2026年中考数学重难点一轮复习：分式方程

2026年中考数学重难点一轮复习：分式方程 一、单选题 1．若关于x的分式方程无解，则m的值为(　　　) A．-6 B．-10 C．0或-6 D．-6或-10 2．为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生前往距离学校8km的抗美援朝纪念馆参观．一部分师生骑自行车先走，过了30min后，其余师生乘坐汽车出发，结果他们同时达到．假设汽车行驶速度和骑自行车速度均保持不变，汽车行驶速度是骑自行车速度的4倍，设骑自行车的速度为xkm/h，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．将分式方程化为整式方程时，方程两边应同乘（    ） A． B． C． D． 4．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 5．一批货物要运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可用，已知甲、乙、丙每次运货量不变，且甲、乙两车单独运完这批货物所用次数之比为．若甲、丙两车各运相同次数运完这批货时，甲共运了180吨；若乙、丙两车各运相同次数运完这批货时，乙共运了270吨．则这批货共有（     ） A．360吨 B．450吨 C．540吨 D．630吨 6．若关于的一元一次不等式组的解集是，且使关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．8 B．9 C．2 D．3 二、填空题 7．若关于的方程无解，则的值为 ． 8．一只盒子中有红球个，白球个，黑球个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么与的和是 ． 9．关于x的方程有增根，则增根是 ；且k的值是 ． 10．一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距蜡烛到凸透镜中心的距离、像距像到凸透镜中心的距离和凸透镜的焦距满足关系，若，，则该凸透镜的焦距 ． 11．某校有210名学生参加课后延时服务，原计划平均分成若干组，实际分组时每组人数是原计划的1.5倍，最终组数比原计划少7组．求实际分组时每组的人数为 ． 12．对于非零的两个实数，规定，若，则的值为 ． 13．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是 14．已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的积为 ． 三、解答题 15．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．某航空公司为了保证C检工作正常进行，事先组织机务人员到外地跟班学习C检工作，后又具体分析研究，周密地制订出C检的具体实施方案，因而工作效率提高了，经过31名机务人员的艰苦努力，终于提前5天完成了C检，为公司节约了数十万元的维修费用．请问：原计划多少天完成C检？（根据飞机维护规定，一架飞机每飞行，要进行一次定期检查，称为A检；每飞行，就要进行一次中大修性质的全面维护、保养、检查工作，称为C检．） 17．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； （2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润． 18．某种农产品今年第一季度价格大幅度下降，下降后每千克的价格是原价格的，下降后，用60元买这种农产品比原来多买了2千克． （1）求该种农产品下降后的价格； （2）从第二季度开始，该种农产品的价格开始回升，经过两个季度，该种农产品的价格上升到每千克14.4元．求第二和第三季度该种农产品价格的平均增长率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】先把方程化成整式方程，再确定分式无解的x的值，把值代入整式方程确定待求字母的值即可． 【详解】∵ ， ∴ 方程两边同时乘以（x-2）（x+2），得 x+2+x+m=3(x-2)， 整理，得x=m+8， ∵ 当x+2=0或x-2=0时，分式是无意义的， 故当x=-2时，-2= m+8，解得m=-10； 当x=2时，2= m+8，解得m=-6； 故m=-6或-10， 故选D． 【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，灵活计算求解是解题的关键． 2．A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意、找到等量关系成为解题的关键．由汽车及骑车师生速度间的关系可得出汽车的速度为，再利用“时间、路程、速度”的关系以及等量关系“他们同时达到”列出关于x的分式方程即可． 【详解】解：设骑自行车的速度为，根据题意， 列方程为， 故选A． 3．D 【分析】先将原方程的分母分解因式，即可发现最简公分母为，由此可得答案． 【详解】解：原方程可变形为：， 由此可得：该方程的最简公分母为， ∴应在分成两边同时乘以， 故选：D． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解决本题的关键． 4．D 【分析】先将方程进行求解，然后利用列出方程即可求出的范围．本题考查分式方程的解，解题的关键是求出的表达式以及限制条件，本题属于中等题型． 【详解】解：去分母可得： ， ， 又， ， 或8， 的范围为：且， 故选：D． 5．C 【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据次数得到相应的等量关系，列出方程是解决本题的关键． 【详解】解：∵甲、乙两车单独运完这批货物所用次数之比为， ∴设货物总吨数为x吨，甲每次运吨，则乙每次运吨，丙每次运b吨， 由题意得： ， 整理得：， 解得：， 经检验是原方程的根， 即这批货物共有540吨． 故选：C． 6．C 【分析】先解关于x的一元一次不等式组，再根据其解集是x≤a，得a小于5；再解分式方程，根据其有非负整数解，同时考虑增根的情况，得出a的值，再求和即可． 【详解】解：由不等式组 得： ∵解集是x≤a， ∴a＜5； 由关于y的分式方程得a-3+2=2y-2， ∴y=， ∵有非负整数解， ∴≥0， ∴-1≤a＜5， a=1（舍，此时分式方程有增根），a=-1， a=3，（a=0，2，4时，y不是整数）， 它们的和为2． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7． 【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程的解，这个整式方程的解使原分式方程的分母等于0． 【详解】解：方程去分母得：3=x-1+k. 解得x=4-k. ∴当x=4-k时，分母为0，方程无解， ∴4-k=1. 解得k=3. 【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，利用了使分式方程无意义的未知数的值． 8．8 【分析】本题考查了随机事件概率的计算，分式方程的运用，理解取得白球的概率与不是白球的概率相同的含义列式，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：红球个，白球个，黑球个， ∴取出白球的概率为，取出的不是白球的概率为， ∵取得白球的概率与不是白球的概率相同， ∴， ∴， 当时，原分式方程有意义， ∴与的和是， 故答案为： ． 9． 2 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，应先确定增根的可能性，让最简公分母，得到，然后代入化简后的整式方程算出k的值． 【详解】∵原方程有增根， ∴最简公分母，解得， 原方程两边都乘， 得：， 当时， 解得， 故答案为：；2． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 10． 【分析】本题考查了分式方程的应用．把代入得到，解分式方程即可． 【详解】解：把代入得：， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 故答案为：． 11．15人 【分析】设原计划分组时每组的人数为人，则实际分组时每组的人数为人，根据最终组数比原计划少7组建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设原计划分组时每组的人数为人，则实际分组时每组的人数为人， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ， ∴实际分组时每组的人数为15人， 故答案为：15人． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 12．/ 【分析】先根据定义得到分式方程，再解分式方程即可． 【详解】由题意可知：， 即， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的根， 故答案为． 【点睛】本题考查了新定义及解分式方程，解分式方程时注意检验． 13．且 【分析】此题考查了解分式方程和一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式的一般步骤， 先解关于x的分式方程，再根据关于x的分式方程的解为负数，列出关于k的不等式，求出k的取值范围，然后再根据分式的分母不等于0确定k的取值范围即可． 【详解】解： 方程两边同乘，得， 整理，得， ， ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴， ∴， ∵分式方程有解， ∴，即， ∴， 解得且 ∴且． 故答案为：且, 14． 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，根据分式方程的解的情况求参数，有理数的乘法运算，先解不等式组，根据不等式组解集的情况求出的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为正整数求出整数的值，最后把所有满足条件的整数的值相乘即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， 解方程，得， ∵方程的解为正整数，， ∴或或， 又∵， ∴， ∴， ∴满足条件的整数的值为和， ∴所有满足条件的整数的积为， 故答案为：． 15．(1)； (2)； (3)无解； (4)． 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； 【详解】（1）解： 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为：； （2）解： 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为：； （3）解： 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程无解； （4）解： 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为：． 16．原计划约22天完成C检 【分析】设原计划x天完成C检，那么原来的工作效率为，后来的工作效率为（1＋30%）•，根据实际工作效率×实际工作时间＝工作总量列出方程，解方程即可． 【详解】解：设原计划x天完成C检，由题意得分式方程[（1＋30%）•]×（x−5）＝1， 解得x＝， 经检验x＝为原分式方程的解． 答：原计划约22天完成C检． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意不要忘记检验． 17．（1）猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；（2），最大利润为1750元 【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元，根据某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列方程计算即可； （2）根据题意当时，每天可售100盒，猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质计算最大值即可． 【详解】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元． 则 解得：，经检验是方程的解． ∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元． 答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元． （2）由题意得，当时，每天可售100盒． 当猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒．每盒的利润为() ∴， 配方得： 当时，y取最大值为1750元． ∴，最大利润为1750元． 答：y关于x的函数解析式为，且最大利润为1750元． 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数解析式是解决本题的关键． 18．（1）10元；（2）20% 【分析】（1）设该种农产品的原价格是元/千克，则下降后的价格是元/千克，然后根据“用60元买这种农产品比原来多买了2千克”列方程求解，注意分式方程结果要进行检验； （2）设第二和第三季度该种农产品价格的平均增长率是，根据第一季度的价格×（1+增长率）2=14.4列方程求解． 【详解】解：（1）设该种农产品的原价格是元/千克，则下降后的价格是元/千克， 根据题意，得，解得， 经检验：是原方程的解， 故， 答：该种农产品下降后的价格是每千克10元． （2）设第二和第三季度该种农产品价格的平均增长率是， 根据题意，得， 解得或（不合题意，舍去） 答：第二和第三季度该种农产品价格的平均增长率是20%． 【点睛】本题考查分式方程及一元二次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $