精品解析：江西上饶市广信区2025-2026学年第一学期期末绿色评价九年级数学试卷

2025-2026半年度第一学期期末绿色评价 九年级·数学试题卷 考试时长：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共6个小题，第小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程，据此逐项判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、当时，方程为，是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 故选：． 2. 下列函数关系式中，一定是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数定义，熟记二次函数定义是解决问题的关键． 根据二次函数的定义：形如，其中，逐项判断每个选项即可得到答案． 【详解】解：A：是一次函数，不满足二次函数定义，不符合题意； B：是分式，不是整式，不满足二次函数定义，不符合题意； C：，满足二次函数定义，符合题意； D：是一次函数，不满足二次函数定义，不符合题意； 故选：C． 3. 如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若是由△绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 是由绕点按逆时针方向旋转而得：由图可知，为旋转角，可利用即可解答． 【详解】解：小方格的边长相等，得， ∴，即旋转角为． 故选D． 4. 下列事件中是随机事件的是（ ） A. 太阳从东边升起 B. 水中捞月 C. 抛掷一枚硬币次，次都是正面朝上 D. 三角形任意两边之和大于第三边 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件和随机事件，解决本题的关键是弄清楚以上事件的定义；必然事件：每次随机试验中一定会出现的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，据此逐项分析，即可求解． 【详解】解：A、太阳从东边升起是必然事件； B、水中捞月是不可能事件； C、抛掷一枚硬币次都正面朝上可能发生也可能不发生，是随机事件； D、三角形任意两边之和大于第三边是必然事件． 故选：C． 5. 如图，的半径是4，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，含的直角三角形，连接，则，过点O作交于点D，则可计算出，利用勾股定理求出，进一步利用垂径定理即可求出弦的长． 【详解】解：连接，则，过点O作交于点D， ∵， ∴， ， ∴． 故选：B． 6. 如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示．下列说法错误的是（ ） A. 旋转木马转一圈需要 B. 当时，小明与入口的距离为 C. 小明与入口的距离为时，旋转木马恰好转了 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，函数图象，认真分析图象，理解纵横坐标的意义是解题的关键，因为如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示，所以得出图象的每一次循环需要的时间是，当时，小明与入口的距离为，当时，y随x的增大而增大，即可作答． 【详解】解：A、观察图2，图象的每一次循环需要的时间是，则旋转木马转一圈需要，故该选项不符合题意； B、观察图2的图象，当时，小明与入口的距离为，故该选项不符合题意； C、观察图2的图象，当小明与入口的距离为时，旋转木马不一定转了（如下图所示），故该选项符合题意； D、观察图2的图象，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； 故选：C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），解题的关键是利用韦达定理中两根之和的关系来求解． 【详解】解：设另一个根为， 由根与系数的关系得， 解得 故答案为． 8. 抛物线的顶点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 该抛物线表达式为顶点式，直接根据抛物线表达式确定顶点坐标． 【详解】解：抛物线， 当时，， ∴抛物线的顶点的坐标为， 故答案为 ：． 9. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．如图是正面印有“四书”字样的书签，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．则从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式． 直接根据概率公式计算即可． 【详解】解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“中庸”书签的结果有1种， ∴抽到“中庸”书签的概率为， 故答案为：． 10. 如图，有一个半径为2的圆形时钟，过8点和12点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有关扇形面积的计算．连接、，过点O作于点C，求得，根据三角形面积公式求出，再根据扇形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接、，过点O作于点C，如图： 由题意可知：， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：． 11. 已知和是一元二次方程的两个根，则的值为___________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据题意，利用根与系数关系，变形计算解答即可． 本题考查了根与系数关系，求代数式的值，掌握解答的方法是解题的关键． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：16． 12. 如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，当时，的长为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】进行分类讨论：当点在上方时，，易得点在上，，通过证明是等边三角形，即可求解；当点在下方时，延长交于点，此时，通过证明是等边三角形，即可求解；当时，先证明为等边三角形，得出为中点，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 当点在上方时，，如图， ，， 点在上，， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ， 是等边三角形， ； 当点在下方时，延长交于点，如图，此时， ，， ， 在中，， ， 是等边三角形， ； 当， 是等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， 为中点， ， 根据勾股定理可得：， 综上所述，的长为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）把常数移到右边，再利用直接开平方法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 即，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 14. 已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的图象，根据二次函数的顶点式即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的表达式为，， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标． 15. 如图，在中，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧与弦之间的关系，全等三角形的性质与判定，熟知圆的相关知识是解题的关键。 （1）可证明，则可证明； （2）先证明，再利用证明，则可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图是学校食堂一张餐桌的示意图，甲，乙，丙，丁一起去食堂吃饭，他们选了一张空餐桌（选择每一个座位的机会是均等的，两人不能坐同一个座位）． （1）甲随机选择一个座位坐下，他坐在③号座位上的概率是__________． （2）若甲和乙两位同学随机坐在①，②，③，④四个座位中，请用画树状图或列表的方法，求甲和乙两位同学不坐在正对面的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了概率公式、利用树状图或列表法求概率， （1）利用概率公式即可得到答案； （2）列表表示出所有等可能的情况，用甲和乙两位同学不坐在正对面的结果数除以所有等可能情况数即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵一张空餐桌共4个座位， ∴甲随机选择一个座位坐下，他坐在③号座位上的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： ① ② ③ ④ ① （②，①） （③，①） （④，①） ② （①，②） （③，②） （④，②） ③ （①，③） （②，③） （④，③） ④ （①，④） （②，④） （③，④） 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中甲和乙两位同学不坐在正对面的结果有：①③，①④，②③，②④，③①，③②，④①，④②，共8种， ∴甲和乙两位同学不坐在正对面的概率为． 17. 如图所示，已知点为正六边形的边的中点，连接，仅用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹． （1）在图1中画出边的中点； （2）在图2中将绕点顺时针旋转． 【答案】（1） 解：如图，即为所求． （2） 解：如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接， 交于点，连接并延长交于，结合正六边形的性质可得，关于直线对称，可得为中点． （2）连接交于，连接，由正六边形的性质可得，，可得，，可得，可得，，可得即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练的作图是解本题的关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 第届成都世界运动会吉祥物“蜀宝、锦仔”深受大家的喜爱，某商家购进一批进价为元/件的迷你款“蜀宝、锦仔”玩偶套装，当销售价为每件元时，每天可售出件．为了推广宣传，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，从而扩大销售量．经调查发现，若每件玩偶套装每降价1元，则每天可多售出5件． （1）设每件玩偶套装降价x元，则每天可销售________件；（用含x的代数式表示） （2）当每件玩偶套装降价多少元时，平均每天盈利元？ 【答案】（1） （2）当每件玩偶套装降价元时，平均每天盈利元 【解析】 【分析】本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，列代数式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据每件玩偶套装降价x元，用x的代数式表示出每天可销售件数； （2）根据题意，列出一元二次方程求解． 【小问1详解】 解：设每件玩偶套装降价x元， ∵每件玩偶套装每降价1元，则每天可多售出5件， ∴每天可销售件， 故答案为：． 【小问2详解】 由题意可得：， ， ， ， 为了尽快减少库存， ， 答：当每件玩偶套装降价元时，平均每天盈利元． 19. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，连接． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）若四边形的面积为，，求的长． 【答案】（1） 证明：把顺时针旋转到的位置， ， ， 四边形是正方形， ， ， 是等腰直角三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得，“三角形全等，对应角和对应边相等”，则，，得证是等腰直角三角形；（2）运用勾股定理可得、的长度； 本题主要考查了正方形、旋转和三角形全等的性质、等腰直角三角形的判定和勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1），四边形的面积＝正方形的面积， 正方形的面积为， ， 在中，，， ， 是等腰直角三角形， ． 20. 初中阶段研究新函数的性质往往需要先确定函数的解析式，再经历列表、描点、连线画出函数图象、观察分析函数图象特征等过程．下表是函数的部分信息： 请结合已有的学习经验，探究上述函数的图象与性质，并解决问题： （1）求 ______， ______， ______，并补全函数图象； （2）在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写出该函数的一条性质：______； （3）已知关于的方程无实数解，根据函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1），，， 补全该函数图象如图， （2）图象关于轴对称 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查函数的图象和性质，函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质、解一元一次不等式是解题的关键． （1）将，2，，别分别代入解析式即可得a、b、c的值然后补全图象即可； （2）观察图象即可得到； （3）根据图象求得即可． 【小问1详解】 分别将，2，，别代入， 求得，，， 故答案为：，，． 【小问2详解】 由图象可得，图象关于轴对称． 【小问3详解】 观察图象可知，或， 的取值范围为或． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，，D是边上一点，以为直径作，交边于点E，交边于点F，E是的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， 是的中点， ， ， ， ， ， ， 又是的半径 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定和性质，圆周角和弧的关系，平行线的判定和性质，扇形、直角三角形的性质、勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握切线、圆周角、直角三角形的性质、扇形面积公式，从而完成求解． （1）连接，根据弧和圆周角的关系得出相等的角，证明，得出即可得出结论； （2）作交于H，根据直角三角形的性质以及角所对的直角边等于斜边的一半，求出相关角的度数以及线段长度，利用勾股定理求出，然后利用三角形等面积和扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， 又， 中，， 如图所示，作交于H， ， 中，， ， ，， ， ． 22. 课本再现 （1）如图1，和都是等边三角形，且点、、在一条直线上，连接和相交于点，线段与有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？ 深入探究 （2）如图2，将绕点逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同． ①线段与的数量关系是___________； ②的度数为___________． 拓展应用 （3）如图3，四边形中，，，，，，求边的长度． 【答案】 （1），理由如下， 和都是等边三角形， ， ，即． 将绕点逆时针旋转得到， ； （2）①； ②； （3） 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质得到，进而根据旋转的性质将绕点逆时针旋转得到，即可得到； （2）①证明得到； ②根据得到，再根据三角形外角的性质求出，则可得； （3）先证明是等边三角形，如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，连接，则，证明是等边三角形，得到，进一步证明．由勾股定理得． 【详解】解：（1）略 （2）①和都是等边三角形， ， ，即． 在和中， ， ， 故答案为：． ② ， ， ， 故答案为：． （3）， 是等边三角形， ， 如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，连接， ∴， 是等边三角形， ， 由旋转的性质知， ， ． 在中，由勾股定理得， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，三角形外角的性质等等，熟练掌握手拉手模型证明三角形全等是解题的关键． 六、（本大题12分） 23. 如图（1），在中，，点为边上一动点，过点作，交于点．将沿折叠，点的对应点为，若的长为与重叠部分的面积为（点与点或点重合时，不妨设），与之间的函数关系如图（2）所示． （1）①的长为___________，的长为___________； ②当时，关于的函数解析式为___________． （2）当时，与之间的关系图象是抛物线的一部分，且时，取得最大值，求抛物线的解析式． （3）在（2）的条件下，若存在对应的值相等，且，求此时与重叠部分的面积． 【答案】（1）①，；② （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，相似三角形的性质与判定，折叠问题； （1）根据函数图象可得时，则，当时，则点与点重合，此时是的中点，进而可得是的中位线，则，根据函数图象时，，进而根据三角形的面积公式求得，即可得出的长； ②根据得出，根据相似三角形的性质求得，进而根据三角形的面积公式列出函数关系式，即可求解； （2）根据题意设抛物线解析式为：，根据函数图象可得，在抛物线上，待定系数法求解析式，即可求解； （3）分，两种情况讨论；当时根据对称性可得，联立，确定和的值，代入（2）中解析式，即可求解；当时，确定的范围，联立与求得的值，进而根据的取值范围取舍，即可求解． 【小问1详解】 解：①根据函数图象可得与重合时，时，则， 当时，则点与点重合，此时是的中点， 根据函数图象可得时，， 即时，，则 ∵ ∴ ∴ ∴是的中位线，则 ∴， 故答案为：，． ②∵ ∴ ∴，即， ∴ ∴当时，， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵时，与之间的关系图象是抛物线的一部分，且时，取得最大值， ∴设抛物线解析式为：， 将，，代入， 得，， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 【小问3详解】 解：∵时，，存在对应的值相等， ∴对称轴为直线① 又∵②， 联立①②解得： ∴此时与重叠部分的面积为． 当时， ∵，则 ∴ ∴ ∵当时， ∴当 整理得， 解得：或 ∵ ∴不存在此情形， 综上所述，与重叠部分的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026半年度第一学期期末绿色评价 九年级·数学试题卷 考试时长：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共6个小题，第小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数关系式中，一定是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若是由△绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转角度为（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中是随机事件的是（ ） A. 太阳从东边升起 B. 水中捞月 C. 抛掷一枚硬币次，次都是正面朝上 D. 三角形任意两边之和大于第三边 5. 如图，的半径是4，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（ ） A. B. C. 5 D. 10 6. 如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示．下列说法错误的是（ ） A. 旋转木马转一圈需要 B. 当时，小明与入口的距离为 C. 小明与入口的距离为时，旋转木马恰好转了 D. 当时，y随x的增大而增大 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 8. 抛物线的顶点的坐标为________． 9. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．如图是正面印有“四书”字样的书签，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．则从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是______． 10. 如图，有一个半径为2的圆形时钟，过8点和12点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为_________． 11. 已知和是一元二次方程的两个根，则的值为___________． 12. 如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，当时，的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 15. 如图，在中，，．求证： （1）； （2）． 16. 如图是学校食堂一张餐桌的示意图，甲，乙，丙，丁一起去食堂吃饭，他们选了一张空餐桌（选择每一个座位的机会是均等的，两人不能坐同一个座位）． （1）甲随机选择一个座位坐下，他坐在③号座位上的概率是__________． （2）若甲和乙两位同学随机坐在①，②，③，④四个座位中，请用画树状图或列表的方法，求甲和乙两位同学不坐在正对面的概率． 17. 如图所示，已知点为正六边形的边的中点，连接，仅用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹． （1）在图1中画出边的中点； （2）在图2中将绕点顺时针旋转． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 第届成都世界运动会吉祥物“蜀宝、锦仔”深受大家的喜爱，某商家购进一批进价为元/件的迷你款“蜀宝、锦仔”玩偶套装，当销售价为每件元时，每天可售出件．为了推广宣传，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，从而扩大销售量．经调查发现，若每件玩偶套装每降价1元，则每天可多售出5件． （1）设每件玩偶套装降价x元，则每天可销售________件；（用含x的代数式表示） （2）当每件玩偶套装降价多少元时，平均每天盈利元？ 19. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，连接． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）若四边形的面积为，，求的长． 20. 初中阶段研究新函数的性质往往需要先确定函数的解析式，再经历列表、描点、连线画出函数图象、观察分析函数图象特征等过程．下表是函数的部分信息： 请结合已有的学习经验，探究上述函数的图象与性质，并解决问题： （1）求 ______， ______， ______，并补全函数图象； （2）在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写出该函数的一条性质：______； （3）已知关于的方程无实数解，根据函数图象，直接写出的取值范围． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，，D是边上一点，以为直径作，交边于点E，交边于点F，E是的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 22. 课本再现 （1）如图1，和都是等边三角形，且点、、在一条直线上，连接和相交于点，线段与有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？ 深入探究 （2）如图2，将绕点逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同． ①线段与的数量关系是___________； ②的度数为___________． 拓展应用 （3）如图3，四边形中，，，，，，求边的长度． 六、（本大题12分） 23. 如图（1），在中，，点为边上一动点，过点作，交于点．将沿折叠，点的对应点为，若的长为与重叠部分的面积为（点与点或点重合时，不妨设），与之间的函数关系如图（2）所示． （1）①的长为___________，的长为___________； ②当时，关于的函数解析式为___________． （2）当时，与之间的关系图象是抛物线的一部分，且时，取得最大值，求抛物线的解析式． （3）在（2）的条件下，若存在对应的值相等，且，求此时与重叠部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $