精品解析：佛山市惟德外国语实验学校2025-2026高三数学第五次周测试题

高三数学周测 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 设全集，集合，则集合为（ ） A. B. C. D. 2. 设，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设等比数列的前n项的和为，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，则当时，点的横坐标为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 7. 有编号为，，的三个盒子，将4个不同的小球全部放入盒子.若每个盒子中所放球的个数不大于其编号，则不同的放法共有（ ） A. 26种 B. 32种 C. 38种 D. 44种 8. 若，则下列结论可能成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 的展开式中的系数为-4 B. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有36种 C. 已知，则 D. 数据7，12，13，17，18，20，32的上四分位数为19 10. 已知函数的部分图象如图，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 在上单调递增 C. 若，则的最小值为 D. 若，函数在上有2个零点，则 11. 已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 动点的轨迹与无公共点 C. 的最大值为6 D. 的最小值为 三、填空题 12. 若函数 是偶函数，则 _____. 13. 在中，D在边AB上，CD平分，若，且，则_____． 14. 设函数为增函数，则的最大值为______. 四、解答题 15. 在数列中，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 如图，在三棱锥中，平面，，，点分别是棱的中点． （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值为，求． 17. 为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：），经统计其增长长度均在区间内，将其按分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为及以上的产品为优质产品. （1）已知这120件产品来自两个试验区，部分数据如下列联表： 试验区 试验区 合计 优质产品 20 非优质产品 60 合计 将此列联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质产品与两个试验区有关系，并说明理由； 参考公式，其中. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （2）以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数的分布列和数学期望. 18. 已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的零点个数； （3）探究是否存在最值，若存在，求出最值，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学周测 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 设全集，集合，则集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出全集，然后由补集的定义可求得结果. 【详解】因为，又， 所以， 故选：B. 2. 设，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念求解出，由此可知结果. 【详解】因为，故，其在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 3. 设等比数列的前n项的和为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，直接求出，再利用等比数列的前项和公式，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，因为，， 则，解得， 所以， 故选：C. 4. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，，，，利用平方关系求得，，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以，， ，， 所以， 故选：C. 5. 中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合轴截面分析可知，，再利用圆柱以及圆台的体积公式运算求解. 【详解】由题意可知：容器中液体分为：下半部分为圆柱，上半部分为圆台， 取轴截面，如图所示，分别为的中点， 可知：∥∥，且， 可得，即， 所以该容器中液体的体积为. 故选：A. 6. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，则当时，点的横坐标为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象变换结合抛物线方程可知的准线方程为，结合抛物线的定义运算求解即可. 【详解】该抛物线可看作将抛物线向左平移一个单位所得， 注意到原抛物线的准线方程为， 可知的准线方程为， 设点的横坐标为，由抛物线的定义知，即. 故选：A. 7. 有编号为，，的三个盒子，将4个不同的小球全部放入盒子.若每个盒子中所放球的个数不大于其编号，则不同的放法共有（ ） A. 26种 B. 32种 C. 38种 D. 44种 【答案】C 【解析】 【分析】分3种情况进行求解，结合排列组合知识得到答案. 【详解】三个盒子放球的个数如下： 1号盒子：，2号盒子：，3号盒子：， 4个不同的小球全部放入盒子，不同的组合放法如下； ，即1个盒子放入1个球，另一个盒子放入3个球， 显然3个球只能放入3号盒子，有种情况， ，即2个盒子分别放入2个球， 显然只能放入2号和3号盒子，有种情况， ，即放入3个盒子中，其中1个盒子放入2个球， 另外2个盒子分别放入1个球，放入2个球的盒子从2号和3号盒子中选， 剩余2个球和2个盒子进行全排列，有种情况， 综上，共有种情况. 故选：C 8. 若，则下列结论可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析化简不等式，构造新函数，求导判断单调性，根据单调性逐项判断不等式是否正确即可. 【详解】依题意得，则， 令，则. 因为，求导得， 易得在上递减，在上递增， 当，时，，即，B错误，D正确. 当，时，，即，A和C错误. 故选：D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 的展开式中的系数为-4 B. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有36种 C. 已知，则 D. 数据7，12，13，17，18，20，32的上四分位数为19 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式定理写出的展开式的通项公式，即可判断选项A；根据分步乘法计数原理即可判断选项B；由排列数和组合数公式可解得，即可判断选项C；求出上四分位数判断D. 【详解】对于A，由二项式定理可知的展开式的通项公式为：，， 令，解得， ∴的展开式中的系数为，故A正确； 对于B，先将标号为，的卡片放入同一信封，有种不同的方法； 再将标号为，，，的张卡片平均分成两组放入另外两个信封里，有种不同的方法， 由分步乘法计数原理可知：共有种方法，故B错误； 对于C，∵， ∴由排列数和组合数公式可得，解得，故C正确； 对于D，由7×75%=5.25，得第75百分位数为第6个数，为20，故D错误； 故选：AC. 10. 已知函数的部分图象如图，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 在上单调递增 C. 若，则的最小值为 D. 若，函数在上有2个零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的部分图象求出的解析式，结合正弦函数的奇偶性、单调性、最值与零点可判断各个选项. 【详解】设函数的周期为，由图象可知，，，所以，解得，此时； 如图，，因为，所以，因此； 对于A，因为函数，所以函数是奇函数，故A正确； 对于B，因为，所以，结合正弦函数的单调性知，在上单调递增，故B正确； 对于C，因为，所以的最小值等于，故C错误； 对于D，依题意，，由，，得；因为，函数在上有2个零点，，解得，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 动点的轨迹与无公共点 C. 的最大值为6 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出双曲线方程及其渐近线方程判断A；求出点的轨迹方程，与双曲线方程联立由解的情况判断B；利用圆的性质，结合两点间距离公式求解判断CD. 【详解】设双曲线半焦距为，则，由双曲线经过点，得， 而，解得，因此双曲线的方程为， 对于A，双曲线的渐近线方程为，即，A正确； 对于B，由对称性不妨令，设，由， 得，整理得， 点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，由， 消去得，，因此动点的轨迹与无公共点，B正确； 对于C，点到圆心的距离，因此的最大值为，C错误； 对于D，设双曲线上任一点，则，到圆心的距离为： ， 当且仅当时取等号，因此的最小值为，D正确. 故选：ABD 三、填空题 12. 若函数 是偶函数，则 _____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，列出方程，求出参数即可. 【详解】因为，所以函数定义域为， 当函数 是偶函数时，， 即，化简得， 化简得， 即，即. 故答案为：. 13. 在中，D在边AB上，CD平分，若，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据和余弦定理得到方程，求出，从而得到，，相加可得答案. 【详解】由题意，如图，设，由角平分线定理可得， 由于，所以由余弦定理可得：， 即：，解得：， 可得：，， ． 故答案为： 14. 设函数为增函数，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由函数的单调性推出在上恒成立，即在上恒成立，若，利用导数求出函数的最小值，由题意知即可解得a的范围，从而求得a的最大值. 【详解】的定义域为，因为为增函数， 所以在上恒成立， 即当时，， 设，， 若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，则，解得. 因为题中要求a的最大值，所以对的情况不再进行讨论，故的最大值为. 故答案为： 四、解答题 15. 在数列中，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）通过对递推式变形，构造出常数列，利用首项求出该常数列的数值，进而推导得的通项. （2）由得的表达式后，采用错位相减法计算得. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 所以数列为常数列， 又，所以，所以. 【小问2详解】 由（1）得， ， 两边同乘以，得， 两式相减，得 ， 所以. 16. 如图，在三棱锥中，平面，，，点分别是棱的中点． （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值为，求． 【答案】（1） 证明：在中，由，为的中点，， 平面，平面，. 又,,且平面，平面， 平面, 平面，, 又，且平面，平面， 平面. （2）2 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质得到,再证明出平面,得到,又由等腰三角形可知,即可得证. （2）建系后，设，再求出平面与平面的法向量，根据二面角的余弦值为建立方程，解出后即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可知,,,以为坐标原点， 以方向为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，如下图所示， 不妨设,则,,,,,, ,,, 设平面的一个法向量为,则,, 令,则,,, 由（1）可知，平面的一个法向量可取为, 二面角的余弦值为, ,即,解得, . 17. 为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：），经统计其增长长度均在区间内，将其按分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为及以上的产品为优质产品. （1）已知这120件产品来自两个试验区，部分数据如下列联表： 试验区 试验区 合计 优质产品 20 非优质产品 60 合计 将此列联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质产品与两个试验区有关系，并说明理由； 参考公式，其中. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （2）以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数的分布列和数学期望. 【答案】（1）列联表： 试验区 试验区 合计 优质产品 10 20 30 非优质产品 60 30 90 合计 70 50 120 没有的把握认为优质产品与两个试验区有关系； （2）分布列： 0 1 2 3 4 数学期望为1.【解析】 【分析】（1）根据面积之和为1，列出关系式，解出的值，根据频率分布直方图中的数据计算这两个试验区优质产品、非优质产品的总和，然后根据表格填入数据，再根据公式计算即可； （2）利用二项分布的概率公式计算分布列和数学期望即可. 【小问1详解】 易知，解得， 此时样本中优质产品有. 列联表如下 所以， 即没有的把握认为优质产品与两个试验区有关系. 【小问2详解】 由题意，易知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率为， 则随机抽取4件中含有优质产品的件数的可能取值为，且， 则， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故. 18. 已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积公式，可得关系，根据离心率，可得的关系，联立求解，即可得答案. （2）将直线与椭圆联立，结合韦达定理，设，可得，表达式，由题意得的表达式，化简整理，即可得答案. 【小问1详解】 由题意，所以， 因为，所以， 又离心率，解得， 联立解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 将直线与椭圆联立，得， 设，则， 又，所以， 所以 . 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的零点个数； （3）探究是否存在最值，若存在，求出最值，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）零点个数为1 （3）存在，最大值为，没有最小值 【解析】 【分析】（1）求导，可得，，根据导数的几何意义求切线方程； （2）设，利用导数判断的单调性和零点，即可得的零点个数； （3）根据（2）分析的符号，即可得的单调性和最值，结合零点代换运算求解即可. 【小问1详解】 因为，， 则，， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 设，则， 可知在上单调递减，且，， 根据零点存在定理可知在区间上存在唯一零点，即的零点个数为1. 【小问3详解】 由（2）可知在上单调递减，且存在唯一零点，使得， 当时，，则在区间上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以的最大值为. 因为，即， 可得，即， 则， 故的最大值为，没有最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $