第八章 四边形（章节复习）课件-2025-2026学年苏科版数学八年级下册同步培优讲义

该初中数学单元复习课件系统梳理了四边形的核心知识，涵盖平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形的概念、性质与判定，以及三角形中位线、梯形等内容，通过导图指引和知识点梳理构建知识网络，明确各知识点间的逻辑联系。 其亮点在于采用“题型分类精讲-真题实战-分层训练”模式，如矩形折叠问题培养空间观念，动点问题提升推理能力，基础与培优分层设计满足不同需求，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习教学支持。

第八章 四边形 苏科版数学八年级下册章节复习培优精讲练 CONTENTS 目录 1. 导图指引 知识点梳理 2. 3. 4. 重点难点考点讲练 难度分层训练 5. 真题实战演练 导图指引 PART 01 导图指引 知识点梳理 PART 02 知识点一：平行四边形 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 平行四边形的概念： 平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边相等； （2）平行四边形的对角相等； （3）平行四边形的对角线互相平分。 （1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 判定条件 知识点一：平行四边形 反证法 反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而命题的结论是成立的。 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。 01 矩形定义 矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 02 矩形性质 知识点二：矩形、菱形、正方形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 判定矩形条件 知识点二：矩形、菱形、正方形 平行线之间的距离及其性质 性质：两条平行线之间的距离处处相等 菱形性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 菱形定义 菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 知识点二：矩形、菱形、正方形 判定菱形条件 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） 四边相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 正方形定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 正方形性质 正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 判定正方形条件 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 知识点二：矩形、菱形、正方形 （1）区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。 （2）联系：三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。 连接三角形两边重点的线段； 三角形中位线平行且等于第三边的一半。 三角形中线的概念和性质 三角形的中位线与中线的区别 知识点三：三角形的中位线 01 知识点四：梯形的性质与判定 等腰梯形的定义及性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 等腰梯形判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 梯形中位线 联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 三角形中位线 联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 知识点四：梯形的性质与判定 三角形、梯形的中位线 重点难点考点讲练 PART 03 典例精讲 题型一 矩形与折叠问题 （24-25九年级上·广东揭阳·期中）如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，已知．则的长为（    ） A． B． C． D． 典例精讲 题型一 矩形与折叠问题 解：在和中， ∴（）， ∴，， ∴， 设， 则，，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 故选C． 典例精讲 题型二 根据矩形的性质与判定求角度 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，且，．求的度数． 解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 故的度数为． 典例精讲 题型三 根据矩形的性质与判定求线段长 （24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，若，，求的长． 典例精讲 题型三 根据矩形的性质与判定求线段长 （1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 典例精讲 题型四 根据矩形的性质与判定求面积 （24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，菱形 的面积为，O为对角线 ，的交点，点E，F，G分别为 ，，的中点，连接 ，，则四边形 的面积为 ． 题型四 根据矩形的性质与判定求面积 解：如图所示，连接，  ∵四边形是菱形， ∴， 又 ∵是的中点， ∴， 又 ∵分别是的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵菱形的面积为， ∴，即， ∴四边形的面积． 故答案为：3． 典例精讲 题型五 根据菱形的性质与判定求角度 （24-25八年级下·云南玉溪·期末）如图，某同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则 ． 解：由作图可得， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 典例精讲 题型六 根据菱形的性质与判定求线段长 如图所示的一张矩形纸片，将纸片折叠一次，使点与点重合，再展开，折痕交边于点，交边于点，分别连结和． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形纸片的面积． 典例精讲 题型六 根据菱形的性质与判定求线段长 （1）证明：四边形的形状是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形纸片的面积为． 典例精讲 题型七 根据菱形的性质与判定求面积 （24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 典例精讲 题型七 根据菱形的性质与判定求面积 （1）证明：在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 典例精讲 题型八 正方形折叠问题 （23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，正方形的边长为3，点E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型八 正方形折叠问题 解：∵正方形纸片的边长为3， ∴， 根据折叠的性质得：， 设， 则，，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， 故选B 典例精讲 题型九 根据正方形的性质与判定求角度 （24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 典例精讲 题型九 根据正方形的性质与判定求角度 （1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； 典例精讲 题型九 根据正方形的性质与判定求角度 （2）解：如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 典例精讲 题型十 根据正方形的性质与判定求线段长 （24-25八年级下·四川攀枝花·月考）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且 (1)求证：； (2)在图1中，若G在上，且，则成立吗？为什么？ (3)运用解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形中，，，，E是上一点，且，，求的长． 典例精讲 题型十 根据正方形的性质与判定求线段长 （1）证明：∵正方形， ，， 又∵， ． ； （2）解：成立，理由如下： ， ． ． 即． ， ． ，，， ． ． ； 典例精讲 题型十 根据正方形的性质与判定求线段长 （3）解：如图，过C作，交延长线于G， 在直角梯形中，，， ，， 四边形为正方形． ． ， 由（2）结论可知，， ， 设，则， ，． 在中，， ， 解得：． ． 典例精讲 题型十一 根据正方形的性质与判定求面积 （24-25八年级下·山西大同·期中）如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并 延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 题型十一 根据正方形的性质与判定求面积 （1）解：四边形是正方形．理由如下： ∵于点D， ∴． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 又∵， ∴矩形是正方形． 题型十一 根据正方形的性质与判定求面积 （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，． 设，则． ∴． ∵， ∴，． ∴． 在中，，即． 解得． ∴． ∵， ∴． 典例精讲 题型十二 （特殊）平行四边形的动点问题 （24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形中，， ， ， ，点从点出发，以/的速度向点运动；点从点同时出发，以/的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)____________，____________（用含的代数式示）； (2)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是矩形？若存在，请求出值；若不存在，说明理由． 典例精讲 题型十二 （特殊）平行四边形的动点问题 （1）解：由题意得： ， ， ∵ ， ∴ 故答案为： ， ； （2）解：存在， 在四边形中：， ∴当时，四边形是矩形， ∴， 解得：， ∴当时，四边形是矩形． 典例精讲 题型十三 四边形中的线段最值问题 如图，在矩形中，，，，分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是 ． 题型十三 四边形中的线段最值问题 解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， 则， ∴当，，，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长． 过点作的垂线，交的延长线于点， ∴， ∵为的中点，， ∴，， ∴， ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． 典例精讲 题型十四 与三角形中位线有关的证明与应用 （24-25八年级上·山东淄博·期末）知识回顾：已知，如图（1）中，点E是边的中点，点F是边的中点，连接．则与的关系为： （用符号语言表达）． 知识应用：已知，如图（2），四边形中，，点M，N分别为，的中点，连接．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 典例精讲 题型十四 与三角形中位线有关的证明与应用 解：知识回顾： ∵点E是边的中点，点F是边的中点， ∴是的中位线， ∴，； 故答案为：，． 知识应用：，，理由如下： 连接并延长交的延长线于点G， ∵， ∴，， ∵N是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∵， ∴． 典例精讲 题型十五 等腰梯形的性质与判定 （24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1)______； (2)若四边形成为平行四边形，求t的值． (3)当______时，？ 典例精讲 题型十五 等腰梯形的性质与判定 （1）解：如图，过D点作于E， 则 ∵，， ∴ ， ∴四边形矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴； 故答案为：18； 典例精讲 题型十五 等腰梯形的性质与判定 （2）解：由题意得，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得； 典例精讲 题型十五 等腰梯形的性质与判定 （3）解：①当时，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 解得； ②如图，当梯形是等腰梯形时，， 过点P作 于点F，则 ， ∴四边形是矩形， ∴ ，， ∴， ∴； 综上所述，当t为或时，． 真题实战演练 PART 04 【演练1】（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为 ． 中考真题 中考真题 解：如图所示，连接， 由旋转可知， ∴，，， ∴点F、B、C三点共线， ∵ ， ∴ H为的中点， ∴垂直平分， ∴， 设， ∵，， ∴正方形的边长为3， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【演练2】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在正方形的内侧作等边三角形，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作，交的延长线于点，平分，交于点，连接，交于点，连接交于点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中四条与线段相等的线段（线段，除外）． 中考真题 中考真题 （1）证明：∵四边形 是正方形， ∴，， ∵ 是等边三角形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：与线段相等的线段有，，，，理由如下， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 中考真题 ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形 是正方形， 为对角线， ∴， ∴， ∴， 中考真题 ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【演练3】（2024·青海·中考真题）如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上的一动点，则的最小值为 ． 中考真题 中考真题 解：∵四边形是正方形， ∴点关于的对称点是点． 连接，，且交于点，与交于点，此时的值最小． ∵，正方形的边长为8， ∴，． 由，知． 又∵点与点关于对称， ∴且平分． ∴． ∴． ∴的最小值是10． 故答案为：10 难度分层训练 PART 05 分层训练 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 解：∵正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且每一条对角线平分一组对角； 又∵ 菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分，而且每一条对角线平分一组对角； ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等． 故选：A． 基础夯实 分层训练 2．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图所示是一个矩形，在上取一点，过作于，于，其中，，求 ． 基础夯实 分层训练 解：连接，如图 ∵四边形是矩形， ，， ∴， ， ∴， ， ∴， ∵， 基础夯实 ∴， 即， ， ∴． 故答案为：． 分层训练 3．（23-24九年级上·山东枣庄·月考） 如图，菱形的对角线、相交于点，点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并写出证明过程． 基础夯实 分层训练 （1）证明：点是的中点， ， 又 ， 在和中， ， ； 基础夯实 （2）解：四边形为矩形，证明如下： ， ， 又， 四边形为平行四边形， 又四边形为菱形， ， 即， 四边形为矩形． 分层训练 1．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，菱形的对角线、交于点，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是(　　) A．3 B．4 C．5 D．7 培优拔高 分层训练 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵绕着点C旋转得到， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 培优拔高 分层训练 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，若，于点，于点，与交于点，则 ． 培优拔高 分层训练 解：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ， ， ， ． 故答案为：． 培优拔高 分层训练 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个点（点，始终在的外面），且，，连接，，，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，则四边形是平行四边形吗？请说明理由．由此你能得出什么结论？ (3)若平分，，求四边形的周长． 培优拔高 分层训练 （1）证明：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ，即， 四边形为平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ，． ，， ． 培优拔高 ， ，即， 四边形为平行四边形． 由此可得出结论：若，，则四边形为平行四边形 分层训练 （3）解：在中，， ． 平分， ， ， ． ， ， 垂直平分， ． 培优拔高 ， 是等边三角形， ， ． 谢谢大家 $