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多形的内角和和内角以及弧长公式，根据六边形 是正六边形，根据正多边内角和等于，求出内角，再根据弧长公式即可得出答案． 【详解】解：∵六边形 是正六边形， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B，若点B是的中点， 的面积为，则的值为____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握全等三角形的判定和性质是正确解答的前提．根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得，进而得出，由系数k的几何意义可得答案． 【详解】解：如图，过点C作轴于D， ∴， ∵点B是的中点， ∴ ， 在和 中， ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：10． 15. 如图，在菱形纸片中，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解 ， 过点E作 ， 设， 则， 证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由翻折，菱形的性质，得： ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 过点E作 ， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，化简二次根式，先计算特殊角三角函数值和化简二次根式，再计算零指数幂和负整数指数幂，接着计算乘法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 17. 解方程： ； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴或， 解得． 18. 如图，在中，， 于点． （1）求证： ； （2）若，，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余得到 ，再由两个三角形相似的判定定理求解即可得证； （2）由（1）中 得到，再将，代入求解即可得到答案． 【小问1详解】 证明：在中，于点， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ∵，， ， ． 19. 随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为 ，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，) （1）如图，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； （2）调节支杆，悬杆，使得，，如图所示，且点到地面的距离为，求的长． 【答案】（1）端点距离地面的高度约为； （2）的长约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作 ，垂足为，根据已知易得，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）过点作 ，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长 交于点，根据题意得，，，从而可得 ，进而可得，然后在 中，利用含度角的直角三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用平角定义可得，从而在 中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【小问1详解】 解：过点作 ，垂足为， ， ∵，， ∴， 在 中，， ∴， ∵， ∴， 端点距离地面的高度约为； 【小问2详解】 解：过点作 ，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长 交于点， 由题意得：，，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在 中，， 答：的长约为 ． 20. 石碾，是一种用石头和木材等制作的破碎或去皮工具，如图，为石碾抽象出来的模型，是的直径，为的切线，点D是上的一点，连接并延长与的延长线交于点E，连接，已知． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质推出，再证，即可证明是的切线； （2）利用三角函数解，设的半径长为r，则，再用勾股定理解 即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 为的切线， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：，， ， ， 由（1）知， ， ， 设的半径长为r，则， 在 中，， ， 解得， 即的半径长为． 【点睛】本题考查解直角三角形，切线的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，解题的关键掌握切线的判定定理，通过添加辅助线构造直角三角形． 21. 百度推出了“文心一言” 聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包” 聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 _______， _______， _______． （2）在此次测验中，有 人对甲款进行评分、 人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意 的用户总人数． （3） （简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【答案】（1） ， ， （2）估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为 人 （3） 画树状图为： 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得 的值，即可得出的值； （2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案； （3）用树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：甲款评分数据中“满意”的数据中 出现的次数最多， 众数 ． 乙款评分数据中、两组共有 个数据， 乙款评分数据的中位数为第个和第 个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数 ． 乙款评分数据在组人数所占百分比为 ， 即 ． 故答案为： ， ，． 【小问2详解】 解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比 ， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： （人）． 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为 人． 【小问3详解】 略 22. 为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地．为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成．已知栅栏的总长度为 ． （1）若矩形种植场地的总面积为，求矩形场地中垂直于墙的一边长为多少米？ （2）当矩形场地中垂直于墙的一边长为多少米时，矩形种植场地的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1）矩形场地中垂直于墙的一边长为6米； （2）当矩形场地中垂直于墙的一边长为米时，矩形种植场地的面积最大为． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程和二次函数的应用， （1）根据矩形面积列出关于x的一元二次方程，结合靠墙的长度排除不符合的解即可； （2）首先求得x的取值范围，再根据二次函数得性质求得在范围内的最值即可． 【小问1详解】 解：设矩形场地中垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∵矩形种植场地的总面积为， ∴，解得，， ∵墙的长度为， 若，则，不符合题意， 则， 答：矩形场地中垂直于墙的一边长为6米； 【小问2详解】 解：设矩形场地中垂直于墙的一边长为， 则矩形种植场地的面积， ∵， ∴， ∵， ， ∴ 时，， 则当矩形场地中垂直于墙的一边长为米时，矩形种植场地的面积最大为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点在轴上，当 的周长最小时，请直接写出点的坐标； （3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 【答案】（1）一次函数的表达式为 ，反比例函数的表达式为 （2）点的坐标为 （3）或 ． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论； （2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接 交y轴于P，则此时， 的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为 ，当时， ，于是得到点P的坐标为； （3）将直线向下平移a个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：一次函数与反比例函数的图象交于点，， ， ， 反比例函数的表达式为， 把代入得， ， ， ， 把，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为 ； 【小问2详解】 解：如图，作点关于轴的对称点，连接 交轴于， 此时， 的周长最小， 点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为 ， 当时， ， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点， 直线的解析式为， ，， ， ， 解得或 ． 24. 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A(0，3)，C(2，n)两点，直线l：y＝x+2过C点，且与y轴交于点B，抛物线上有一动点E，过点E作直线EF⊥x轴于点F，交直线BC于点D (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，当点E在直线BC上方的抛物线上运动时，连接BE，BF，是否存在点E使直线BC将△BEF的面积分为2：3两部分？若存在，求出点E的坐标，若不存在说明理由； (3)如图2，若点E在y轴右侧的抛物线上运动，连接AE，当∠AED＝∠ABC时，直接写出此时点E的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，E（，）或（，）；（3）点E（，）或（，）． 【解析】 【分析】（1）直线l：y＝x+2过C点，则点C（2，3），y＝x+2过C点，且与y轴交于点B，则点B（0，2），即可求解；（2）＝=＝或，即可求解；（3）分当点E在直线BC上方、点E在直线BC的下方两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）直线l：y＝x+2过点C（2，n），且与y轴交于点B， ∴n=×2+2=3，当x=0时，y=2， ∴B（0，2），C（2，3） 将点A、C的坐标代入二次函数表达式得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）设点E（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，m+2）， ∴DE＝﹣m2+m+1，DF＝m+2， ＝=＝或， 解得：m＝或， ∴﹣m2+2m+3=，或﹣m2+2m+3=， ∴点E（，）或（，）； （3）由（2）知：E（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，m+2）， DE＝﹣m2+m+1，DF＝m+2， ①如图2，当点E在直线BC上方时， ∵AB∥EF，∠ABD+∠EDB＝180°， ∵∠AED＝∠ABC， ∴∠AED+∠EDB＝180°， ∴AE∥CD， ∴四边形ABDE为平行四边形， ∴AB＝DE＝1＝﹣m2+m+1， 解得：m＝0或（舍去0）； ∴﹣m2+2m+3=，即E（，）. ②如图3，当点E在直线BC的下方时， 设AE、BD交于点N，过点N作x轴的平行线交DE于点M ∵AB∥DE， ∴∠ABN＝∠NDE，而∠AED＝∠ABC， ∴∠ABN＝∠NDE＝∠AED＝∠ABC， ∴△NAB、△DEN都是以点N为顶点的等腰三角形， ∴点M的纵坐标和AB中点的坐标同为， 由中点公式得：（﹣m2+2m+3+m+2）＝， 解得：m＝0或（舍去0）， ∴﹣m2+2m+3=，即E（，）． 综上，点E（，）或（，）． 【点睛】本题考查二次函数的综合，知识点有二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式及平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关知识并灵活运用分类讨论思想是解题关键. 25. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接 ．则 的长为 ； 【问题提出】 （2）如图②，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使 ， ，连接 ．试说明； 【问题解决】 （3）如图③，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接 ．若正方形的边长为8，，求正方形的边长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）证明，则，由得到 ，则，即可证明结论； （3）连接，证明 ，得到，求出，设 ，则，在 中，，则，求出，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ， 在和 中， ， ∴， ∴； 故答案为：； （2）在等腰中，， ． 在等腰中， ， ． ， ． ． ． ， ， ， ∴， ∴； （3）如图③，连接， 四边形是正方形， ． 点是正方形的对称中心， ． ． ． ， ． ． ， ． 设 ，则， 在 中，，即， 解得． ， ． 正方形的边长为． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段检测 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. “斗”是古代常用的粮食度量用具，如图是它的几何示意图，则下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则 的值是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 如图1，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的表达式为 （ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A，B，C均在上，当时，的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 7. 下列关于反比例函数，说法不正确的是（　　） A. 点、 均在其图象上 B. 双曲线分布在第一、三象限 C. 该函数图象上有两点 ，B ，若，则 D. 当时，x的取值范围是 8. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P． （3）作射线交于点D． （4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点． （5）作直线，交 分别于点E，F． 依据以上作图，若 ， ，，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 4 10. 已知抛物线（a，b，c是常数），开口向上，过，两点，且．下列四个结论中正确的结论有（ ） ①； ②若时，则； ③若点，在抛物线上，且，则； ④ 时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根． A. ①③④ B. ①③ C. ①②③ D. ①④ 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．） 11. 抛物线的顶点坐标是_____________． 12. 若关于x的一元二次方程x2＋kx＋1＝0有两个相等的实数根，则k的值为_____． 13. 如图，已知正六边形 的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为________． 14. 如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B，若点B是的中点， 的面积为，则的值为____． 15. 如图，在菱形纸片中，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则 ______． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 解方程： ； 18. 如图，在中，， 于点． （1）求证： ； （2）若，，求． 19. 随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为 ，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，) （1）如图，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； （2）调节支杆，悬杆，使得，，如图所示，且点到地面的距离为，求的长． 20. 石碾，是一种用石头和木材等制作的破碎或去皮工具，如图，为石碾抽象出来的模型，是的直径，为的切线，点D是上的一点，连接并延长与的延长线交于点E，连接，已知． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长． 21. 百度推出了“文心一言” 聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包” 聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 _______， _______， _______． （2）在此次测验中，有 人对甲款进行评分、 人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意 的用户总人数． （3） （简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 22. 为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地．为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成．已知栅栏的总长度为 ． （1）若矩形种植场地的总面积为，求矩形场地中垂直于墙的一边长为多少米？ （2）当矩形场地中垂直于墙的一边长为多少米时，矩形种植场地的面积最大？最大面积为多少？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点在轴上，当 的周长最小时，请直接写出点的坐标； （3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 24. 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A(0，3)，C(2，n)两点，直线l：y＝x+2过C点，且与y轴交于点B，抛物线上有一动点E，过点E作直线EF⊥x轴于点F，交直线BC于点D (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，当点E在直线BC上方的抛物线上运动时，连接BE，BF，是否存在点E使直线BC将△BEF的面积分为2：3两部分？若存在，求出点E的坐标，若不存在说明理由； (3)如图2，若点E在y轴右侧的抛物线上运动，连接AE，当∠AED＝∠ABC时，直接写出此时点E的坐标． 25. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接 ．则 的长为 ； 【问题提出】 （2）如图②，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使 ， ，连接 ．试说明； 【问题解决】 （3）如图③，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接 ．若正方形的边长为8，，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $