山东省济南市长清区2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试题

九年级阶段检测 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. “斗”是古代常用的粮食度量用具，如图是它的几何示意图，则下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 如图1，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的表达式为 （ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A，B，C均在上，当时，的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 7. 下列关于反比例函数，说法不正确的是（　　） A. 点、均在其图象上 B. 双曲线分布在第一、三象限 C. 该函数图象上有两点，B ，若，则 D. 当时，x的取值范围是 8. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P． （3）作射线交于点D． （4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点． （5）作直线，交分别于点E，F． 依据以上作图，若，，，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 4 10. 已知抛物线（a，b，c是常数），开口向上，过，两点，且．下列四个结论中正确的结论有（ ） ①； ②若时，则； ③若点，在抛物线上，且，则； ④时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根． A. ①③④ B. ①③ C. ①②③ D. ①④ 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．） 11. 抛物线的顶点坐标是_____________． 12. 若关于x的一元二次方程x2＋kx＋1＝0有两个相等的实数根，则k的值为_____． 13. 如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为________． 14. 如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为，则的值为____． 15. 如图，在菱形纸片中，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则______． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 解方程：； 18. 如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若，，求． 19. 随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，) （1）如图，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； （2）调节支杆，悬杆，使得，，如图所示，且点到地面的距离为，求的长． 20. 石碾，是一种用石头和木材等制作的破碎或去皮工具，如图，为石碾抽象出来的模型，是的直径，为的切线，点D是上的一点，连接并延长与的延长线交于点E，连接，已知． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长． 21. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_______， _______， _______． （2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． （3）（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 22. 为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地．为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成．已知栅栏的总长度为． （1）若矩形种植场地的总面积为，求矩形场地中垂直于墙的一边长为多少米？ （2）当矩形场地中垂直于墙的一边长为多少米时，矩形种植场地的面积最大？最大面积为多少？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； （3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 24. 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A(0，3)，C(2，n)两点，直线l：y＝x+2过C点，且与y轴交于点B，抛物线上有一动点E，过点E作直线EF⊥x轴于点F，交直线BC于点D (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，当点E在直线BC上方的抛物线上运动时，连接BE，BF，是否存在点E使直线BC将△BEF的面积分为2：3两部分？若存在，求出点E的坐标，若不存在说明理由； (3)如图2，若点E在y轴右侧的抛物线上运动，连接AE，当∠AED＝∠ABC时，直接写出此时点E的坐标． 25. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为 ； 【问题提出】 （2）如图②，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．试说明； 【问题解决】 （3）如图③，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为8，，求正方形的边长． 九年级阶段检测 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】A 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】±2 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】10 【15题答案】 【答案】 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】（1） 证明：在中，于点， ， ， ， ， ； （2） 【19题答案】 【答案】（1）端点距离地面的高度约为； （2）的长约为 【20题答案】 【答案】（1） 证明：如图，连接， 为的切线， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的切线； （2） 【21题答案】 【答案】（1），， （2）估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人 （3） 画树状图为： 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 【22题答案】 【答案】（1）矩形场地中垂直于墙的一边长为6米； （2）当矩形场地中垂直于墙的一边长为米时，矩形种植场地的面积最大为． 【23题答案】 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 （2）点的坐标为 （3）或． 【24题答案】 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，E（，）或（，）；（3）点E（，）或（，）． 【25题答案】 【答案】（1）； （2）证明：在等腰中，， ． 在等腰中，， ． ， ． ． ． ， ， ， ∴， ∴； （3）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $